数学九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试优秀课后复习题

九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（　　）

A．50° B．55° C．65° D．75°

2、如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作的切线交BE延长线于点C，若∠ADE=36°，则∠C的度数是（　　）

A．18° B．28° C．36° D．45°

3、已知⊙O的半径为5，若点P在⊙O内，则OP的长可以是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

4、已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5、如图，已知AB是的直径，C是AB延长线上一点，CE是的切线，切点为D，过点A作于点E，交于点F，连接OD、AD、BF．则下列结论不一定正确的是（          ）

A． B．AD平分 C． D．

6、已知的半径为5cm，点P到圆心的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（   ）

A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断

7、下列四个命题中，真命题是（       ）

A．相等的圆心角所对的两条弦相等 B．三角形的内心是到三角形三边距离相等的点

C．平分弦的直径一定垂直于这条弦 D．等弧就是长度相等的弧

8、在中，，，给出条件：①；②；③外接圆半径为4．请在给出的3个条件中选取一个，使得BC的长唯一．可以选取的是（       ）

A．① B．② C．③ D．①或③

9、若正方形的边长为4，则它的外接圆的半径为（       ）

A． B．4 C． D．2

10、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（　　）

A．5 B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是__________．

2、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．则∠APB=________度；

3、如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则______度．

4、如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是________．

5、如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B．若，，则AB的长为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，AB是ΘO的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

(1)判断DE所在直线与ΘO的位置关系，并说明理由；

(2)若AE＝4，ED＝2，求ΘO的半径．

2、如图，点在轴正半轴上，，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于，两点，，两点的横坐标是方程的两个根，，连接．

(1)如图（1），连接．

①求的正切值；

②求点的坐标．

(2)如图（2），若点是的中点，作于点，连接，，，求证：．

3、如图，已知是的直径，点在上，点在外．

(1)动手操作：作的角平分线，与圆交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)综合运用，在你所作的图中．若，求证：是的切线．

4、苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．

【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E从点A出发，沿边AD向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边BA向点A运动，它们的运动速度都是2cm/s，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接CF、BE交于点M，设点E， F运动时问为t秒．

(1)【问题提出】如图1，点E，F分别在方形ABCD中的边AD、AB上，且，连接BE、CF交于点M，求证：．请你先帮小明加以证明．

(2)如图1，在点E、F的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长     cm．

(3)如图2，连接CE，在点E、F的运动过程中．

①试说明点D在△CME的外接圆O上；

②若①中的O与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围．

5、如图，是的切线，点在上，与相交于，是的直径，连接，若．

(1)求证：平分；

(2)当，时，求的半径长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．

【详解】

解：∵BD是切线，

∴BD⊥AB，

∴∠ABD＝90°，

∵∠BOC＝50°，

∴∠A＝∠BOC＝25°，

∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

2、A

【解析】

【分析】

连接OA，DE，利用切线的性质和角之间的关系解答即可．

【详解】

解：连接OA，DE，如图，

∵AC是的切线，OA是的半径，

∴OAAC

∠OAC=90°

∠ADE=36°

AOE=2∠ADE=72°

∠C=90°-∠AOE=90°-72°=18°

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，切线的性质，能求出∠OAC和∠AOC是解题的关键．

3、A

【解析】

【分析】

根据点与圆的位置关系可得，由此即可得出答案．

【详解】

解：的半径为5，点在内，

，

观察四个选项可知，只有选项A符合，

故选：A．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外）是解题关键．

4、D

【解析】

【分析】

根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．

【详解】

解：∵点A为⊙O外的一点，且⊙O的半径为3，

∴线段OA的长度＞3．

故选：D．

【点睛】

此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．

5、D

【解析】

【分析】

根据直径所对的圆周角是直角，切线的性质即可判断A选项；根据，，进而即可判断B选项；设交于点，证明四边形是矩形，由垂径定理可得，进而可得进而判断C选项；无法判断D选项．

【详解】

解：∵AB是的直径，

∴

∵CE是的切线，切点为D，

∴

，故A选项正确，

，

即AD平分，故B选项正确，

设交于点，如图，

∵，

∴四边形是矩形

，

，故C选项正确

若，则

由于点不一定是的中点，故D选项不正确；

故选D

【点睛】

本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，矩形的判定，掌握圆的相关知识是解题的关键．

6、A

【解析】

【分析】

直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．

【详解】

解：∵⊙O的半径为5cm，点P与圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，

∴点P在圆内．

故选：A．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．

7、B

【解析】

【分析】

利用圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

B、三角形的内心是到三角形三边距离相等的点，是真命题，故本选项符合题意；

C、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

D、等弧是能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定是等弧，则原命题是假命题，故本选项不符合题意；

故选：B

【点睛】

本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质及定理、三角形的内心的性质、垂径定理等知识，难度不大．

8、B

【解析】

【分析】

画出图形，作，交BE于点D．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出AD的长，再由AD和AC的长作比较即可判断①②；由前面所求的AD的长和AB的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可在AB上方，也可在AB下方，其与AE的交点即为C点，为两点不唯一，可判断其不符合题意．

【详解】

如图，，，点C在射线上．作，交BE于点D．

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴不存在的三角形ABC，故①不符合题意；

∵，，AC=8，

而AC>6，

∴存在的唯一三角形ABC，

如图，点C即是．

∴，使得BC的长唯一成立，故②符合题意；

∵，，

∴存在两个点C使的外接圆的半径等于4，两个外接圆圆心分别在AB的上、下两侧，如图，点Ｃ和即为使的外接圆的半径等于4的点．

故③不符合题意．

故选B．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外接圆的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

根据圆内接正多边形的性质可得正方形的中心即圆心，进而可知正方形的对角线即为圆的直径，根据勾股定理求得正方形对角线的长度即可求得它的外接圆的半径．

【详解】

解：∵四边形是正方形，

∴的交点即为它的外接圆的圆心，

故选C

【点睛】

本题考查了圆内接正多边形的性质，勾股定理，理解正方形的对角线即为圆的直径是解题的关键．

10、D

【解析】

【分析】

连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．

【详解】

解：连接OF，OE，OG，

∵AB、BC、CD分别与相切，

∴，，，且，

∴OB平分，OC平分，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

二、填空题

1、六

【解析】

【分析】

根据正多边形的中心角＝计算即可．

【详解】

解：设正多边形的边数为n．

由题意得，＝60°，

∴n＝6，

故答案为：六．

【点睛】

本题考查正多边形和圆，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．

2、60

【解析】

【分析】

先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据切线长定理可得，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．

【详解】

解：是的切线，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

故答案为：60．

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．

3、65

【解析】

【分析】

连接OA，OC，OB，根据四边形内角和可得，依据切线的性质及角平分线的判定定理可得DO平分，EO平分，再由各角之间的数量关系可得，，根据等量代换可得，代入求解即可．

【详解】

解：如图所示：连接OA，OC，OB，

∵PA、PB、DE与圆相切于点A、B、E，

∴，，，

∵，

∴，

∵，

∴DO平分，EO平分，

∴，，

∴，，

∴，

故答案为：65．

【点睛】

题目主要考查圆的切线的性质，角平分线的判定和性质，四边形内角和等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

4、70°##70度

【解析】

【分析】

连接OA、OB，根据切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°求得∠AOB，然后利用圆周角定理求解即可．

【详解】

解：连接OA、OB，

∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，

∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=40°，

∴∠AOB=360°－90°－90°－40°=140°，

∴∠Q=∠AOB=70°，

故答案为：70°．

【点睛】

本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键．

5、3

【解析】

【分析】

由切线长定理和，可得为等边三角形，则．

【详解】

解：连接，如下图：

，分别为的切线，

，

为等腰三角形，

，

，

为等边三角形，

，

，

．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线．

三、解答题

1、 (1)相切，理由见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接OD，根据角平分线的性质与角的等量代换易得∠ODE＝90°，而D是圆上的一点；故可得直线DE与⊙O相切；

（2）连接BD，根据勾股定理得到AD＝＝2，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质列方程得到AB＝5，即可求解．

(1)

解：所在直线与相切．

理由：连接．

∵，

∴．

∵平分，

∴．

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∵是半径，

∴所在直线与相切．

(2)

解：连接．

∵是的直径，

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴．

∵，，，

∴．

∴．

∴的半径为．

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质及勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

2、 (1)①，②（4，3）

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）①过点P作PH⊥DC于H，作AF⊥PH于F，连接PD、AD，利用因式分解法解出一元二次方程，求出OD、OC，根据垂径定理求出DH，根据勾股定理计算求出半径，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据正切的定义计算即可；②过点B作BE⊥x轴于点E，作AG⊥BE于G，根据平行线分线段成比例定理定理分别求出OE、BE，得到点B的坐标；

（2）过点E作EH⊥x轴于H，证明△EHD≌△EFB，得到EH＝EF，DH＝BF，再证明Rt△EHC≌Rt△EFC，得到CH＝CF，结合图形计算，证明结论．

(1)

解：①以AB为直径的圆的圆心为P，

过点P作PH⊥DC于H，作AF⊥PH于F，连接PD、AD，

则DH＝HC＝DC，四边形AOHF为矩形，

∴AF＝OH，FH＝OA＝1，

解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3，

∵OC＞OD，

∴OD＝1，OC＝3，

∴DC＝2，

∴DH＝1，

∴AF＝OH＝2，

设圆的半径为r，则PH2＝，

∴PF＝PH﹣FH，

在Rt△APF中，AP2＝AF2+PF2，即r2＝22+（PH﹣1）2，

解得：r＝，PH＝2，PF＝PH﹣FH＝1，

∵∠AOD＝90°，OA＝OD＝1，

∴AD＝，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∴BD＝=＝3，

∴tan∠ABD＝＝＝；

②过点B作BE⊥x轴于点E，交圆于点G，连接AG，

∴∠BEO＝90°，

∵AB为直径，

∴∠AGB＝90°，

∵∠AOE＝90°，

∴四边形AOEG是矩形，

∴OE＝AG，OA＝EG＝1，

∵AF＝2，

∵PH⊥DC，

∴PH⊥AG，

∴AF＝FG＝2，

∴AG＝OE＝4，BG＝2PF＝2，

∴BE＝3，

∴点B的坐标为（4，3）；

(2)

证明：过点E作EH⊥x轴于H，

∵点E是的中点，

∴＝，

∴ED＝EB，

∵四边形EDCB为圆P的内接四边形，

∴∠EDH＝∠EBF，

在△EHD和△EFB中，

，

∴△EHD≌△EFB（AAS），

∴EH＝EF，DH＝BF，

在Rt△EHC和Rt△EFC中，

，

∴Rt△EHC≌Rt△EFC（HL），

∴CH＝CF，

∴2CF＝CH+CF＝CD+DH+BC﹣BF＝BC+CD．

【点睛】

本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质、垂径定理、勾股定理的应用，正确作出辅助线、求出圆的半径是解题的关键．

3、 (1)作图见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于为半径画弧，交点为N，连接CN交于点D即可．

（2）连接AD ， ，，，，AB为直径，进而可得AE是的切线．

(1)

解：如图，以点C为圆心BC为半径画弧交AC于点M；以B、M为圆心，大于为半径画弧，交点为N，连接CN交于点D．

(2)

解：连接AD，如图

∵为直径

∴

∵

∴

∴

又∵AB为直径

∴AE是的切线．

【点睛】

本题考查了角平分线的画法，圆周角，切线的判定等知识．解题的关键在于对知识的灵活熟练的运用．

4、 (1)见解析

(2)

(3)①见解析；②

【解析】

【分析】

（1）根据正方形的性质以及动点的路程相等，证明，根据同角的余角相等，即可证明，即；

（2）当t＝0时，点M与点B重合，当时，点随之停止，求得运动轨迹为圆，根据弧长公式进行计算即可；

（3）①根据（2）可得△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点，继而判断点D、C、M、E在同一个圆（）上；②当与AB相切时，与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当与AB相切时”是临界情况．如图4，当与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H，在Rt△CHO中求得半径,进而勾股定理求得，即可求得当时，与正方形的各边共有6个交点．

(1)

四边形是正方形，

，

又的运动速度都是2cm/s，

即

(2)

∵．

∴点M在以CB为直径的圆上，如图1，当t＝0时，点M与点B重合；

如图2，当t＝3时，点M为正方形对角线的交点．点M的运动路径为圆，其路径长．

故答案为：

(3)

①如图3．由前面结论可知：

∴△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点，

则

在Rt△CDE中，，O是CE的中点．

∴，

∴

∴点D、C、M、E在同一个圆（）上，

即点D在△CME的外接圆上；．

②．

如图4，当与AB相切时，与正方形的各边共有5个交点，如图5则有6个交点，所以“当与AB相切时”是临界情况．

如图4，当与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H．

∵AB与相切，

∴，

又∵，

∴，

设的半径为R．由题意得：

在Rt△CHO中，，解得

∴

∴，即

∴如图5，当时，与正方形的各边共有6个交点．

【点睛】

本题考查了求弧长，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形的外心，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．

5、 (1)见解析

(2)的半径长为．

【解析】

【分析】

（1）根据切线的性质，可得，由平行线的性质，等边对等角，等量代换即可得，进而得证；

（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理求得，证明列出比例式，代入数值求解可得，进而求得半径

(1)

证明：如图，连接，

∵是的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即平分；

(2)

解：如图，连接，

在中，，，

由勾股定理得：，

∵是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

∴的半径长为．

【点睛】

本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的相关知识以及相似三角形的是解题的关键．