冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试优秀同步测试题

八年级数学下册第二十二章四边形专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，正方形的边长为，对角线、相交于点．为上的一点，且，连接并延长交于点．过点作于点，交于点，则的长为（     ）

A． B． C． D．

2、下列多边形中，内角和与外角和相等的是（　　）

A． B． C． D．

3、将一长方形纸条按如图所示折叠，，则（       ）

A．55° B．70° C．110° D．60°

4、若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（       ）

A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8

5、如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（       ）

A．1 B．4 C．2 D．6

6、下列命题中是真命题的是（       ）．A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一个角为直角的四边形是矩形

7、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（       ）

A． B．8 C． D．

8、如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，，，E是OB的中点，P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为（       ）

A． B． C． D．

9、如图，矩形中，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是22.5，则（       ）

A．8 B．10 C．12 D．14

10、小明想判断家里的门框是否为矩形，他应该（     ）

A．测量三个角是否都是直角 B．测量对角线是否互相平分

C．测量两组对边是否分别相等 D．测量一组对角是否是直角

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，已知DF＝5，则AE＝_____．

2、如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为__________．

3、如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．

4、三角形的各边长分别是8、10、12、则连接各边中点所得的三角形的周长是___．

5、将矩形纸片ABCD（AB＜BC）沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG（如图2）：再展开纸片（如图3），则图3中∠FEG的大小是__．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；

(2)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；

(3)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．

2、如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形，点C在小正方形顶点上；

(2)在（1）的条件下确定点C后，再画出矩形BCDE，D，E都在小正方形顶点上，且矩形BCDE的周长为16，直接写出EA的长为　   　．

3、（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积．

①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为      ；

②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为      ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式      ．

（2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢?

①方法1：一路往下数，不回头数．

以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个；

以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个；

以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个；

以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个；

则图中锐角的总个数是      ；

②方法2：每一条边都能和除它以外的（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是      ；

用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式      ．

（3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题．

①计算：19782＋20222；

②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有      条对角线，n边形共有      条对角线．

4、已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，，点E，F分别为垂足．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)求证：四边形AECF是矩形．

5、已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．

(1)求证：AF＝CG；

(2)连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据正方形的性质以及已知条件求得的长，进而证明，即可求得，勾股定理即可求得的长

【详解】

解：如图，设的交点为，

四边形是正方形

，,

，，

，,

在与中

在中，

故选C

【点睛】

本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．

【详解】

解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：

（n-2）•180°=360°，

解得n=4．

故选：B．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．

【详解】

解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．

4、C

【解析】

【分析】

实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．

【详解】

解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．

故选C

【点睛】

本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．

5、C

【解析】

略

6、A

【解析】

【分析】

根据平行线四边形的性质得到对边相等，加上一组邻边相等，可得到四边都相等，根据菱形的定义对A、B进行判断；根据矩形的判定方法对C、D进行判断．

【详解】

解：A、平行四边形的对边相等，若有一组邻边相等，则四边都相等，所以该选项正确；

B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以该选项不正确；

C、对角线互相平分且相等的四边形为矩形，所以该选项不正确；

D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以该选项不正确．

故选：A．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质．

7、A

【解析】

【分析】

由菱形的性质得出OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD=13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE=6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO=GF即可得出答案．

【详解】

解：连接OE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，

在Rt△AOD中，AD==13，

又∵E是边AD的中点，

∴OE=AD=×13=6.5，

∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，

∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，

∴四边形EFOG为矩形，

∴FG=OE=6.5．

故选：A．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．

8、A

【解析】

【分析】

取OD的中点H，连接HP，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，由三角形中位线定理可得，，可得EH＝6，，由勾股定理可求PE的长．

【详解】

解：如图，取OD的中点H，连接HP

∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6

∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点

∴OH=3，OE=3，，

∴EH＝6，

在中，由勾股定理可得：

∴

故选：A

【点睛】

本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

根据折叠和矩形的性质，可得∠DBE =∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，从而得到∠BDE=∠DBE，进而得到BE=DE，再由的面积是22.5，可得，然后根据勾股定理，即可求解．

【详解】

解：根据题意得： ∠DBE =∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，

∴∠BDE=∠CBD，

∴∠BDE=∠DBE，

∴BE=DE，

∵的面积是22.5，，

∴ ，解得： ，

∴，

在 中，由勾股定理得：

   ，

∴ ．

故选：C

【点睛】

本题主要考查了折叠和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理是解题的关键．

10、A

【解析】

【分析】

根据矩形的判定方法解题．

【详解】

解：A、三个角都是直角的四边形是矩形，

选项A符合题意；

B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，

选项B不符合题意，

C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

选项C不符合题意；

D、一组对角是直角的四边形不是矩形，

选项D不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查矩形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

二、填空题

1、5

【解析】

【分析】

依题意，可得DF是△ABC的中位线，得到BC的边长；又结合直角三角形斜边中线是斜边的一半，即可求解；

【详解】

∵ D，F分别为AB，AC的中点，

∴DF是△ABC的中位线，

∴BC＝2DF＝10，

在Rt△ABC中，E为BC的中点，

故答案为：5．

【点睛】

本题主要考查直角三角形性质及中线的性质，关键在熟练综合使用和分析；

2、16

【解析】

略

3、4+2

【解析】

【分析】

取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．

【详解】

解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB＝AD，

∵∠BAD＝120°，

∴∠CAD＝60°，

∴△ACD为等边三角形，

又∵DE＝DG，

∴△DEG也为等边三角形．

∴DE＝GE，

∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，

∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，

即∠DEF＝∠GEF'，

由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，

所以EF＝EF'．

在△DEF和△GEF'中，

，

∴△DEF≌△GEF'（SAS）．

∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，

∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

则点F'的运动轨迹为射线GF'．

观察图形，可得A，E关于GF'对称，

∴AF'＝EF'，

∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，

在Rt△BCH中，

∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，

∴，

在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，

∴BF'+EF'≥2，

∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，

故答案为：4+2．

【点睛】

本题考查了旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

4、15

【解析】

【分析】

由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．

【详解】

解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，

则DE=AC，DF=BC，EF=AB，

∴△DEF的周长=DE+DF+EF=（AC+BC+AB）=×（8+10+12）cm=15cm．

故答案为15．

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半是解题的关键．

5、22.5°

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可知，∠A=∠EFB=90°，AB=BF，以及纸片ABCD为矩形可得，∠AEF为直角，进而可以判断四边形ABFE为正方形，进而通过∠AEB，∠BEG的角度计算出∠FEG的大小．

【详解】

解：由折叠可知△AEB≌△FEB，

∴∠A=∠EFB=90°，AB=BF，

∵纸片ABCD为矩形，

∴AE∥BF，

∴∠AEF=180°－∠BFE=90°，

∵AB=BF，∠A=∠AEF=∠EFB=90°，

∴四边形ABFE为正方形，

∴∠AEB=45°，

∴∠BED=180°－45°=135°，

∴∠BEG=135°÷2=67.5°，

∴∠FEG=67.5°－45°=22.5°．

【点睛】

本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，以及平行的相关性质，能够将正方形与矩形的性质相结合是解决本题的关键．

三、解答题

1、 (1)AE＝t，AD＝12﹣2t，DF＝t

(2)见解析

(3)3，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，根据直角三角形的性质表示出DF；

（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；

（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．

(1)

解：由题意得，AE＝t，CD＝2t，

则AD＝AC﹣CD＝12﹣2t，

∵DF⊥BC，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝t；

(2)

解：∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，

∴，

∵AE＝t，DF＝t，

∴AE＝DF，

∴四边形AEFD是平行四边形；

(3)

解：当t＝3时，四边形EBFD是矩形，

理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，

∴AB＝AC＝6cm，

∵，

∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，

解得，t＝3，

∵∠ABC＝90°，

∴四边形EBFD是矩形，

∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．

【点睛】

此题考查了30度角的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的定义，一元一次方程，三角形与动点问题，熟练掌握四边形的知识并综合应用是解题的关键．

2、 (1)见解析

(2)画图见解析，

【解析】

【分析】

（1）作出腰为5且∠ABC是钝角的等腰三角形ABC即可；

（2）作出边长分别为5，3的矩形ABDE即可．

(1)

解：如图，AB==BC，∠ABC>90°，所以△ABC即为所求；

(2)

解：如图，矩形BCDE即为所求．AE= ．

故答案为：．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

3、（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3)

【解析】

【分析】

（1）①根据边长为(a+b)的正方形面积公式求解即可；

②利用矩形和正方形的面积公式求解即可；

（2）①根据题中的数据求和即可；

②根据题意求解即可；

（3）①利用（1）的规律求解即可；

②根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n(n-3)（n≥3，且n为整数）可得答案．

【详解】

解：（1）①大正方形的面积为；

②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为；

可以得到等式：=；

故答案为：①；②；=；

（2）①图中锐角的总个数是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；

②锐角的总个数是n（n－1）；

可以得到等式为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；

故答案为：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；

（3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2

＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22

＝2×（20002＋222）

＝2×[4000000＋（20＋2）2]

＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968；

②一个四边形共有2条对角线，即×4×(4-3)=2；

一个五边形共有5条对角线，即×5×(5-3)=5；

一个六边形共有9条对角线，即×6×(6-3)=9；

……，

一个十七边形共有×17×(17-3)=119条对角线；

一个n边形共有n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线．

故答案为：119，n(n-3)．

【点睛】

本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．

4、 (1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证；

（2）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据矩形的判定即可得证．

(1)

证明：四边形是平行四边形，

，

，

，

在和中，，

．

(2)

证明：，

，

四边形是平行四边形，

，

，

在四边形中，，

四边形是矩形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．

5、 (1)见解析

(2)当AD=AB时，四边形BEDH是正方形

【解析】

【分析】

（1）要证明AF=CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；

（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2=AD2时，∠BED=90°，四边形BEDH是正方形．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，

∴∠AEF=∠CHG，

∵BE=2AB，DH=2CD，

∴BE=DH，

∴BE-AB=DH-DC，

∴AE=CH，

∴∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180°，

∴∠EAF=∠GCH，

∴△EAF≌△HCG(ASA)，

∴AF=CG；

(2)

解：当AD=AB时，四边形BEDH是正方形；

理由：∵BE∥DH，BE=DH，

∴四边形EBHD是平行四边形，

∵EH⊥BD，

∴四边形EBHD是菱形，

∴ED=EB=2AB，

当AE2+DE2=AD2时，则∠BED=90°，

∴四边形BEDH是正方形，即AB2+(2AB)2=AD2，

∴AD=AB，

∴当AD=AB时，四边形BEDH是正方形．

．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键．