初中数学第二十二章 四边形综合与测试精品同步训练题

八年级数学下册第二十二章四边形定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，已知长方形，，分别是，上的点，，分别是，的中点，当点在上从点向点移动，而点不动时，那么下列结论成立的是（     ）

A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减少

C．线段的长不变 D．线段的长先增大后变小

2、将一长方形纸条按如图所示折叠，，则（       ）

A．55° B．70° C．110° D．60°

3、六边形对角线的条数共有（       ）

A．9 B．18 C．27 D．54

4、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5、一多边形的每一个内角都等于它相邻外角的4倍，则该多边形的内角和是（　　）

A．360° B．900° C．1440° D．1800°

6、已知菱形两条对角线的长分别为8和10，则这个菱形的面积是（　　　）

A．20 B．40 C．60 D．80

7、能够判断一个四边形是矩形的条件是（       ）

A．对角线相等 B．对角线垂直

C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等

8、若菱形的周长为8，高为2，则菱形的面积为（       ）

A．2 B．4 C．8 D．16

9、如图，在正方形ABCD中，，点E在对角线AC上，若，则CDE的面积为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且，AF、BE相交于点G，下列结论中正确的是（       ）

①；②；③；④．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，已知AD为的高，，以AB为底边作等腰，，交AC于F，连ED，EC，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的是___．

2、添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 _____．

3、四边形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四边形，需要增加条件________（只需填一个 条件即可）．

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边长为1的正方形OABC，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，…，照此规律作下去，则B2的坐标是 ___；B2020的坐标是 ___．

5、如图，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是边DC上一点，将ADE绕点A顺时针旋转得到，使得点D的对应点落在AE上，如果的延长线恰好经过点B，那么DE的长度等于_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．

（1）计算AC2+BC2的值等于_____；

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）_____．

2、（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积．

①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为      ；

②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为      ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式      ．

（2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢?

①方法1：一路往下数，不回头数．

以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个；

以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个；

以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个；

以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个；

则图中锐角的总个数是      ；

②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是      ；

用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式      ．

（3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题．

①计算：19782＋20222；

②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有      条对角线，n边形共有      条对角线．

3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；

(2)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；

(3)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．

4、如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，求CT的长．

5、已知正方形与正方形，，．

(1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、的代数式表示）．

(2)如图2，若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、的代数式表示）．

(3)如图3，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点、在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接、、，设，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、、的代数式表示）．

(4)如图4，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点、在的延长线上，连接、、，设，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、、的代数式表示）．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AR，因此线段EF的长不变．

【详解】

解：连接．

、分别是、的中点，

为的中位线，

，为定值．

线段的长不改变．

故选：．

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．

2、B

【解析】

【分析】

从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．

【详解】

解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．

3、A

【解析】

【分析】

n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数），由此可得出答案．

【详解】

解：六边形的对角线的条数= =9．

故选：A．

【点睛】

本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）．

4、A

【解析】

【分析】

利用勾股定理逆定理证得△ABC是直角三角形，由此判断①；证明△ABC≌△DBF得到DF＝AE，同理可证：△ABC≌△EFC，得到EF＝AD，由此判断②；由②可判断③；过A作AG⊥DF于G，求出AG即可求出 S▱AEFD，判断④．

【详解】

解：∵AB＝3，AC＝4，32+42＝52，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

∴AB⊥AC，故①正确；

∵△ABD，△ACE都是等边三角形，

∴∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAE＝150°，

∵△ABD和△FBC都是等边三角形，

∴BD＝BA，BF＝BC，

∴∠DBF＝∠ABC，

在△ABC与△DBF中，

，

∴△ABC≌△DBF（SAS），

∴AC＝DF＝AE＝4，

同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），

∴AB＝EF＝AD＝3，

∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；

∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；

过A作AG⊥DF于G，如图所示：

则∠AGD＝90°，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，

∴AG＝AD＝，

∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6；故④错误；

∴错误的个数是1个，

故选：A．

．

【点睛】

此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的30度角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，然后根据“邻补角和为180°”列方程求得外角的大小，然后再根据多边形外角和定理求得多边形边数，最后运用多边形内角和公式求解即可．

【详解】

解：设每一个外角都为x，则相邻的内角为4x，

由题意得，4x+x＝180°，

解得：x＝36°，

多边形的外角和为360°，

360°÷36°＝10，

所以这个多边形的边数为10，

则该多边形的内角和是：（10﹣8）×180＝1440°．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了多边形内角和相邻外角的关系、多边形的外角和、多边形内角和等知识点，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键．

6、B

【解析】

【分析】

根据菱形的面积公式求解即可．

【详解】

解：这个菱形的面积＝×10×8＝40．

故选：B．

【点睛】

本题考查了菱形的面积问题，掌握菱形的面积公式是解题的关键．

7、C

【解析】

略

8、B

【解析】

【分析】

根据周长求出边长，利用菱形的面积公式即可求解．

【详解】

∵菱形的周长为8，

∴边长=2，

∴菱形的面积=2×2=4，

故选：B．

【点睛】

此题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积=底×高是解题的关键．

9、A

【解析】

【分析】

根据正方形的性质，全等三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．

【详解】

∵正方形ABCD，

∴AB=AD，∠BAC=DAC，

∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE，

∴=5，同理△CBE≌△CDE，

∴，

∵，

∴CDE的面积为： =3，

故选A．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的性质和三角形的面积公式解答．

10、B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质及全等三角形的判定定理和性质、垂直的判定依次进行判断即可得．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

在与中，

，

∴，

∴，①正确；

∵，

，

∴，

∴，

∴，②正确；

∵GF与BG的数量关系不清楚，

∴无法得AG与GE的数量关系，③错误；

∵，

∴，

∴，

即，④正确；

综上可得：①②④正确，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，垂直的判定等，理解题意，综合运用全等三角形全等的判定和性质是解题关键．

二、填空题

1、①③

【解析】

【分析】

只要证明，，是的中位线即可一一判断；

【详解】

解：如图延长交于，交于．设交于．

，，

，

，，

，故①正确，

，，

，

，

，

不垂直，故②错误，

，

，

，，

，

，

是等腰直角三角形，平分，

，

，

，

，

，故③正确，

，

，

，

，

，故④正确．

故答案是：①③．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

2、或或或或

【解析】

【分析】

根据有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形即可得出答案．

【详解】

解：根据有一组邻边相等的矩形是正方形得：这个条件可能是或或或，

根据对角线互相垂直的矩形是正方形得：这个条件可能是，

故答案为：或或或或．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形与矩形之间的关系是解题关键．

3、AD=BC

【解析】

略

4、         

【解析】

【分析】

根据已知条件和勾股定理求出OB2的长度即可求出B2的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形都逆时针旋转45°，正方形的边长都乘以所以可求出从B到B2020变化的坐标．

【详解】

解：∵四边形OABC是边长为1正方形，

∴

∴

∴B1的坐标是，

∴，

∴B2的坐标是

根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形逆时针旋转45°，其边长乘以，

∴B3的坐标是

∴B4的坐标是

∴旋转8次则OB旋转一周，

∵从B到B2020经过了2020次变化，2020÷8=252…4，

∴从B到B2020与B4都在x轴负半轴上，

∴点B2020的坐标是

【点睛】

本题主要考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律．

5、

【解析】

【分析】

如图，连接BE、BE′，根据矩形的性质和旋转变换的性质可得：AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，利用勾股定理可得BD′＝4，再运用等面积法可得：AB•AD＝AE•BD′，求出AE＝，再运用勾股定理即可求得答案．

【详解】

解：如图，连接BE、BE′，

∵矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，

∴∠D＝90°，

由旋转知，△AD′E′≌△ADE，

∴AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，

∵D′E′的延长线恰好经过点B，

∴∠AD′B＝90°，

在Rt△ABD′中，BD′＝＝＝4，

∵S△ABE=AB•AD＝AE•BD′，

∴AE＝＝＝，

在Rt△ADE中，DE＝＝＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查矩形的性质、旋转性质、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握矩形性质和旋转性质，会利用等面积法求解是解答的关键．

三、解答题

1、     11     见解析

【解析】

【分析】

（1）直接利用勾股定理求出即可；

（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．

【详解】

解：（1）AC2+BC2＝（）2+32＝11；

故答案为：11；

（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；

延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求，如图，

【点睛】

本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，平行四边形与矩形的性质，掌握勾股定理以及特殊四边形的性质是解题的关键．

2、（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3)

【解析】

【分析】

（1）①根据边长为(a+b)的正方形面积公式求解即可；

②利用矩形和正方形的面积公式求解即可；

（2）①根据题中的数据求和即可；

②根据题意求解即可；

（3）①利用（1）的规律求解即可；

②根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n(n-3)（n≥3，且n为整数）可得答案．

【详解】

解：（1）①大正方形的面积为；

②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为；

可以得到等式：=；

故答案为：①；②；=；

（2）①图中锐角的总个数是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；

②锐角的总个数是n（n－1）；

可以得到等式为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；

故答案为：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；

（3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2

＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22

＝2×（20002＋222）

＝2×[4000000＋（20＋2）2]

＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968；

②一个四边形共有2条对角线，即×4×(4-3)=2；

一个五边形共有5条对角线，即×5×(5-3)=5；

一个六边形共有9条对角线，即×6×(6-3)=9；

……，

一个十七边形共有×17×(17-3)=119条对角线；

一个n边形共有n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线．

故答案为：119，n(n-3)．

【点睛】

本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．

3、 (1)AE＝t，AD＝12﹣2t，DF＝t

(2)见解析

(3)3，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，根据直角三角形的性质表示出DF；

（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；

（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．

(1)

解：由题意得，AE＝t，CD＝2t，

则AD＝AC﹣CD＝12﹣2t，

∵DF⊥BC，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝t；

(2)

解：∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，

∴，

∵AE＝t，DF＝t，

∴AE＝DF，

∴四边形AEFD是平行四边形；

(3)

解：当t＝3时，四边形EBFD是矩形，

理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，

∴AB＝AC＝6cm，

∵，

∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，

解得，t＝3，

∵∠ABC＝90°，

∴四边形EBFD是矩形，

∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．

【点睛】

此题考查了30度角的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的定义，一元一次方程，三角形与动点问题，熟练掌握四边形的知识并综合应用是解题的关键．

4、

【解析】

【分析】

连接AC，CF，如图，根据正方形的性质得到AC=，AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，则利用勾股定理得到AF=，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT的长．

【详解】

解：连接AC、CF，如图，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

∴AC=AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，

∴∠ACF=45°+45°=90°，

在Rt△ACF中，

∵T为AF的中点，

∴，

∴CT的长为．

【点睛】

本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．

5、 (1)

(2)

(3)

(4)