高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第8章平面解析几何 8.3（教师版）

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[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)A．(x－)2＋(y－1)2＝4B．(x－)2＋(y－)2＝4C．x2＋(y－2)2＝4D．(x－1)2＋(y－)2＝4答案　D解析　设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a＝1，b＝，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.2．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)A．1＋   B．2  C．1＋   D．2＋2答案　A解析　将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，故选A.3．圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)A．x2＋y2＋10y＝0   B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0   D．x2＋y2－10x＝0答案　B解析　设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.故选B.4．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为(　　)A．3x＋y－5＝0   B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0   D．2x＋y－3＝0答案　D解析　直线x－2y＋3＝0的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0，故选D.5．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝(　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　将圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成标准方程，得2＋(y＋1)2＝1－，∵半径r满足r2＝1－，当圆取得最大面积时，k＝0，半径r＝1.因此直线y＝(k－1)x＋2即y＝－x＋2.得直线的倾斜角α满足tanα＝－1，∵直线的倾斜角α∈[0，π)，∴α＝.故选A.6．若方程 －x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围(　　)A．－4≤m≤4   B．－4≤m≤4C．－4≤m≤4   D．4≤m≤4答案　B解析　由题意知方程＝x＋m有实数解，分别作出y＝与y＝x＋m的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m≤4.故选B.7．圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)A．2   B.  C．4   D.答案　D解析　由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)．∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.8．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1   B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4   D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案　A解析　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A.9．已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)A．3   B．6  C．4   D．2答案　D解析　圆x2＋y2－4x＋2y＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心M(2，－1)，半径r＝，最长弦为圆的直径，∴AC＝2.∵BD为最短弦，∴AC与BD垂直，易求得ME＝，∴BD＝2BE＝2＝2.S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝BD·EA＋BD·EC＝BD·(EA＋EC)＝BD·AC＝×2×2＝2.故选D.10．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，则x＋y的最大值与最小值是(　　)A．6＋2，6－2   B．6＋，6－C．4＋2，4－2   D．4＋，4－答案　A解析　设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，可得＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.故选A.二、填空题11．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．答案　(x－2)2＋y2＝9解析　因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.12．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．答案　(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9解析　∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，∴d2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.13．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆心坐标是________．答案　(－2，－4)解析　∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋2.5＝0，此时D2＋E2－4F<0，方程不表示圆，所以圆心坐标为(－2，－4)． 14．已知圆O：x2＋y2＝8，点A(2,0)，动点M在圆上，则∠OMA的最大值为________．答案　解析　设|MA|＝a，因为|OM|＝2，|OA|＝2，由余弦定理知cos∠OMA＝＝＝≥×2＝，当且仅当a＝2时等号成立，∴∠OMA≤，即∠OMA的最大值为.三、解答题15．已知圆S经过点A(7,8)和点B(8,7)，圆心S在直线2x－y－4＝0上．(1)求圆S的方程；(2)若直线x＋y－m＝0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围．解　(1)线段AB的中垂线方程为y＝x，由得所以圆S的圆心为S(4,4)，圆S的半径为|SA|＝5，故圆S的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25.(2)由x＋y－m＝0变形得y＝－x＋m，代入圆S的方程，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－8m＋7＝0.令Δ＝(－2m)2－8(m2－8m＋7)>0，得8－5<m<8＋5.设C，D的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝m，x1x2＝.依题意，得·<0，即x1x2＋(－x1＋m)(－x2＋m)<0，即m2－8m＋7<0，解得1<m<7.故实数m的取值范围是{m|8－5<m<8＋5}∩{m|1<m<7}＝{m|1<m<7}．16．已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且y轴被圆截得的弦长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．解　(1)由题意知直线PQ的方程为x＋y－2＝0.设圆心C(a，b)，半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，即y＝x－1，所以b＝a－1.①由圆C在y轴上截得的线段的长为4，知r2＝12＋a2，可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2，②由①②得a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.当a＝1，b＝0时，r2＝13，满足题意，当a＝5，b＝4时，r2＝37，不满足题意．故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.(2)设直线l的方程为y＝－x＋m(m≠2)，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)．由题意可知OA⊥OB，即·＝0，∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0，化简得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0.③由得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝，代入③，得m2－12－m·(1＋m)＋m2＝0，∴m＝4或m＝－3，经检验都满足题意，∴直线l的方程为x＋y－4＝0或x＋y＋3＝0.