初中数学冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品同步训练题

这是一份初中数学冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品同步训练题，共32页。试卷主要包含了下列命题不正确的是等内容，欢迎下载使用。
八年级数学下册第二十二章四边形章节测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（ ）

A．80° B．90° C．100° D．110°
2、在平行四边形ABCD中，∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D的值可以是（ ）
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．2∶2∶1∶1 D．1∶2∶1∶2
3、如图，在平行四边形中，平分，交边于，，，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．5
4、下列命题不正确的是（ ）
A．三边对应相等的两三角形全等
B．若，则
C．有一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．的三边为a、b、c，若，则是直角三角形．
5、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
6、如图，在给定的正方形中，点从点出发，沿边方向向终点运动， 交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ）

A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小
7、若n边形每个内角都为156°，那么n等于（ ）
A．8 B．12 C．15 D．16
8、如图，平行四边形ABCD，∠BCD=120°，AB=2，BC=4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（ ）

A．1 B． C． D．
9、数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分 B．测量一组对角是否都为直角
C．测量对角线长是否相等 D．测量3个角是否为直角
10、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）

A．1 B． C． D．2
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别________；平行四边形的两组对角分别________；平行四边形的对角线________．
2、如图，正方形中，为上一动点（不含、，连接交于，过作交于，过作于，连接，．下列结论：①；②；③平分；④，正确的是__（填序号）．

3、已知菱形ABCD两条对角线的长分别为6和8，若另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，则菱形EFGH两条对角线的长分别是  _____．
4、如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．

5、如图，矩形纸片，，．如果点在边上，将纸片沿折叠，使点落在点处，如果直线经过点，那么线段的长是_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于F点，连接，过点D作于点G．

(1)求证：四边形是平行四边形：
(2)若．
①当___________时，四边形是矩形；
②若四边形是菱形，则________．
2、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD//BC

(1)在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
3、在平面直角坐标系中，已知点，，，以点，，为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，，，如图所示．

(1)若，则点，，的坐标分别是（　　），（　　），（　　）；
(2)若△是以为底的等腰三角形，
①直接写出的值；
②若直线与△有公共点，求的取值范围．
(3)若直线与△有公共点，求的取值范围．
4、如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．

(1)尺规作图：作，使，点F是的边与线段AB的交点．（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)探究：AE，DF的位置关系和数量关系，并说明理由．
5、【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．
(1)请证明“射影定理”中的结论③．
(2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接．

①求证：．
②若，求的长．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．
【详解】
解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，
又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，
∴∠EBD=∠A′BE+∠DBC′=180°×=90°．
故选B．
【点睛】
此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．
2、D
【解析】
略
3、B
【解析】
【分析】
先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
4、C
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定定理（定理）、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理逐项判断即可得．
【详解】
解：A、三边对应相等的两三角形全等，此命题正确，不符题意；
B、若，则，此命题正确，不符题意；
C、有一组对边平行、另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以此项命题不正确，符合题意；
D、的三边为、、，若，即，则是直角三角形，此命题正确，不符题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握各定理是解题关键．
5、D
【解析】
【分析】
由题意依据全等三角形的判定得出△BOM≌△CON，进而根据正方形的性质即可得出的大小.
【详解】
解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD．
∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90°
∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°，
∴△BOM≌△CON（ASA），=S△BOM，
∴，
∵=S正方形ABCD，正方形的边长，，
∴=S正方形ABCD -=.
故选：D.
【点睛】
本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键．
6、A
【解析】
【分析】
根据题意，作交的延长线于，证明是的角平分线即可解决问题．
【详解】
解：作交的延长线于，

∵四边形 是正方形，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵， ，
∴，
∵，．
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∴点的运动轨迹是的角平分线，
∵，
由图可知，点P从点D开始运动，所以一直减小，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
7、C
【解析】
【分析】
首先求得外角的度数，然后利用多边形的外角和是360度，列式计算即可求解．
【详解】
解：由题意可知：n边形每个外角的度数是：180°-156°=24°，
则n=360°÷24°=15．
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的外角与内角，熟记多边形的外角和定理是关键．
8、C
【解析】
【分析】
先证明NM为△AEF的中位线，根据中位线性质得出MN=，可得AE最小时，MN最小，根据点E在直线BC上，根据点到直线的距离最短得出AE⊥BC时AE最短，根据在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，利用三角形内角和∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-60°-90°=30°，利用30°直角三角形性质得出BE=，再利用勾股定理求出AE即可．
【详解】
解：∵M为FA中点，N为FE中点，
∴NM为△AEF的中位线，
∴MN=
∴AE最小时，MN最小，
∵点E在直线BC上，
根据点A到直线BC的距离最短，
∴AE⊥BC时AE最短，
∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=120°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-60°-90°=30°，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=2，
∴BE=，
根据勾股定理AE最小值=,
∴MN=．
故选择C．
【点睛】
本题考查三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性质，勾股定理，掌握三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性质，勾股定理是解题关键．
9、D
【解析】
【分析】
矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．
【详解】
解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；
B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；
C、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；
D、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10、D
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，
∴B'E=2AE，
设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，
∴2（3-x）=x，
解得x=2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
二、填空题
1、 相等 相等 互相平分
【解析】
略
2、①②④
【解析】
【分析】
连接，延长交于点．可证，进而可得，由此可得出；再由，即可得出；连接交于点，则，证明，即可得出，进而可得；过点作于点，交于点，由于是动点，的长度不确定，而是定值，即可得出不一定平分．
【详解】
解：如图，连接，延长交于点．

∵为正方形的对角线
∴，
在和中

∴
∴，
∵， ，
∴
∵，
∴
∴
∴
故①正确；
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
故②正确；
连接交于点，则
∵
∴
在和中

∴
∴
∴
故④正确．
过点作于点，交于点，是动点
∵的长度不确定，而是定值
∴不一定等于
不一定平分
故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
3、，
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA=4，OB=3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，

∴OA=AC=4，OB=BD=3，AC⊥BD，
∴AB==5，
∴菱形ABCD的周长是：5×4=20，面积是：×6×8=24．
∵另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，
∴菱形EFGH的周长和面积分别是40，48，
∴菱形EFGH的边长是10，
设菱形EFGH的对角线为2a，2b，
∴a2+b2=100，×2a×2b=48，
∴a=，b=，
∴菱形EFGH两条对角线的长分别是，，
故答案为：2，．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及勾股定理．关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线积的一半的知识点．
4、4+2
【解析】
【分析】
取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．
【详解】
解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠CAD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
又∵DE＝DG，
∴△DEG也为等边三角形．
∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，
∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，
即∠DEF＝∠GEF'，
由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，
所以EF＝EF'．
在△DEF和△GEF'中，
，
∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，
∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
则点F'的运动轨迹为射线GF'．
观察图形，可得A，E关于GF'对称，
∴AF'＝EF'，
∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
在Rt△BCH中，
∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，
∴，
在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，
∴BF'+EF'≥2，
∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，
故答案为：4+2．
【点睛】
本题考查了旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
5、
【解析】
【分析】
根据题意可知∠AFD=90°，利用勾股定理得DF=，再证明AD=DE，即可得出EF的长，从而解决问题．
【详解】
如图，∵将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，
∴AB=AF=3，∠B=∠AFE=90°，∠AEB=∠AED，

∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AED，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=4，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：，
∴EF=DE-DF=，
∴BE=EF=，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，证明AD=DE是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)见解析；
(2)①3；②
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线的性质得到DEAB，BD=CD，即可证得四边形ABDF是平行四边形，得到AF=BD=CD，由此得到结论；
（2）①由点D、E分别是边BC、AC的中点，得到DE=AB，由四边形是平行四边形，得到DF=2DE=AB=3，再根据矩形的性质得到AC=DF=3；
②根据菱形的性质得到DF⊥AC，推出AB⊥AC，利用勾股定理求出AC，得到CE，利用面积法求出答案．
(1)
证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DEAB，BD=CD，
∵，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD=CD，
∴四边形是平行四边形；
(2)
解：①∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=AB，
∵四边形是平行四边形，
∴DF=2DE=AB=3，
∵四边形是矩形,
∴AC=DF=3，
故答案为：3；
②∵四边形是菱形，
∴DF⊥AC，
∵DEAB，
∴AB⊥AC，
∴AD=BC=2.5，
∴AE=EC=2，
∵
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．
2、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
（2）结合垂直平分线的性质得出△ADE≌△FBE，即可得出AE=EF，进而利用菱形的判定方法得出答案．
(1)
（1）如图：EF即为所求作

(2)
证明：如图，连接DF，
∵AD//BC，
∴∠ADE=∠EBF，
∵AF垂直平分BD，
∴BE=DE．
在△ADE和△FBE中，
，
∴△ADE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF，
∴BD与AF互相垂直且平分，
∴四边形ABFD为菱形．
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键．
3、 (1)-3，3，1，3，-3，-1
(2)①-2；②
(3)或
【解析】
【分析】
（1）分别以、、为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点，，的坐标；
（2）①根据平行公理得，、在同一直线上，、、在同一直线上，可得是等腰三角形△的中位线，求出，即可得的值；
②由①求得的的值可得，的坐标，分别求出直线过点，时的值即可求解；
（3）由题意用表示出点，，的坐标，画出图形，求出直线与△交于点，时的值即可求解．
(1)
解：，，
，轴．
以为对角线时，
四边形是平行四边形，
，，
将向左平移2个单位长度可得，即；
以为对角线时，
四边形是平行四边形，
，，
将向右平移2个单位长度可得，即；
以为对角线时，
四边形是平行四边形，
对角线的中点与的中点重合，
的中点为，，
．
故答案为：，，；
(2)
解：①如图，若△是以为底的等腰三角形，

四边形，，是平行四边形，
，，，
、、在同一直线上，、、在同一直线上，，
是等腰三角形△的中位线，
，，
，，，
，
；
②由①得，
，．
当直线过点时，，解得：，
当直线过点时，，解得：，
的取值范围为；
(3)
解：如图，，，，
，．

连接、交于点，
四边形是平行四边形，
点、关于点对称，
，
直线与△有公共点，
当直线与△交于点，，解得：，
时，直线与△有公共点；
当直线与△交于点，，解得：，
时，直线与△有公共点；
综上，的取值范围为或．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．
4、 (1)见解析；
(2)，，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意作出即可；
（2）证明即可得结论．
(1)
如图，即为所求．

(2)
，．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
在和中，
∴（AAS），
∴．
∵，．
∴，即．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，作一个角等于已知角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5、 (1)见解析；
(2)①见解析；②．
【解析】
【分析】
（1）由AA证明，再由相似三角形对应边称比例得到，继而解题；
（2）①由“射影定理”分别解得，，整理出，再结合即可证明；
②由勾股定理解得，再根据得到，代入数值解题即可．
(1)
证明：







(2)
①四边形ABCD是正方形









②在中，


在，



．
【点睛】
本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．