数学第二十二章 四边形综合与测试优秀课时作业

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八年级数学下册第二十二章四边形专项练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列命题中是真命题的是（       ）．A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一个角为直角的四边形是矩形2、如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（       ）A．(1，1) B．(﹣1，﹣1) C．(-1，1) D．(1，﹣1)3、如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a值为（　　）A．3 B．4 C．14 D．184、如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（       ）A． B． C． D．5、如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为；⑤；⑥．其中正确结论有几个（     ）A．3 B．4 C．5 D．66、已知在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（       ）A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD7、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（　　）A．7 B．6 C．4 D．88、在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（            ）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BCC．AB ∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD＝BC9、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10、在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是（　　）A．6 B．12 C．24 D．48第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、正方形的边长与它的对角线的长度的比值为_____．2、如图，已知AD为的高，，以AB为底边作等腰，，交AC于F，连ED，EC，有以下结论：①；②；③；④；其中正确的是___．3、长方形纸片按图中方式折叠，其中为折痕，如果折叠后在一条直线上，那么的大小是________度．4、如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为______．5、如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，求CT的长．2、如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，且，，求证：四边形是矩形3、尺规作图并回答问题：（保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．请回答：在你的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是　 　．4、如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交于点E．AB＝6cm，BC＝8cm．(1)求证AE＝EC；(2)求阴影部分的面积．5、如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，求证：DC＝CF． -参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据平行线四边形的性质得到对边相等，加上一组邻边相等，可得到四边都相等，根据菱形的定义对A、B进行判断；根据矩形的判定方法对C、D进行判断．【详解】解：A、平行四边形的对边相等，若有一组邻边相等，则四边都相等，所以该选项正确；B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以该选项不正确；C、对角线互相平分且相等的四边形为矩形，所以该选项不正确；D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以该选项不正确．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质．2、B【解析】【分析】分别过点和点作轴于点，作轴于点，根据菱形的性质以及中位线的性质求得点的坐标，进而计算旋转的度数，7.5周，进而根据中心对称求得点旋转后的D坐标【详解】如图，分别过点和点作轴于点，作轴于点，∴，∵四边形为菱形，∴点为的中点，∴点为的中点，∴，，∵，∴；由题意知菱形绕点逆时针旋转度数为：，∴菱形绕点逆时针旋转周，∴点绕点逆时针旋转周，∵，∴旋转60秒时点的坐标为．故选B【点睛】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D的坐标，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键．3、A【解析】【分析】由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，再通过解直角三角形，求出△CBD高，进而求解．【详解】解：由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，过点B作BH⊥DC于点H，设CH=x，则DH=8-x，则BH2=BC2-CH2=BD2-DH2，即：BH2=42-（8-x）2=62-x2，解得：则：，则，故选：A．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．4、A【解析】【分析】设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．【详解】解：设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，交于点，作ES⊥x轴于S，∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，∴AD＝OB，OA＝BC，∴AD＋OA＝OB＋BC，∵AE＝AD，∴AE＋OA＝OB＋BC，即OE＝OB＋BC，∴OB＋CB的最小值为OE，由，当时，，解得：，，，当时，，，，，取的中点，过作轴的垂线交于，，当时，，，，，为的中点，，为等边三角形，，，，，∴FD＝3，∠FDG＝60°，∴DG＝DF＝，∴DE＝2DG＝3，∴ES＝DE＝，DS＝DE＝，∴OS＝，∴OE＝＝，∴OB＋CB的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值．5、D【解析】【分析】如图，过点作于点，连接，可说明四边形为矩形，，，是等腰直角三角形，；①中，可得为等腰直角三角形，进而求，由于四边形是平行四边形，，故可知；②，四边形为矩形，进而可求矩形的周长；③证明，由全等可知，进而可说明；④，当最小时，最小，即时，最小，计算即可；⑤在和中，勾股定理求得，将线段等量替换求解即可；⑥如图1，延长与交于点，证明，得，，，进而可说明．【详解】解：如图，过点作于点，连接，由题意知∴四边形为平行四边形∵∴四边形为矩形∴∵∴∵∴∴是等腰直角三角形∴①∵，∴为等腰直角三角形∴，∴∴四边形是平行四边形∴∴故①正确；②∵∴四边形为矩形∴四边形的周长故②正确；③四边形为矩形∵在和中∵∴∴∴故③正确；④∵当最小时，最小∴当时，即时，的最小值等于故④正确；⑤在和中，，∴故⑤正确；⑥如图1，延长与交于点 ∵在和中∵∴∴∵∴∴故⑥正确；综上，①②③④⑤⑥正确，故选：．【点睛】本题考查了正方形，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形全等．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．6、D【解析】略7、A【解析】【分析】如图所示，连接AC，OB交于点D，先求出C和A的坐标，然后根据矩形的性质得到D是AC的中点，从而求出D点坐标为（2，1），再由当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC，OB交于点D，∵C是直线与y轴的交点，∴点C的坐标为（0，2），∵OA=4，∴A点坐标为（4，0），∵四边形OABC是矩形，∴D是AC的中点，∴D点坐标为（2，1），当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，由题意得平移后的直线解析式为，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．8、D【解析】略9、A【解析】【分析】利用勾股定理逆定理证得△ABC是直角三角形，由此判断①；证明△ABC≌△DBF得到DF＝AE，同理可证：△ABC≌△EFC，得到EF＝AD，由此判断②；由②可判断③；过A作AG⊥DF于G，求出AG即可求出 S▱AEFD，判断④．【详解】解：∵AB＝3，AC＝4，32+42＝52，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故①正确；∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAE＝150°，∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD＝BA，BF＝BC，∴∠DBF＝∠ABC，在△ABC与△DBF中，， ∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE＝4，同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB＝EF＝AD＝3，∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；过A作AG⊥DF于G，如图所示：则∠AGD＝90°，∵四边形AEFD是平行四边形，∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，∴AG＝AD＝， ∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6；故④错误；∴错误的个数是1个，故选：A．．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的30度角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．10、C【解析】【分析】利用菱形的面积公式即可求解．【详解】解：菱形ABCD的面积＝＝＝24，故选：C．【点睛】本题考查菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半．二、填空题1、##【解析】【分析】由正方形的性质得出，，，由勾股定理求出，即可得出正方形的边长与对角线长的比值．【详解】解：四边形是正方形，，，，，；故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．2、①③【解析】【分析】只要证明，，是的中位线即可一一判断；【详解】解：如图延长交于，交于．设交于．，，，，，，故①正确，，，，，，不垂直，故②错误，，，，，，，是等腰直角三角形，平分，，，，，，故③正确，，，，，，故④正确．故答案是：①③．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．3、90【解析】【分析】根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，利用平角，计算∠2+∠3的度数即可．【详解】如图，根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，∴=90°，故答案为：90．【点睛】本题考查了折叠的性质，两个角的和，熟练掌握折叠的性质，灵活运用两个角的和是解题的关键．4、49【解析】【分析】延长FE交AB于点M，则，，由正方形的性质得，推出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出CM，故得出BC，由正方形的面积公式即可得出答案．【详解】如图，延长FE交AB于点M，则，，∵四边形ABCD是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，在中，，∴，∴．故答案为：49．【点睛】本题考查正方形的性质以及勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．5、4+2【解析】【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE，∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'．在△DEF和△GEF'中，，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形，可得A，E关于GF'对称，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴，在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，∴BF'+EF'≥2，∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，故答案为：4+2．【点睛】本题考查了旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．三、解答题1、【解析】【分析】连接AC，CF，如图，根据正方形的性质得到AC=，AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，则利用勾股定理得到AF=，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT的长．【详解】解：连接AC、CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴AC=AB=5，CF=CE=2，∠ACD=45°，∠GCF=45°，∴∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△ACF中，∵T为AF的中点，∴，∴CT的长为．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．2、证明见解析【解析】【分析】平行四边形，可知；由于 ，可得，，知四边形为平行四边形，由可知四边形是矩形．【详解】证明：∵四边形 是平行四边形∴∵∴∵∴四边形为平行四边形又∵∴四边形是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识．解题的关键在于灵活掌握矩形的判定．3、证明见解析；邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．【解析】【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形或对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．【详解】解：如图，四边形AECF即为所求作．理由：四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO，∵EF垂直平分线段AC，∴OA=OC，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EA=EC或AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．故答案为：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4、 (1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）先根据折叠的性质可得，再根据矩形的性质、平行线的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；（2）设，从而可得，先在中，利用勾股定理可得的值，再利用三角形的面积公式即可得．(1)证明：由折叠的性质得：，四边形是长方形，，，，．(2)解：四边形是长方形，，设，则，在中，，即，解得，即，则阴影部分的面积为．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．5、见解析【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质可得∠BAE＝∠CFE，根据中点的定义可得EB＝EC，利用AAS可证明△ABE≌△FCE，可得AB＝CF，进而可得结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE；∵E为BC中点，∴EB＝EC，在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF，∴DC＝CF．【点睛】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．