2022届新教材北师大版函数的概念、性质与基本初等函数单元测试含答案9
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2022届新教材北师大版 函数的概念、 性质与基本初等函数 单元测试
一、选择题
1、若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2、已知函数为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3、若实数满足 ，其中，且，则( )
A. B.
C. D.
4、下列函数既是偶函数又在区间上单调递增的是 （ ）
A． B． C． D．
5、若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或a＞1
6、对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：
①；②； ③； ④．
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）
（A）①②③ （B）②③ （C）①③ （D）②③④
7、函数的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线关于轴对称,则
A． B． C． D．
8、已知函数 ，则
A. 是偶函数，且在上是增函数 B. 是奇函数，且在 上是增函数
C. 是偶函数，且在 上是减函数 D. 是奇函数，且在 上是减函数
9、下列判断正确的是
A. B. C. D.
10、已知，，，则，,的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
11、函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
12、已知是上的增函数，那么的取值范围（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13、设函数对任意实数满足,且当时, ,则_________.
14、函数y＝的单调递减区间是 ．
15、已知函数的图象与轴恰有2个不同的交点，则实数的取值范围是 _______．
16、对于函数，若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在上是有界函数，下列函数：
①；②；③；④；
其中在上是有界函数的序号为________.
三、解答题
17、（本小题满分10分）试证明函数在定义域区间内有3个零点．
18、（本小题满分12分）已知函数f（x）=loga（b–x）–loga（b+x）（a>0且a≠1，b>0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性；
（3）当b=1时，求使f（x）>0成立的x的取值范围．
19、（本小题满分12分）已知函数是奇函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设，若在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1、答案D
解析根据题意画出函数的单调性示意图，由不等式xf（x）＜0可得，x与f（x）的符号相反，数形结合求得不等式的解集．
详解
由题意可得，函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，
且f（﹣3）=﹣f（3）=0，
函数的单调性示意图如图所示：
由不等式xf（x）＜0可得，x与f（x）的符号相反，
结合函数f（x）的图象可得，
不等式的解集为（﹣3，0）∪（0，3），
故选：D．
点睛
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．
2、答案D
解析由图可知， 的图象是由的图象向左平移个单位而得到的，其中，再根据单调性易知，故选.
3、答案C
解析根据题意，分别讨论和两种情况，结合对数函数的性质，即可得出结果.
详解
因为，
当时， ，得到，所以．
当时， ，得到，所以.
故选：C
点睛
本题主要考查由对数不等式判断所给不等式的真假，熟记对数函数的性质即可，属于常考题型.
4、答案C
解析对于，为奇函数，不符合题意
对于，非奇非偶函数，不符合题意
对于，是偶函数，但在区间上不单调递增
故选
5、答案B
解析
由题意，对数函数为单调递减函数，又由，
所以当时，解得，故选B．
6、答案B
解析根据题意，①中与都是的可等域区间，②中，，且在时递减，在时递增，若，则，于是，又，，而，故，是一个可等域区间，有没有可等域区间，且呢？若，则，解得，不合题意，若，则有两个非负解，但此方程的两解为1和，也不合题意，故函数只有一个等可域区间，③中函数的值域是，所以，函数在上是增函数，考察方程，由于函数与只有两个交点，即方程只有两个解0和1，因此此函数只有一个等可域区间，对于④，函数在定义域上是增函数，若上函数有等可域区间，则，但方程无解（方程无解），故此函数无可等域区间．综上只有②③正确，选B．
考点：函数的定义域与值域，单调性，方程的解等综合问题．
7、答案D
解析函数的图象关于轴对称的图象的函数解析式为，而函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与曲线的图象关于轴对称，所以函数的解析式为，故选D.
考点：函数的图象变换.
8、答案B
解析，所以该函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数？减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.
名师点睛本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数？减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.
9、答案B
详解：是单调递增函数，，所以，A不正确；是单调递减函数，，所以 ，B正确；，而 ，所以，C不正确； ，所以 ，D不正确，故选B.
点睛：本题重点考查指对函数利用单调性比较大小，意在考查转化能力，属于基础题型.
10、答案A
详解：由指数函数的性质可得
由对数函数性质可得，
，
所以可得，故选A.
点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
11、答案A
解析详解：因为2、4是函数的零点，所以排除B、C；
因为时，所以排除D,故选A
12、答案D
解析由题意，得，解得，故选D．
考点：1、分段函数；2、函数的单调性．
13、答案
解析∵f(x)=？f(x+2)，
∴f(x+2)=？f(x)，
∴f(x+4)=？f(x+2)=f(x)，
∴f(x)是周期函数，周期为4.
∴.
14、答案
解析函数定义域为，根据复合函数单调性知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以递减区间是
考点：函数单调区间
15、答案或
解析结合函数图像讨论在不同情况下的取值范围
详解
如图：
函数和轴有3个不同的交点，为满足题意与轴恰有2个不同的交点，(1)当抛物线与直线各有一个交点时的取值范围是，(2)当抛物线有两个交点而直线没有交点时的取值范围是，故综上实数的取值范围是或
点睛
本题考查了分段函数的零点问题，结合函数图像分别求出满足题意的参量取值范围，考查了数形结合的思想。
16、答案②
解析求出①②③④中各函数在上的值域，结合题中的定义进行判断即可.
详解
对于①中的函数，当时，，该函数在上的值域为，所以，不存在正实数，对于任意，使得成立；
对于②中的函数，当时，，又，，该函数在上的值域为，所以，存在正实数，当时，对于任意，都有；
对于③中的函数，当时，，，该函数在上的值域为，所以，不存在正实数，对于任意，使得成立；
对于④中的函数，取，则，
，同理，取，，，所以，函数在上的值域为，所以，不存在正实数，对于任意，使得成立.
综上所述：在上是有界函数的序号为②，故答案为：②.
点睛
本题考查函数新定义“有界函数”的理解，解题的关键就是求出函数的值域，结合定义进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
详解
的定义域是，且函数的图象在上是连续不断的曲线
（1），，，
由零点定理得，存在，使得，即在区间上有1个零点，
（2），，存在，使得，即在区间上有1个零点；
（3），，存在，使得，即在区间上有1个零点.
综上所述，有3个零点.
点睛
本题考查了函数零点存在性定理的直接应用，本题准确的找到一个区间()，然后证明是解题的关键，属于中档题.
解析
18、答案（1）f（x）的定义域为（–b，b）．（2）f（x）为奇函数．（3）x∈（0，1）．
详解
（1）要使函数f（x）有意义，需满足，
解得–b<x<b，
故f（x）的定义域为（–b，b）．
（2）由于函数f（x）的定义域为（–b，b）关于原点对称，
且f（–x）=loga（b+x）–loga（b–x）=–f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（3）当b=1时，f（x）=loga（1–x）–loga（1+x）=loga，
要使f（x）>0成立，只要loga>0.
①当a>1时，由loga>0得>1，
解得–1<x<0，
此时使f（x）>0成立的x的集合为（–1，0）．
②当0<a<1时，由loga>0得0<<1，
解得0<x<1，
此时使f（x）>0成立的x的集合为（0，1）．
综上，当a>1时，x∈（–1，0）；
当0<a<1时，x∈（0，1）．
点睛
本题考查对数函数定义域、奇偶性以及单调性，考查基本分析判断求解能力.
解析
19、答案（1）；（2）．
（1）根据导数判断函数的单调性，最后根据函数的单调性、奇函数的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可；
（2）利用换元法，对不等式进行变形，然后进行常变量分离，结合基本不等式进行求解即可.
详解：∵是奇函数
∴
∴，即，
因为，
所以符合题意，即.
（1）∵
∴在上单调递增，
由，可得，
∵是奇函数
∴，即
∵在上单调递增，
∴，即，解得
∴不等式的解集为
（2）令
∵且在上单调递增
∴
∵
∴
，当且仅当，即时取等号，
∴
∴.
点睛
本题考查了奇函数的定义和性质，考查了函数单调性的应用，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了利用导数判断函数的单调性，考查了数学运算能力.
解析
