冀教版第二十二章 四边形综合与测试优秀课时作业

这是一份冀教版第二十二章 四边形综合与测试优秀课时作业，共32页。试卷主要包含了六边形对角线的条数共有等内容，欢迎下载使用。
八年级数学下册第二十二章四边形定向攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　）

A．1 B． C． D．
2、十边形中过其中一个顶点有（ ）条对角线．
A．7 B．8 C．9 D．10
3、陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，下图中有可能不合格的零件是（ ）
A． B．
C． D．
4、如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点落在∠BAC内部．若，且，则∠DAE的度数为（ ）

A．12° B．24° C．39° D．45°
5、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
6、如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2＋b2＝ab＋10，那么小正方形的面积为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
7、如图．在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．点P，Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．16
8、将一长方形纸条按如图所示折叠，，则（ ）

A．55° B．70° C．110° D．60°
9、六边形对角线的条数共有（ ）
A．9 B．18 C．27 D．54
10、如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（ ）

A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC：BD＝2：3，那么AC的长为___．

2、中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，则当AD＝________时，四边形ABCD是平行四边形．
3、两组对边分别________的四边形叫做平行四边形．

平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的________．
如图所示的四边形ABCD是平行四边形．
记作：________，读作：平行四边形ABCD
线段________、________就是平行四边形ABCD的对角线．
平行四边形相对的边，称为 ________，相对的角称为________．
对边：AB与CD；BC与DA．
对角：∠ABC与∠CDA；∠BAD与∠DCB．
4、如图，在中，，D为外一点，使，E为BD的中点若，则__________．

5、若一个多边形的内角和是外角和的倍，则它的边数是_______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在平行四边形ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．
2、背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．

(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．
(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．
(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．
3、已知正方形与正方形，，．

(1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，将阴影部分三角形的面积记作，则 （用含有、的代数式表示）．
(2)如图2，若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、、，将阴影部分三角形的面积记作，则 （用含有、的代数式表示）．
(3)如图3，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点、在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接、、，设，将阴影部分三角形的面积记作，则 （用含有、、的代数式表示）．
(4)如图4，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点、在的延长线上，连接、、，设，将阴影部分三角形的面积记作，则 （用含有、、的代数式表示）．
4、如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．E是BC上的点，AE=AD．

(1)在线段CD上作一点F，连接EF，使得∠EFC＝∠BEA(请用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)；
(2)在（1）作出的图形中，若AB＝4，AD＝5，求DF的值．
5、如图，在中，点D、E分别是边的中点，过点A作交的延长线于F点，连接，过点D作于点G．

(1)求证：四边形是平行四边形：
(2)若．
①当___________时，四边形是矩形；
②若四边形是菱形，则________．

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长．
【详解】
解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
2、A
【解析】
【分析】
根据多边形对角线公式解答．
【详解】
解：十边形中过其中一个顶点有10-3=7条对角线，
故选：A．
【点睛】
此题考查了多边形对角线公式，理解公式的得来方法是解题的关键．
3、C
【解析】
【分析】
根据矩形的判定定理判断即可．
【详解】
∵A满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴A合格，不符合题意；
∵B满足的条件是三个角是直角的四边形是矩形，
∴B合格，不符合题意；
∵C满足的条件是有一个角是直角的四边形，
∴无法判定，C不合格，符合题意；
∵D满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴D合格，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的判定定理，正确理解题意，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
4、C
【解析】
【分析】
由折叠的性质得到，由长方形的性质得到，根据角的和差倍分得到，整理得 ，最后根据解题．
【详解】
解：折叠，

是矩形










故选：C．
【点睛】
本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5、D
【解析】
【分析】
由题意依据全等三角形的判定得出△BOM≌△CON，进而根据正方形的性质即可得出的大小.
【详解】
解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD．
∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90°
∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°，
∴△BOM≌△CON（ASA），=S△BOM，
∴，
∵=S正方形ABCD，正方形的边长，，
∴=S正方形ABCD -=.
故选：D.
【点睛】
本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键．
6、A
【解析】
【分析】
由正方形1性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题．
【详解】
解：设大正方形的边长为，
大正方形的面积是18，
，
，
，
，
，
小正方形的面积，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出．
7、A
【解析】
【分析】
根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．
【详解】
解：①在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，
∴BC=AD=20，
当p与B重合时，BA′=BA=12，
CA′=BC-BA′=20-12=8，
②当Q与D重合时，
由折叠得A′D=AD=20，
由勾股定理，得
CA′==16，
CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16-8=8，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．
8、B
【解析】
【分析】
从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．
【详解】
解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．
9、A
【解析】
【分析】
n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数），由此可得出答案．
【详解】
解：六边形的对角线的条数= =9．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）．
10、A
【解析】
【分析】
设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．
【详解】
解：设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，交于点，作ES⊥x轴于S，

∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，
∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，
∴AD＝OB，OA＝BC，
∴AD＋OA＝OB＋BC，
∵AE＝AD，
∴AE＋OA＝OB＋BC，
即OE＝OB＋BC，
∴OB＋CB的最小值为OE，
由，
当时，，
解得：，
，
，
当时，，
，
，
，
取的中点，过作轴的垂线交于，

，
当时，，
，
，
，
为的中点，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
∴FD＝3，∠FDG＝60°，
∴DG＝DF＝，
∴DE＝2DG＝3，
∴ES＝DE＝，DS＝DE＝，
∴OS＝，
∴OE＝＝，
∴OB＋CB的最小值为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值．
二、填空题
1、4
【解析】
【分析】
四边形是平行四边形，可得，由，可知，由可知在中勾股定理求解的值，进而求解的值．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴
∴设
则
解得：
则
故
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了勾股定理，平行四边形的性质等知识．解题的关键在于正确的求解．
2、6
【解析】
略
3、 平行 对角线 AC BD 对边 对角
【解析】
略
4、##30度
【解析】
【分析】
延长BC、AD交于F，通过全等证明C是BF的中点，然后利用中位线的性质即可．
【详解】
解：延长BC、AD交于F，

在△ABC和△AFC中
，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴BC=FC，
∴C为BF的中点，
∵E为BD的中点，
∴CE为△BDF的中位线，
∴CE//AF，
∴∠ACE=∠CAF，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACE=∠CAF=∠BAC=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质，以及平行线的性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
5、
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式（n−2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n−2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
答：这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)AD=2AB，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由SSS证明△ABM≌△DCM，得出∠A=∠D，由平行线的性质得出∠A+∠D=180°，证出∠A=90°，即可得出结论；
（2）先证明△BCM是等腰直角三角形，得出∠MBC=45°，再证明△ABM是等腰直角三角形，得出AB=AM，即可得出结果．
(1)
证明：∵点M是AD边的中点，
∴AM=DM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠A=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)
解：AD与AB之间的数量关系：AD=2AB，理由如下：
∵△BCM是直角三角形，BM=CM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠MBC=45°，
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠AMB=∠MBC=45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB=AM，
∵点M是AD边的中点，
∴AD=2AM，
∴AD=2AB．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM≌△DCM是解题的关键．
2、 (1)150°；
(2)见详解；
(3)；
(4)．
【解析】
【分析】
（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；
（2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可；
（3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；
（4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可．
(1)
解：连结PP′，
∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案为150°；

(2)
证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，
∵，
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∴点P在CB′上，
∴过的费马点．

(3)
解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；

(4)
解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB′=，
∴最小=AB′=．

【点睛】
本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．
3、 (1)
(2)
(3)
(4)
4、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作∠DAE的角平分线，与DC的交点即为所求，理由：可先证明△AEF≌△ADF，可得∠AEF=∠D=90°，从而得到∠DAE+∠DFE=180°，进而得到∠EFC=∠DAE，再由AD∥BC，即可求解；
（2）根据矩形的性质可得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，从而得到BE＝3，进而得到EC＝2，然后在 中，由勾股定理，即可求解．
(1)
解：如图，作∠DAE的角平分线，与DC的交点即为所求．

∵AE=AD，∠EAF=∠DAF，AF=AF，
∴△AEF≌△ADF，
∴∠AEF=∠D=90°，
∴∠DAE+∠DFE=180°，
∵∠EFC+∠DFE=180°，
∴∠EFC=∠DAE，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE，
∴∠EFC＝∠BEA；
(2)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，
∵AE＝AD＝5，
∴BE＝＝＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，
由（1）得：△AEF≌△ADF，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
5、 (1)见解析；
(2)①3；②
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线的性质得到DEAB，BD=CD，即可证得四边形ABDF是平行四边形，得到AF=BD=CD，由此得到结论；
（2）①由点D、E分别是边BC、AC的中点，得到DE=AB，由四边形是平行四边形，得到DF=2DE=AB=3，再根据矩形的性质得到AC=DF=3；
②根据菱形的性质得到DF⊥AC，推出AB⊥AC，利用勾股定理求出AC，得到CE，利用面积法求出答案．
(1)
证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DEAB，BD=CD，
∵，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD=CD，
∴四边形是平行四边形；
(2)
解：①∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE=AB，
∵四边形是平行四边形，
∴DF=2DE=AB=3，
∵四边形是矩形,
∴AC=DF=3，
故答案为：3；
②∵四边形是菱形，
∴DF⊥AC，
∵DEAB，
∴AB⊥AC，
∴AD=BC=2.5，
∴AE=EC=2，
∵
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的判定及性质，勾股定理，是一道较为综合的几何题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．