高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第2章函数、导数及其应用 2.4（教师版）

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[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　)A．1或3 B．1C．3 D．2答案　B解析　由题意知m2－4m＋4＝1且m2－6m＋8>0⇒m＝1，故选B.2．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)A．a>－ B．a≥－C．－≤a<0 D．－≤a≤0答案　D解析　①当a＝0时，函数f(x)＝2x－3为一次函数，是递增函数；②当a>0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间(－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合；③当a<0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴－≥4，解得a≥－，又a<0，故－≤a<0.综合得－≤a≤0.故选D.3．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　)A．f(－2)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(－2) D．f(0)<f(2)<f(－2)答案　D解析　由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)图象关于x＝对称，又抛物线开口向上，结合图象可知f(0)<f(2)<f(－2)．故选D.4．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为(　　)A．f(x)＝－x2－x－1 B．f(x)＝－x2＋x－1C．f(x)＝x2－x－1 D．f(x)＝x2－x＋1答案　D解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得故解得则f(x)＝x2－x＋1.故选D.5．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是(　　)A．②④ B．①④C．②③ D．①③答案　B解析　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1，知b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B.6．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)A．4 B．2C．1 D．3答案　D解析　由解析式可得f(－4)＝16－4b＋c＝f(0)＝c，解得b＝4.f(－2)＝4－8＋c＝－2，可求得c＝2.∴f(x)＝又f(x)＝x，则当x≤0时，x2＋4x＋2＝x，解得x1＝－1，x2＝－2.当x>0时，x＝2，综上可知有三解．故选D.7．二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意的x∈R都有f(x)＝f(4－x)成立，若f(1－2x2)<f(1＋2x－x2)，则实数x的取值范围是(　　)A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－2,0) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)答案　C解析　由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x＝2，图象在对称轴左侧为减函数．而1－2x2<2,1＋2x－x2＝2－(x－1)2≤2，所以由f(1－2x2)<f(1＋2x－x2)，得1－2x2>1＋2x－x2，解得－2<x<0.故选C.8．已知对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是(　　)A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<2或x>3答案　B解析　f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)．记g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，由题意可得即解得x<1或x>3.故选B.9．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(　　)A．[2－，2＋ ] B．(2－，2＋)C．[1,3] D．(1,3)答案　B解析　由题可知f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若有f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1,1]，即－b2＋4b－3>－1，解得2－<b<2＋.故选B.10．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝(　　)A．0 B．mC．2m D．4m答案　B解析　由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x＝1对称．不妨设x1<x2<…<xm，则＝1，即x1＋xm＝2，同理有x2＋xm－1＝2，x3＋xm－2＝2，…，又xi＝xm＋xm－1＋…＋x1，所以2xi＝(x1＋xm)＋(x2＋xm－1)＋…＋(xm＋x1)＝2m，所以xi＝m.故选B.二、填空题11．函数f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在区间内有零点，则实数a的取值范围为________．答案　(－∞，0]解析　f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－＋＝－2＋1.若f(x)在内有零点，则f(x)＝0在区间内有解，当－≤x<0或0<x≤时，可得a＝－＋≤0.所以实数a的取值范围为(－∞，0]．12．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为________．答案　解析　因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，对称轴x＝－(a－2)，对x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得：或或解得a∈∅或1≤a＜4或－<a<1，所以a的取值范围为.13．若f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，其中a≤b≤c，对于下列结论：①f(b)≤0；②若b＝，则∀x∈R，f(x)≥f(b)；③若b≤，则f(a)≤f(c)；④f(a)＝f(c)成立的充要条件为b＝0.其中正确的是________．(请填写序号)答案　①②③解析　f(b)＝(b－a)(b－b)＋(b－b)(b－c)＋(b－c)·(b－a)＝(b－c)(b－a)，因为a≤b≤c，所以f(b)≤0，①正确；将f(x)展开可得f(x)＝3x2－2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ac，又抛物线开口向上，故f(x)min＝f.当b＝时，＝b，所以f(x)min＝f(b)，②正确；f(a)－f(c)＝(a－b)(a－c)－(c－a)·(c－b)＝(a－c)(a＋c－2b)，因为a≤b≤c，且2b≤a＋c，所以f(a)≤f(c)，③正确；因为a≤b≤c，所以当f(a)＝f(c)时，即(a－c)(a＋c－2b)＝0，所以a＝b＝c或a＋c＝2b，故④不正确．14．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．答案　解析　函数f(x)＝的图象如图所示．设y＝m与y＝f(x)图象交点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3.由y＝－x2＋x＝－2＋，得顶点坐标为.当y＝时，代入y＝2x2－x，得＝2x2－x，解得x＝(舍去正值)，∴x1∈.又∵y＝－x2＋x图象的对称轴为x＝，∴x2＋x3＝1，又x2，x3>0，∴0<x2x3<2＝.又∵0<－x1<，∴0<－x1x2x3<，∴<x1x2x3<0.三、解答题15．设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足条件：①f(x)＝f(－2－x)；②函数f(x)的图象与直线y＝x相切．(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式πf(x)>2－tx在|t|≤2时恒成立，求实数x的取值范围．解　(1)∵由①知f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴方程是x＝－1，∴b＝2a.∵函数f(x)的图象与直线y＝x相切，∴方程组有且只有一解，即ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实根．∴Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1，∴2a＝1，∴a＝.∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x2＋x.(2)∵π>1，∴πf(x)>2－tx等价于f(x)>tx－2.∵x2＋x>tx－2在|t|≤2时恒成立等价于一次函数g(t)＝xt－<0在|t|≤2时恒成立，∴即解得x<－3－或x>－3＋.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－)∪(－3＋，＋∞)．16．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．解　(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，从而|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0,1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．