必修4第一章 三角函数综合与测试课后作业题

第一章　学业质量标准检测(A)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．下列命题正确的是(　C　)

A．终边相同的角一定相等

B．第一象限的角都是锐角

C．锐角都是第一象限角

D．小于90°的角都是锐角

[解析]　终边相同的角相差k·360°(k∈Z)，故A不正确；锐角0°<α<90°，而第一象限角是指终边在第一象限的角，其中有正角、负角，包括锐角，故B不正确；而C正确，小于90°的角的包括锐角、负角和零角，故D不正确．

2．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝(　D　)

A．　　 B．　

C．－　　 D．－

[解析]　∵α是第二象限角，∴cos α＝x<0，即x<0.

又cos α＝x＝，解得x＝－3，

∴tan α＝＝－.

3．如果cos (π＋A)＝－，那么sin ＝(　B　)

A．－　　 B．　

C．－　　 D．

[解析]　由cos (π＋A)＝－cos A＝－，∴cos A＝，

∴sin ＝cos A＝.

4．已知角α是第二象限角，且|cos |＝－cos ，则角是(　C　)

A．第一象限角　　 B．第二象限角

C．第三象限角　　 D．第四象限角

[解析]　由α是第二象限角知，是第一或第三象限角．又∵|cos |＝－cos ，∴cos <0.

∴是第三象限角．

5．下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是上的增函数的是(　A　)

A．y＝tan x　　　 B．y＝cos x

C．y＝tan 　　 D．y＝|sin x|

[解析]　y＝tan x为T＝π的奇函数，且在上是增函数．

6．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，则＝(　B　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

[解析]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，

x2＝2.则sin α＝－

原式＝＝－＝.

7．已知函数y＝2sin ωx(ω>0)的图像与直线y＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为，则ω的值为(　A　)

A．3　　 B．　

C．　　 D．

[解析]　函数y＝2sin ωx(ω>0)的最小值是－2，它与直线y＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离恰好为一个周期，由＝，得ω＝3.故应选A．

8．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f()＝(　A　)

A．　　 B．　

C．0　　 D．－

[解析]　本题考查递归运算，诱导公式．

f(π)＝f(π)＋sin π

＝f(π)＋sin π＋sin π

＝f(π)＋sin π＋sin π＋sin π

＝0＋－＋＝.

9．设函数f(x)＝cos (x＋)，则下列结论错误的是(　B　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在(，π)单调递减

[解析]　A项，因为f(x)＝cos (x＋)的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A正确．

B项，因为f(x)＝cos (x＋)图像的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，B项正确．

C项，f(x＋π)＝cos (x＋)．令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．

D项，因为f(x)＝cos (x＋)的递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，所以(，)是减区间，[，π)是增区间，D项错误．

10．y＝cos 是(　B　)

A．[－π，0]上的增函数

B．上的增函数

C．上的增函数

D．上的增函数

[解析]　y＝cos ＝cos

∵y＝cos x在[－π，0]上是增函数，∴当函数图像向右平移后得到y＝cos 在上是增函数．

11．函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　D　)

A．，k∈Z

B．，k∈Z

C．，k∈Z

D．，k∈Z

[解析]　由五点作图知，解得ω＝π，φ＝，所以f(x)＝cos (πx＋)，令2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，解得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，故单调减区间为(2k－，2k＋)，k∈Z，故选D．

12．(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　C　)

A．－2　　 B．－　

C．　　 D．2

[解析]　因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.

由题意得g(x)＝Asin ，且g(x)最小正周期为2π，

所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asin x，

所以g＝Asin ＝A＝，所以A＝2.

所以f(x)＝2sin 2x，所以f＝.故选C．

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所对的扇形面积是__18__.

[解析]　∵l＝αR，∴R＝＝6.

根据扇形面积公式有S扇＝lR＝×6×6＝18.

14．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为2π，且当x∈[0，π]时f(x)＝sin x，则f(π)＝____.

[解析]　由题意可知f(π)＝f(π－2π)＝f(－)＝f()＝sin ＝.

15．设f(x)的定义域为R，最小正周期为.若f(x)＝则f＝____.

[解析]　∵T＝，∴kT＝k·(k∈Z)都是y＝f(x)的周期，

∴f＝f＝f＝sin ＝sin ＝.

16．下列命题中，正确命题的序号是__①④__.

①函数y＝sin |x|不是周期函数．

②函数y＝tan x在定义域内是增函数．

③函数y＝的周期是.

④y＝sin 是偶函数．

[解析]　②中y＝tan x在(k∈Z)内是增函数，③中y＝的周期为π.

三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题满分10分)已知角θ的终边上有一点P(－，m)，且sin θ＝m，求cos θ与tan θ的值．

[解析]　由题意可知＝，

∴m＝0或或－.

(1)当m＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；

(2)当m＝时，cos θ＝－，tan θ＝－；

(3)当m＝－时，cos θ＝－，tan θ＝.

18．(本题满分12分)求证：＝.

[解析]　方法一：

∵右边＝＝＝＝

＝＝左边，

∴原等式成立．

方法二：∵左边＝＝，

右边＝＝＝＝＝，

∴左边＝右边，原等式成立．

19．(本题满分12分)已知函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像的一段如图所示，求它的解析式．

[解析]　由图像可知A＝2，＝－＝，

∴T＝，ω＝＝.

将N(，－2)代入y＝2sin (x＋φ)得，

2sin (×＋φ)＝－2，

∴＋φ＝2kπ－，φ＝2kπ－(k∈Z)．

∵|φ|<π，∴φ＝－.

求φ值也可以用下面这种方法．

取P(，0)代入y＝2sin (x＋φ)，得

2sin (×＋φ)＝0.

∵＋φ＝kπ，k∈Z.又|φ|<π，

∴φ＝－或φ＝，

而y＝2sin (x＋φ)过(，－2)，∴φ＝－.

∴函数的解析式为y＝2sin (x－)．

20．(本小题满分12分)已知f(x)＝2sin (2x＋)＋a＋1(a为常数)．

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；

(3)求出使f(x)取得最大值时x的取值集合．

[解析]　(1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

(2)当x∈[0，]时，2x＋∈[，π]，故当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值a＋3＝4，所以a＝1.

(3)当sin (2x＋)＝1时f(x)取得最大值，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ＋a(a为实常数)．且当x∈时，f(x)的最大值与最小值之和为3.

(1)求实数a的值；

(2)说明函数y＝f(x)的图像经过怎样的变换可以得到函数y＝sin x的图像？

[解析]　(1)依题意有f(x)＝2sin (2x＋)＋a，

x∈⇒2x∈⇒2x＋∈，

∴≤sin (2x＋)≤1，

即，∴2a＋3＝3⇒a＝0.

(2)由(1)知f(x)＝2sin (2x＋)．将函数y＝2sin (2x＋)的图像先向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后把所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的倍(横坐标不变)，便得到函数y＝sin x的图像．

22．(本小题满分12分)已知f(x)＝.

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)画出f(x)在[－π，π]上的简图；

(3)求f(x)的最小正周期及在[－π，π]上的单调区间．

[解析]　(1)∵cos x≠0，∴x≠kπ＋(k∈Z)．

∴函数定义域为，关于原点对称，

且f(－x)＝＝＝－f(x)，

∴此函数为奇函数．

(2)f(x)＝＝

图像如图所示，

(3)T＝2π，单调递增区间为，单调递减区间为，.