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冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试优秀课时作业
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这是一份冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试优秀课时作业,共34页。试卷主要包含了如图,一把宽为2cm的刻度尺,以半径为1的圆的内接正三角形等内容,欢迎下载使用。
九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系章节测试
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、已知⊙O的半径为3,若PO=2,则点P与⊙O的位置关系是( )
A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法判断
2、如图,正六边形螺帽的边长是4cm,那么这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是( )
A.2,2 B.4,4 C.4,2 D.4,
3、已知半圆O的直径AB=8,沿弦EF折叠,当折叠后的圆弧与直径AB相切时,折痕EF的长度m( )
A.m=4 B.m=4 C.4≤m≤4 D.4≤m≤4
4、如图,一把宽为2cm的刻度尺(单位:cm),放在一个圆形茶杯的杯口上,刻度尺的一边与杯口外沿相切,另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和10,茶杯的杯口外沿半径为( )
A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm
5、以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则( )
A.不能构成三角形 B.这个三角形是等边三角形
C.这个三角形是直角三角形 D.这个三角形是等腰三角形
6、已知⊙O的直径为10cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切
7、如图,与相切于点,连接交于点,点为优弧上一点,连接,,若,的半径,则的长为( )
A.4 B. C. D.1
8、平面内,⊙O的半径为3,若点P在⊙O外,则OP的长可能为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
9、如图,边长为4的正三角形外接圆,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分面积为( )
A.12+2π B.4+π C.24+2π D.12+14π
10、已知半径为5的圆,直线l上一点到圆心的距离是5,则直线和圆的位置关系为( )
A.相切 B.相离 C.相切或相交 D.相切或相离
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,PA,PB是的切线,切点分别为A,B.若,,则AB的长为______.
2、如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,∠OAB=30°.则∠APB=________度;
3、如图,把分成相等的六段弧,依次连接各分点得到正六边形ABCDEF,如果的周长为,那么该正六边形的边长是______.
4、如图,点O是的AB边上一点,,以OB长为半径作,与AC相切于点D.若,,则的半径长为______.
5、如图,、分别与相切于A、B两点,若,则的度数为________.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图,在平面直角坐标系xOy中,点A与点B的坐标分别是(1,0),(7,0).
(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义:如果∠APB=45°,那么称点P为线段AB的“完美点”.
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C,则点C的坐标是 ,⊙C的半径是 ;
②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”?如果有,求出“完美点”的坐标;如果没有,请说明理由;
(2)若点P在y轴负半轴上运动,则当∠APB的度数最大时,点P的坐标为 .
2、如图,点E是的内心,AE的延长线交BC于点F,交的外接圆点D.过D作直线.
(1)求证:DM是的切线;
(2)求证:;
(3)若,,求的半径.
3、如图,在中,,平分,与交于点,,垂足为,与交于点,经过,,三点的与交于点.
(1)求证是的切线;
(2)若,,求的半径.
4、苏科版教材八年级下册第94页第19题,小明在学过圆之后,对该题进行重新探究,请你和他一起完成问题探究.
【问题探究】小明把原问题转化为动点问题,如图1,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E从点A出发,沿边AD向点D运动,同时,点F从点B出发,沿边BA向点A运动,它们的运动速度都是2cm/s,当点E运动到点D时,两点同时停止运动,连接CF、BE交于点M,设点E, F运动时问为t秒.
(1)【问题提出】如图1,点E,F分别在方形ABCD中的边AD、AB上,且,连接BE、CF交于点M,求证:.请你先帮小明加以证明.
(2)如图1,在点E、F的运动过程中,点M也随之运动,请直接写出点M的运动路径长 cm.
(3)如图2,连接CE,在点E、F的运动过程中.
①试说明点D在△CME的外接圆O上;
②若①中的O与正方形的各边共有6个交点,请直接写出t的取值范围.
5、如图,已知AB是⊙P的直径,点在⊙P上,为⊙P外一点,且∠ADC=90°,2∠B+∠DAB=180°
(1)试说明:直线为⊙P的切线.
(2)若∠B=30°,AD=2,求CD的长.
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
已知圆O的半径为r,点P到圆心O的距离是d,①当r>d时,点P在⊙O内,②当r=d时,点P在⊙O上,③当r<d时,点P在⊙O外,根据以上内容判断即可.
【详解】
∵⊙O的半径为3,若PO=2,
∴2<3,
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内,
故选:A.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系的应用,注意:已知圆O的半径为r,点P到圆心O的距离是d,①当r>d时,点P在⊙O内,②当r=d时,点P在⊙O上,③当r<d时,点P在⊙O外.
2、B
【解析】
【分析】
根据正六边形的内角度数可得出∠BAD=30°,为等边三角形,得BC=2AB,再通过解直角三角形即可得出a的值,进而可求出a的值,此题得解.
【详解】
解:如图,
∵正六边形的任一内角为120°,
∴∠ABD=180°-120°=60°,
∴∠BAD=30°,为等边三角形,
∵
∴
∴
∴
∴这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是4,4.
故选:B.
【点睛】
本题考查了正多边形以及勾股定理,牢记正多边形的内角度数是解题的关键.
3、D
【解析】
【分析】
根据题意作出图形,根据垂径定理可得,设,则,分情况讨论求得最大值与最小值,即可解决问题
【详解】
解:如图,
根据题意,折叠后的弧为,为切点,设点为所在的圆心,的半径相等,即,连接,设交于点,
根据折叠的性质可得,又则四边形是菱形,且
设,则
则当取得最大值时,取得最小值,即取得最小值,
当取得最小值时,取得最大值,
根据题意,当点于点重合时,四边形是正方形
则
此时
当点与点重合时,此时最小,
则
即
则
故选D
【点睛】
本题考查了垂径定理,切线的性质,折叠的性质,勾股定理,分别求得的最大值与最小值是解题的关键.
4、D
【解析】
【分析】
作OD⊥AB于C,OC的延长线交圆于D,其中点为圆心,为半径,cm,cm;设茶杯的杯口外沿半径为,在中,由勾股定理知,进而得出结果.
【详解】
解:作OD⊥AB于C,OC的延长线交圆于D,其中点为圆心,为半径,
由题意可知cm,cm;
∵
∴AC=BC=4cm,
设茶杯的杯口外沿半径为
则在中,由勾股定理知
解得
故选D.
【点睛】
本题考查了垂径定理,切线的性质,勾股定理的应用.解题的关键在于将已知线段长度转化到一个直角三角形中求解计算.
5、C
【解析】
【分析】
分别计算出正三角形、正方形、正六边形的边心距,后根据勾股定理的逆定理,等腰三角形的判定,等边三角形的判定,三角形构成的条件,判断即可.
【详解】
如图,∵正三角形、正方形、正六边形都内接于半径为1的圆,边心距分别为OC,OE,OG,OA=1,∠AOC=60°,∠AOE=45°,∠AOG=30°,
∴OC=OAcos60°=,OE= OAcos45°=,OG= OAcos30°=,
∵,
∴这个三角形是直角三角形,
故选C.
【点睛】
本题考查了正多边形与圆,特殊角的三角函数,勾股定理的逆定理,熟练掌握正多边形的计算是解题的关键.
6、B
【解析】
【分析】
圆的半径为 圆心O到直线l的距离为 当时,直线与圆相切,当时,直线与圆相离,当时,直线与圆相交,根据原理直接作答即可.
【详解】
解: ⊙O的直径为10cm,圆心O到直线l的距离为5cm,
⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离,
直线l与⊙O的位置关系为相切,
故选B
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系的判定,掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.
7、B
【解析】
【分析】
连接OB,根据切线性质得∠ABO=90°,再根据圆周角定理求得∠AOB=60°,进而求得∠A=30°,然后根据含30°角的直角三角形的性质解答即可.
【详解】
解:连接OB,
∵AB与相切于点B,
∴∠ABO=90°,
∵∠BDC=30°,
∴∠AOB=2∠BDC=60°,
在Rt△ABO中,∠A=90°-60°=30°,OB=OC=2,
∴OA=2OB=4,
∴,
故选:B.
【点睛】
本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的锐角互余、含30°角的直角三角形性质、勾股定理,熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.
8、A
【解析】
【分析】
根据点与圆的位置关系得出OP>3即可.
【详解】
解:∵⊙O的半径为3,点P在⊙O外,
∴OP>3,
故选:A.
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系,解答的关键是熟知点与圆的位置关系:设平面内的点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则点在圆外d>r,点在圆上d=r,点在圆内d<r.
9、A
【解析】
【分析】
正三角形的面积加上三个小半圆的面积,再减去中间大圆的面积即可得到结果.
【详解】
解:正三角形的面积为:,
三个小半圆的面积为:,中间大圆的面积为:,
所以阴影部分的面积为:,
故选:
【点睛】
本题考查了正多边形与圆,圆的面积的计算,正三角形的面积的计算,正确的识别图形是解题的关键.
10、C
【解析】
【分析】
根据若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径,则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径,此时直线和圆相交或相切.
【详解】
解:∵半径为5的圆,直线l上一点到圆心的距离是5,
∴圆心到直线的距离等于或小于5,
∴直线和圆的位置关系为相交或相切,
故选:C.
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系,判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,①直线l和⊙O相交⇔d<r;②直线l和⊙O相切⇔d=r;③直线l和⊙O相离⇔d>r.
二、填空题
1、3
【解析】
【分析】
由切线长定理和,可得为等边三角形,则.
【详解】
解:连接,如下图:
,分别为的切线,
,
为等腰三角形,
,
,
为等边三角形,
,
,
.
故答案为:3.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和切线长定理,解题的关键是作出相应辅助线.
2、60
【解析】
【分析】
先根据圆的切线的性质可得,从而可得,再根据切线长定理可得,然后根据等边三角形的判定与性质即可得.
【详解】
解:是的切线,
,
,
,
,
是等边三角形,
,
故答案为:60.
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点,熟练掌握圆的切线的性质是解题关键.
3、6
【解析】
【分析】
如图,连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,证明△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形,再求出圆的半径即可.
【详解】
解:如图,连接OA、OB、OC、OD、OE、OF.
∵正六边形ABCDEF,
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA,∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°,
∴△AOB、△BOC、△DOC、△EOD、△EOF、△AOF都是等边三角形,
∵的周长为,
∴的半径为,
正六边形的边长是6;
【点睛】
本题考查正多边形与圆的关系、等边三角形的判定和性质等知识,明确正六边形的边长和半径相等是解题的关键.
4、##
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中,利用正弦函数求得AB的长,再在Rt△AOD中,利用正弦函数得到关于r的方程,求解即可.
【详解】
解:在Rt△ABC中,BC=4,sinA=,
∴=,即=,
∴AB=5,
连接OD,
∵AC是⊙O的切线,
∴OD⊥AC,
设⊙O的半径为r,则OD= OB=r,
∴AO=5- r,
在Rt△AOD中,sinA=,
∴=,即=,
∴r=.
经检验r=是方程的解,
∴⊙O的半径长为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了切线的性质,正弦函数,解题的关键是掌握切线的性质、解直角三角形等知识点.
5、
【解析】
【分析】
根据已知条件可得出,,再利用圆周角定理得出即可.
【详解】
解:、分别与相切于、两点,
,,
,
,
.
故答案为:.
【点睛】
本题考查的知识点是切线的性质以及圆周角定理,掌握以上知识点是解此题的关键.
三、解答题
1、 (1)①(4,3)或C(4,−3),,②,
(2)
【解析】
【分析】
(1)①在x轴的上方,作以AB为斜边的等腰直角三角形△ACB,易知A,B,P三点在⊙C上,圆心C的坐标为(4,3),半径为3,根据对称性可知点C(4,−3)也满足条件;②当圆心为C(4,3)时,过点C作CD⊥y轴于D,则D(0,3),CD=4,根据⊙C的半径得⊙C与y轴相交,设交点为,,此时,在y轴的正半轴上,连接、、CA,则==CA =r=3,得,即可得;
(2)如果点P在y轴的负半轴上,设此时圆心为E,则E在第四象限,在y轴的负半轴上任取一点M(不与点P重合),连接MA,MB,PA,PB,设MB交于⊙E于点N,连接NA,则∠APB=∠ANB,∠ANB是△MAN的外角,∠ANB>∠AMB,即∠APB>∠AMB,过点E作EF⊥x轴于F,连接EA,EP,则AF=AB=3,OF=4,四边形OPEF是矩形,OP=EF,PE=OF=4,得,则,即可得.
(1)
①如图1中,
在x轴的上方,作以AB为斜边的等腰直角三角形△ACB,易知A,B,P三点在⊙C上,
圆心C的坐标为(4,3),半径为3,
根据对称性可知点C(4,−3)也满足条件,
故答案是:(4,3)或C(4,−3),,
②y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点”。
如图2所示,当圆心为C(4,3)时,过点C作CD⊥y轴于D,则D(0,3),CD=4,
∵⊙C的半径,
∴⊙C与y轴相交,
设交点为,,此时,在y轴的正半轴上,
连接、、CA,则==CA =r=3,
∵CD⊥y轴,CD=4,,
∴,
∴,;
当圆心为C(4,-3)时,点P在y轴的负半轴上,不符合题意;
故答案为:,
(2)
当过点A,B的圆与y轴负半轴相切于点P时,∠APB最大,理由如下:
如果点P在y轴的负半轴上,设此时圆心为E,则E在第四象限,
如图3所示,在y轴的负半轴上任取一点M(不与点P重合),
连接MA,MB,PA,PB,设MB交于⊙E于点N,连接NA,
∵点P,点N在⊙E上,
∴∠APB=∠ANB,
∵∠ANB是△MAN的外角,
∴∠ANB>∠AMB,
即∠APB>∠AMB,
此时,过点E作EF⊥x轴于F,连接EA,EP,则AF=AB=3,OF=4,
∵⊙E与y轴相切于点P,则EP⊥y轴,
∴四边形OPEF是矩形,OP=EF,PE=OF=4,
∴⊙E的半径为4,即EA=4,
∴在Rt△AEF中,,
∴,
即 .
故答案为:
【点睛】
本题考查了圆与三角形,勾股定理,三角形的外角,矩形的性质,解题的关键是掌握这些知识点.
2、 (1)见解析
(2)见解析
(3)⊙O的半径为5.
【解析】
【分析】
(1)连接OD交BC于H,根据圆周角定理和切线的判定即可证明;
(2)连接BD,由点E是△ABC的内心,得到∠ABE=∠CBE,∠DBC=∠BAD,推出∠BED=∠DBE,根据等角对等边得到BD=DE;
(3)根据垂径定理和勾股定理即可求出结果.
(1)
证明:连接OD交BC于H,如图,
∵点E是△ABC的内心,
∴AD平分∠BAC,
即∠BAD=∠CAD,
∴,
∴OD⊥BC,BH=CH,
∵DM∥BC,
∴OD⊥DM,
∴DM是⊙O的切线;
(2)
证明:∵点E是△ABC的内心,
∴∠ABE=∠CBE,
∵,
∴∠DBC=∠BAD,
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE,
即∠BED=∠DBE,
∴BD=DE;
(3)
解:设⊙O的半径为r,
连接OD,OB,如图,
由(1)得OD⊥BC,BH=CH,
∵BC=8,
∴BH=CH=4,
∵DE=2,BD=DE,
∴BD=2,
在Rt△BHD中,BD2=BH2+HD2,
∴(2)2=42+HD2,解得:HD=2,
在Rt△BHO中,
r2=BH2+(r-2)2,解得:r=5.
∴⊙O的半径为5.
【点睛】
本题考查了三角形的内心,切线的判定与性质,三角形的外接圆与外心,圆周角定理,垂径定理,解决本题的关键是综合运用以上知识.
3、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)连接,利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证,从而,得到,根据切线的判定方法可证是的切线;
(2)证明,利用相似三角形的性质可求的半径.
(1)
证明:连接,
∵,
∴,
∴是直径,是的中点.
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.
又∵,
∴,
∴,
又∵经过半径的外端,
∴是的切线.
(2)
解:∵,
∴,
在与中,
,,
∴.
∴,
在中,,,
∴.
设半径为,则,,
即,
∴.
∴的半径为.
【点睛】
本题考查了切线的判定,等腰三角形的性质,平行线的判定与性质,以及相似三角形的判定与性质,掌握切线的判定方法是解(1)的关键,掌握相似三角形的判定与性质是解(2)的关键.
4、 (1)见解析
(2)
(3)①见解析;②
【解析】
【分析】
(1)根据正方形的性质以及动点的路程相等,证明,根据同角的余角相等,即可证明,即;
(2)当t=0时,点M与点B重合,当时,点随之停止,求得运动轨迹为圆,根据弧长公式进行计算即可;
(3)①根据(2)可得△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点,继而判断点D、C、M、E在同一个圆()上;②当与AB相切时,与正方形的各边共有5个交点,如图5则有6个交点,所以“当与AB相切时”是临界情况.如图4,当与AB相切(切点为G),连接OG,并延长GO交CD于点H,在Rt△CHO中求得半径,进而勾股定理求得,即可求得当时,与正方形的各边共有6个交点.
(1)
四边形是正方形,
,
又的运动速度都是2cm/s,
即
(2)
∵.
∴点M在以CB为直径的圆上,如图1,当t=0时,点M与点B重合;
如图2,当t=3时,点M为正方形对角线的交点.点M的运动路径为圆,其路径长.
故答案为:
(3)
①如图3.由前面结论可知:
∴△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点,
则
在Rt△CDE中,,O是CE的中点.
∴,
∴
∴点D、C、M、E在同一个圆()上,
即点D在△CME的外接圆上;.
②.
如图4,当与AB相切时,与正方形的各边共有5个交点,如图5则有6个交点,所以“当与AB相切时”是临界情况.
如图4,当与AB相切(切点为G),连接OG,并延长GO交CD于点H.
∵AB与相切,
∴,
又∵,
∴,
设的半径为R.由题意得:
在Rt△CHO中,,解得
∴
∴,即
∴如图5,当时,与正方形的各边共有6个交点.
【点睛】
本题考查了求弧长,切线的性质,直径所对的圆周角是直角,三角形的外心,正方形的性质,全等三角形的性质与判定,分类讨论是解题的关键.
5、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)连接PC,则∠APC=2∠B,可证PC∥DA,证得PC⊥CD,则结论得证;
(2)连接AC,根据∠B=30°,等腰三角形外角性质∠CPA=2∠B=60°,再证△APC为等边三角形,可求∠DCA=90°-∠ACP=90°-60°=30°,AD=2,∠ADC=90°,利用30°直角三角形性质得出AC=2AD=4,然后根据勾股定理CD=即可.
(1)
连接PC,
∵PC=PB,
∴∠B=∠PCB,
∴∠APC=2∠B,
∵2∠B+∠DAB=180°,
∴∠DAP+∠APC=180°,
∴PC∥DA,
∵∠ADC=90°,
∴∠DCP=90°,
即DC⊥CP,
∴直线CD为⊙P的切线;
(2)
连接AC,
∵∠B=30°,
∴∠CPA=2∠B=60°,
∵AP=CP,∠CPA=60°,
∴△APC为等边三角形,
∵∠DCP=90°,
∴∠DCA=90°-∠ACP=90°-60°=30°,
∵AD=2,∠ADC=90°,
∴AC=2AD=4,
∴CD=.
【点睛】
本题考查切线的判定、平行线判定与性质,勾股定理、等腰三角形性质,外角性质,等边三角形的判定与性质等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题.
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