冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试优秀习题

八年级数学下册第二十二章四边形专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（　　）

A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变

2、如图，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A→B→C运动，设，点D到直线PA的距离为y，且y关于x的函数图象如图所示，则当和的面积相等时，y的值为（       ）

A． B． C． D．

3、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．

其中说法正确的是（　　　）

A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④

4、如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M．AF⊥BC，垂足为F．BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，连接AC、NE.若AE=BN，AN=CE，则下列结论中正确的有（       ）个．

①；②是等腰直角三角形；③是等腰直角三角形；④；⑤．

A．1 B．3 C．4 D．5

5、如图，五边形中，，CP，DP分别平分，，则（　　　）

A．60° B．72° C．70° D．78°

6、在平行四边形ABCD中，∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D的值可以是（       ）

A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．2∶2∶1∶1 D．1∶2∶1∶2

7、在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形AEDF的周长是（       ）

A．18 B．16 C．14 D．12

8、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（       ）

A．四个角相等 B．对角线互相垂直

C．对角互补 D．对角线相等

9、若n边形每个内角都为156°，那么n等于（       ）

A．8 B．12 C．15 D．16

10、如图，在平行四边形中，平分，交边于，，，则的长为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．5

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，A、B、C均为一个正十边形的顶点，则∠ACB=_____°．

2、如图，，D为外一点，且交的延长线于E点，若，则_______．

3、如图，将长方形ABCD沿AE，EF翻折使其B、C重合于点H，点D落在点G的位置，HE与AD交于点P，连接HF，当，时，则P到HF的距离是______．

4、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成7个三角形，则此多边形的边数______．

5、如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知正方形与正方形，，．

(1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、的代数式表示）．

(2)如图2，若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、的代数式表示）．

(3)如图3，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点、在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接、、，设，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、、的代数式表示）．

(4)如图4，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点、在的延长线上，连接、、，设，将阴影部分三角形的面积记作，则         （用含有、、的代数式表示）．

2、在平面直角坐标系中，已知点，，，以点，，为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，，，如图所示．

(1)若，则点，，的坐标分别是（　　），（　　），（　　）；

(2)若△是以为底的等腰三角形，

①直接写出的值；

②若直线与△有公共点，求的取值范围．

(3)若直线与△有公共点，求的取值范围．

3、如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处．

(1)直接写出点的坐标____________________；

(2)求、两点的坐标．

4、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．

5、已知在与中，，点在同一直线上，射线分别平分．

(1)如图1，试说明的理由；

(2)如图2，当交于点G时，设，求与的数量关系，并说明理由；

(3)当时，求的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

连接AE，根据，推出，由此得到答案．

【详解】

解：连接AE，

∵，

∴，

故选：D．

．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE是解题的关键．

2、D

【解析】

【分析】

先结合图象分析出矩形AD和AB边长分别为4和3，当△PCD和△PAB的面积相等时可知P点为BC中点，利用面积相等求解y值．

【详解】

解：当P点在AB上运动时，D点到AP的距离不变始终是AD长，从图象可以看出AD=4，

当P点到达B点时，从图象看出x=3，即AB=3．

当△PCD和△PAB的面积相等时，P点在BC中点处，此时△ADP面积为，

在Rt△ABP中，，

由面积相等可知：，解得，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了函数图形的认识，分析图象找到对应的矩形的边长，解决动点问题就是“动中找静”，结合图象找到“折点处的数据真正含义”便可解决问题．

3、B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．

【详解】

如图所示，

∵△ABC是直角三角形，

∴根据勾股定理：，故①正确；

由图可知，故②正确；

由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，

列出等式为，

即，故③正确；

由可得，

又∵，

两式相加得：，

整理得：，

，故④错误；

故正确的是①②③．

故答案选B．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判断是解题的关键．

4、C

【解析】

【分析】

证出∠NBF=∠EAF=∠MEC，再证明△NBF≌△EAF（AAS），得出BF=AF，NF=EF，证明△ANB≌△CEA得出∠CAE=∠ABN，推出∠ABF=∠FAC=45°；再证明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=NE=MC，得出AF=MC+EC，即可得出结论．

【详解】

解：∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，

∴∠AEB+∠NBF=∠AEB+∠EAF=∠AEB+∠MEC=90°，

∴∠NBF=∠EAF=∠MEC，

在△NBF和△EAF中，，

∴△NBF≌△EAF（AAS）；

∴BF=AF，NF=EF，

∴∠ABC=45°，∠ENF=45°，

∴△NFE是等腰直角三角形，故③正确；

∵∠ANB=90°+∠EAF，∠CEA=90°+∠MEC，

∴∠ANB=∠CEA，

在△ANB和△CEA中，，

∴△ANB≌△CEA（SAS），故①正确；

∵AN=CE，NF=EF，

∴BF=AF=FC，

又∵AF⊥BC，∠ABC=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，故②正确；

在▱ABCD中，CD∥AB，且△ABC、△NFE都是等腰直角三角形，

∴∠ACD=∠BAC=90°，∠ACB=∠FNE=45°，

∴∠ANE=∠BCD=135°，

在△ANE和△ECM中，，

∴△ANE≌△ECM（ASA），故④正确；

∴CM=NE，

又∵NF=NE=MC，

∴AF=MC+EC，

∴AD=BC=2AF=MC+2EC，故⑤错误．

综上，①②③④正确，共4个，

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，进一步求得的度数．

【详解】

解：五边形的内角和等于，，

，

、的平分线在五边形内相交于点，

，

．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，解题的关键是熟记公式，注意整体思想的运用．

6、D

【解析】

略

7、B

【解析】

略

8、B

【解析】

略

9、C

【解析】

【分析】

首先求得外角的度数，然后利用多边形的外角和是360度，列式计算即可求解．

【详解】

解：由题意可知：n边形每个外角的度数是：180°-156°=24°，

则n=360°÷24°=15．

故选：C．

【点睛】

本题考查了多边形的外角与内角，熟记多边形的外角和定理是关键．

10、B

【解析】

【分析】

先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解．

【详解】

解：四边形是平行四边形，

，，

，

平分，

，

，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

根据正多边形外角和和内角和的性质，得、；根据四边形内角和的性质，计算得；根据五边形内角和的性质，计算得，再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．

【详解】

如图，延长BA

∵正十边形

∴，正十边形内角，即

根据题意，得四边形内角和为：，且

∴

∴

根据题意，得五边形内角和为：，且

∴

∴

故答案为：．

【点睛】

本题考查了正多边形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和、正多边形内角和的性质，从而完成求解．

2、2

【解析】

【分析】

过点D作DM⊥CB于M，证出∠DAE=∠DBM，判定△ADE≌△BDM，得到DM=DE=3，证明四边形CEDM是矩形，得到CE=DM=3，由AE=1，求出BC=AC=2．

【详解】

解：∵DE⊥AC，

∴∠E=∠C=90°，

∴，

过点D作DM⊥CB于M，则∠M=90°=∠E，

∵AD=BD，

∴∠BAD=∠ABD，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA，

∴∠DAE=∠DBM，

∴△ADE≌△BDM，

∴DM=DE=3，

∵∠E=∠C=∠M =90°，

∴四边形CEDM是矩形，

∴CE=DM=3，

∵AE=1，

∴BC=AC=2，

故答案为：2．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边对等角证明角度相等，正确引出辅助线证明△ADE≌△BDM是解题的关键．

3、

【解析】

【分析】

连接FC，过点H作，过点P作，线段PM长度即为所求，根据折叠及矩形的性质可得，，，，，，由全等三角形及平行线的判定得出，，，点A、H、G三点共线，且，点H为AG中点，设，则，，利用勾股定理可得，，由三角形中位线的判定及性质可得，，最后在两个三角形与中，利用等面积法求解即可得．

【详解】

解：如图所示：连接FC，过点H作，过点P作，线段PM长度即为所求，

∵长方形ABCD沿AE，EF翻折使其B、C重合于点H，点D落在点G的位置，

∴，，，，，，

∴，，，

∴点A、H、G三点共线，且，点H为AG中点，

设，则，，

在中，

，

即，

解得：，

∴，，

∵且点H为AG中点，

∴HP为中位线，

∴，，

在中，

，

，即，

∴，

∴，即，

解得：，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查矩形及图形折叠的性质，全等三角形的性质及平行线的判定，中位线的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

4、9

【解析】

【分析】

根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值．

【详解】

解：由题意得，n-2=7，

解得：n=9，

即这个多边形是九边形．

故答案为：9．

【点睛】

本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．

5、4+2

【解析】

【分析】

取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．

【详解】

解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB＝AD，

∵∠BAD＝120°，

∴∠CAD＝60°，

∴△ACD为等边三角形，

又∵DE＝DG，

∴△DEG也为等边三角形．

∴DE＝GE，

∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，

∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，

即∠DEF＝∠GEF'，

由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，

所以EF＝EF'．

在△DEF和△GEF'中，

，

∴△DEF≌△GEF'（SAS）．

∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，

∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

则点F'的运动轨迹为射线GF'．

观察图形，可得A，E关于GF'对称，

∴AF'＝EF'，

∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，

在Rt△BCH中，

∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，

∴，

在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，

∴BF'+EF'≥2，

∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，

故答案为：4+2．

【点睛】

本题考查了旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

三、解答题

1、 (1)

(2)

(3)

(4)

2、 (1)-3，3，1，3，-3，-1

(2)①-2；②

(3)或

【解析】

【分析】

（1）分别以、、为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点，，的坐标；

（2）①根据平行公理得，、在同一直线上，、、在同一直线上，可得是等腰三角形△的中位线，求出，即可得的值；

②由①求得的的值可得，的坐标，分别求出直线过点，时的值即可求解；

（3）由题意用表示出点，，的坐标，画出图形，求出直线与△交于点，时的值即可求解．

(1)

解：，，

，轴．

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

，，

将向左平移2个单位长度可得，即；

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

，，

将向右平移2个单位长度可得，即；

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

对角线的中点与的中点重合，

的中点为，，

．

故答案为：，，；

(2)

解：①如图，若△是以为底的等腰三角形，

四边形，，是平行四边形，

，，，

、、在同一直线上，、、在同一直线上，，

是等腰三角形△的中位线，

，，

，，，

，

；

②由①得，

，．

当直线过点时，，解得：，

当直线过点时，，解得：，

的取值范围为；

(3)

解：如图，，，，

，．

连接、交于点，

四边形是平行四边形，

点、关于点对称，

，

直线与△有公共点，

当直线与△交于点，，解得：，

时，直线与△有公共点；

当直线与△交于点，，解得：，

时，直线与△有公共点；

综上，的取值范围为或．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．

3、 (1)(10，8)

(2)D(0，5)，E(4，8)

【解析】

【分析】

（1）根据，，可得点的坐标；

（2）根据折叠的性质，可得AE=AO，OD=ED，根据勾股定理，可得EB的长，根据线段的和差，可得CE的长，可得E点坐标；再根据勾股定理，可得OD的长，可得D点坐标；

(1)

解：∵，，

∴点的坐标(10，8)，

故答案为：(10，8)；

(2)

解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=OC=8，

由勾股定理，得BE= =6，

CE=BC-BE=10-6=4，E(4，8)．

在Rt△DCE中，由勾股定理，得DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD，CD=8-OD，

(8-OD)2+42=OD2，

解得OD=5，D(0，5)．

所以D(0，5)，E(4，8)；

【点睛】

本题主要考查了、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．

4、10cm

【解析】

【分析】

根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．

【详解】

解：∵∠BOC＝120°，

∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OB，

∵∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝5cm，

∴OA＝OB＝AB＝5cm，

∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．

【点睛】

本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．

5、 (1)理由见解析

(2)，理由见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1），，可知，进而可说明；

（2）如图1所示，连接并延长至点K，分别平分，则设，为的外角，，同理，

，得；又由（1）中证明可知，，进而可得到结果；

（3）如图2所示，过点C作，则，，可得，由（1）中证明可得，在中， ，即，进而可得到结果．

(1)

证明：

又

在和中

．

(2)

解：．

理由如下：如图1所示，连接并延长至点K

分别平分

则设

为的外角

同理可得

即

．

又由（1）中证明可知

由三角形内角和公式可得

即

．

(3)

解：当时，如图2所示，过点C作，则

，即

由（1）中证明可得

在中，根据三角形内角和定理有

即

即

即，解得：

故．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接并延长，利用三角形外角性质证得是解题的关键．