冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试优秀同步训练题

这是一份冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试优秀同步训练题，共28页。试卷主要包含了如图，已知矩形ABCD中，R，下列命题是真命题的有个．等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOD=120°，AO=3，则BC的长度是（ ）
A．3B．C．D．6
2、如图．在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．点P，Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（ ）
A．8B．10C．12D．16
3、将一长方形纸条按如图所示折叠，，则（ ）
A．55°B．70°C．110°D．60°
4、如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（ ）
A．1B．C．D．
5、小明想判断家里的门框是否为矩形，他应该（ ）
A．测量三个角是否都是直角B．测量对角线是否互相平分
C．测量两组对边是否分别相等D．测量一组对角是否是直角
6、下列命题中是真命题的是（ ）．A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形D．有一个角为直角的四边形是矩形
7、如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定
8、下列命题是真命题的有（ ）个．
①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．
A．1B．2C．3D．4
9、如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB＋CB的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10、如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，，，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝6，则GH的长为_________．
2、如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，在对角线BD上有一点P，则PC+PE的最小值是_______．
3、如图，正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，将AB边沿AE折叠到AF．延长EF交DC于G，点G恰为CD边中点，连接AG，CF，AC．若AB＝6，则△AFC的面积为_______．
4、四边形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四边形，需要增加条件________（只需填一个 条件即可）．
5、中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，则当AD＝________时，四边形ABCD是平行四边形．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在中，，，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分．
(1)如图1，若，，求CD的长；
(2)如图2，若G为EF上一点，且，求证：．
2、如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．
(1)求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB．
3、如图，已知正方形ABCD，点E在边BC上，连接AE．
(1)尺规作图：作，使，点F是的边与线段AB的交点．（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)探究：AE，DF的位置关系和数量关系，并说明理由．
4、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；
(2)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；
(3)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．
5、尺规作图并回答问题：（保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．
请回答：在你的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是 ．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
画出图形，由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长．
【详解】
解：如下图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=4，
∴BC2=AC2-AB2=36-9=27，
∴BC=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
2、A
【解析】
【分析】
根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．
【详解】
解：①在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，
∴BC=AD=20，
当p与B重合时，BA′=BA=12，
CA′=BC-BA′=20-12=8，
②当Q与D重合时，
由折叠得A′D=AD=20，
由勾股定理，得
CA′==16，
CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16-8=8，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．
3、B
【解析】
【分析】
从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．
【详解】
解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．
4、C
【解析】
【分析】
证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长．
【详解】
解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
5、A
【解析】
【分析】
根据矩形的判定方法解题．
【详解】
解：A、三个角都是直角的四边形是矩形，
选项A符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，
选项B不符合题意，
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
选项C不符合题意；
D、一组对角是直角的四边形不是矩形，
选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查矩形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6、A
【解析】
【分析】
根据平行线四边形的性质得到对边相等，加上一组邻边相等，可得到四边都相等，根据菱形的定义对A、B进行判断；根据矩形的判定方法对C、D进行判断．
【详解】
解：A、平行四边形的对边相等，若有一组邻边相等，则四边都相等，所以该选项正确；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以该选项不正确；
C、对角线互相平分且相等的四边形为矩形，所以该选项不正确；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以该选项不正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质．
7、C
【解析】
【分析】
因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．
【详解】
解：连接AR．
因为E、F分别是AP、RP的中点，
则EF为的中位线，
所以，为定值．
所以线段的长不改变．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AR不变，则对应的中位线的长度就不变．
8、B
【解析】
【分析】
根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．
【详解】
解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；
②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；
③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；
④四条边都相等的四边形是菱形，正确；
⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．
故选：B．
【点睛】
此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．
9、A
【解析】
【分析】
设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB＋CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．
【详解】
解：设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，，交于点，作ES⊥x轴于S，
∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，
∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，
∴AD＝OB，OA＝BC，
∴AD＋OA＝OB＋BC，
∵AE＝AD，
∴AE＋OA＝OB＋BC，
即OE＝OB＋BC，
∴OB＋CB的最小值为OE，
由，
当时，，
解得：，
，
，
当时，，
，
，
，
取的中点，过作轴的垂线交于，
，
当时，，
，
，
，
为的中点，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
∴FD＝3，∠FDG＝60°，
∴DG＝DF＝，
∴DE＝2DG＝3，
∴ES＝DE＝，DS＝DE＝，
∴OS＝，
∴OE＝＝，
∴OB＋CB的最小值为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，轴对称﹣最短路线问题以及平行四边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是证得OE是OB+CB的最小值．
10、A
【解析】
【分析】
如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，然后求得∠OCE=30°，再根据含30°角直角三角形的性质求得OE，最后运用勾股定理求得CE即可解答.
【详解】
解：如图：过C作CE⊥OA，垂足为E，
∵菱形OABC，
∴OC=OA=4
∵，
∴∠OCE=30°
∵OC=4
∴OE=2
∴CE=
∴点C的坐标为.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、求出OE、CE的长度是解答本题的关键.
二、填空题
1、6
【解析】
【分析】
由矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质可求解BE=2AF=12，再利用三角形中位线定理可求解．
【详解】
解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∵F为BE的中点，AF=6，
∴BE=2AF=12．
∵G，H分别为BC，EC的中点，
∴GH=BE=6，
故答案为6．
【点睛】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求解BE的长是解题的关键．再根据中位线定理求出GH．
2、
【解析】
【分析】
要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：如图，连接AE，PA，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，
∴BE=2，
∴AE=AB2+BE2=42+22=25，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．
3、3.6##
【解析】
【分析】
首先通过HL证明Rt△ABE≌Rt△AFB，得BE＝EF，同理可得：DG＝FG，设BE＝x，则CE＝6﹣x，EG＝3＋x，在Rt△CEG中，利用勾股定理列方程求出BE＝2，S△AFC＝S△AEC﹣S△AEF﹣S△EFC代入计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵将AB边沿AE折叠到AF，
∴AB＝AF，∠B＝∠AFB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△AFB中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AFB（HL），
∴BE＝EF，
同理可得：DG＝FG，
∵点G恰为CD边中点，
∴DG＝FG＝3，
设BE＝x，则CE＝6﹣x，EG＝3＋x，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：
（x＋3）2＝32＋（6﹣x）2，
解得x＝2，
∴BE＝EF＝2，CE＝4，
∴S△CEG＝×4×3＝6，
∵EF∶FG＝2∶3，
∴S△EFC＝×6＝，
∴S△AFC＝S△AEC﹣S△AEF﹣S△EFC
＝×4×6﹣×2×6﹣
＝12﹣6﹣
＝3.6．
故答案为：3.6．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，根据勾股定理求得BE的长是解题的关键．
4、AD=BC
【解析】
略
5、6
【解析】
略
三、解答题
1、 (1)7
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，可得∠EBF=∠CFB，再由∵FB平分，可得∠EFB=∠EBF，从而得到BE=EF=5，即可求解；
（2）再CF上截取FN=FG，可得，从而得到∠BGF=∠BNF，再由∠GBF=∠EFD，可得到∠BFD=∠BNC，再根据BC⊥BD，∠BCD=45°，可得BC=BD，从而证得△BDF≌△BCN，进而得到NC=FD，即可求证．
(1)
解：在中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠EBF=∠CFB，
∵FB平分，
∴∠EFB=∠CFB，
∴∠EFB=∠EBF，
∴BE=EF=5，
∵AE=2，
∴CD=AB=AE+BE=7；
(2)
证明：如图，再CF上截取FN=FG，
∵，
∴ ，
∴∠BGF=∠BNF，
∵ ，∠BFG+∠BGF+∠GBF=180°，∠GBF=∠EFD，
∴∠BGF=∠BFN，
∴∠BFN=∠BNF，
∴∠BFD=∠BNC，
∵BC⊥BD，
∴∠CBD=90°，
∵∠BCD=45°，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴BC=BD，
∴△BDF≌△BCN（AAS），
∴NC=FD，
∴CD=DF+FN+CN=2FD+FG，
∵AB=CD，
∴FG+2FD=AB．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
2、 (1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N
（2）连接，根据平行四边形的性质求得，进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得 是等腰直角三角形，进而证明即可得证NE＝AB．
(1)
如图，AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N
(2)
如图，连接
四边形是平行四边形
，
，
则
是的垂直平分线
又
在与中，
【点睛】
本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
3、 (1)见解析；
(2)，，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意作出即可；
（2）证明即可得结论．
(1)
如图，即为所求．
(2)
，．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
在和中，
∴（AAS），
∴．
∵，．
∴，即．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，作一个角等于已知角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
4、 (1)AE＝t，AD＝12﹣2t，DF＝t
(2)见解析
(3)3，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，根据直角三角形的性质表示出DF；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．
(1)
解：由题意得，AE＝t，CD＝2t，
则AD＝AC﹣CD＝12﹣2t，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝t；
(2)
解：∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，
∴，
∵AE＝t，DF＝t，
∴AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
(3)
解：当t＝3时，四边形EBFD是矩形，
理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴AB＝AC＝6cm，
∵，
∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，
解得，t＝3，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EBFD是矩形，
∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．
【点睛】
此题考查了30度角的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的定义，一元一次方程，三角形与动点问题，熟练掌握四边形的知识并综合应用是解题的关键．
5、证明见解析；邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．
【解析】
【分析】
根据邻边相等的平行四边形是菱形或对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】
解：如图，四边形AECF即为所求作．
理由：四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分线段AC，
∴OA=OC，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EA=EC或AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
故答案为：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．