2022届新教材北师大版函数的概念、性质与基本初等函数单元测试含答案11
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2022届新教材北师大版 函数的概念、性质与基本初等函数 单元测试
一、选择题
1、下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2、已知f(x3)＝lg x，则f(2)等于( )
A．lg 2 B．lg 8 C． D．
3、已知，且，则下列不等式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
4、已知函数，则其图象( )
A． 关于轴对称 B． 关于直线对称
C． 关于原点对称 D． 关于轴对称
5、对于，下列说法中，正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
6、若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A． (1，＋∞) B． (1,8)
C． (4,8) D． [4,8)
7、已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
8、下列函数为奇函数的是（ ）
A. B. x3sinx C. 2cosx+1 D. x2+2x
9、若，则有（ ）
A． B． C． D．
10、三个数70.8，0.87，log0.87的大小顺序是（ ）
A.0.87＜log0.87＜70.8 B.0.87＜70.8＜log0.87 C.log0.87＜70.8＜0.87 D.log0.87＜0.87＜70.8
11、已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
12、函数的图像大致形状是（ ）
二、填空题
13、已知定义在上的函数满足，当时，，则 ．
14、函数f（x）＝log（x2﹣2x﹣24）的单调递增区间是_____
15、已知函数，则的值为__________．
16、若f(x)的定义域为（-4，6），则f(2x-2)的定义域为
三、解答题
17、（本小题满分10分）已知函数y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，则称x0是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；
（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．
18、（本小题满分12分）已知 ．
（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
19、（本小题满分12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断并用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；
（3）若对任意的x∈[1，2]，存在t∈[1，2]使得不等式f（x2+tx）+f（2x+m）＞0成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1、答案C
解析A中函数不是奇函数；B中函数是奇函数但不是增函数；C中函数是奇函数且是增函数；D中函数不是增函数
考点：函数奇偶性单调性
2、答案D
解析令x3＝2，则，
于是f(2)＝．
解析
3、答案C
解析根据条件得到，依次判断每个选项的正误得到答案.
详解
已知，且，则
故，A错误；取 ，，B错误；
，C正确；
取，D错误.
故选：C
点睛
本题考查了不等式的判断，意在考查学生的综合应用能力.
4、答案C
解析函数定义域为R，且,所以函数为奇函数，其图像关于原点对称.
5、答案B
解析对数函数真数大于0，所以A不成立；平方相等，M、N不一定相等，所以C不成立；当时，没有意义，所以D不对；指数函数单调且定义域为R，则B成立，从而得出结果.
详解
解：A：当时，对数无意义，故A不正确；
B：因为指数函数单调且定义域为R，所以若，则成立，故B正确；
C：比如当 时，有，但；故C不正确；
D：当时，没有意义，故D不正确.
故选：B.
点睛
本题考查指对函数的定义域和运算性质，解题的关键是熟练掌握指对函数的基础知识，属于基础题.
6、答案D
解析∵当x≤1时，为增函数∴，又∵当x＞1时，为增函数∴a＞1同时，当x=1时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值∴，综上所述，4≤a＜8，故选B．
考点：函数单调性的判断与证明．
7、答案C
解析在上递增， ，化为，由指数函数的性质，可得，故选C.
8、答案A
解析对于函数f（x）=，由于f（﹣x）==﹣f（x），故此函数为奇函数．
对于函数f（x）=x3sinx，由于f（﹣x）=﹣x3（﹣sinx）=x3sinx=f（x），故此函数为偶函数．
对于函数f（x）=2cosx+1，由于f（﹣x）=2cos（﹣x）+1=2cosx+1=f（x），故此函数为偶函数．
对于函数f（x）=x2+2x，由于f（﹣x）=（﹣x）2+2﹣x=x2+2﹣x≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），
故此函数为非奇非偶函数．
故选：A．
9、答案A
解析∵,
∴
故选A
点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
10、答案D
解析∵70.8＞70=1， 0＜0.87＜0.80=1， log0.87＜log0.81=0， ∴log0.87＜0.87＜70.8.．
考点：比较大小
11、答案B
解析由题意可知，函数为偶函数，时单调递增，若函数有两个不同的零点，则需方程有两个不相等的实数根，即与有两个不同的交点，根据函数的奇偶性与单调性，可知，求，即可.
详解
函数的定义域为，关于原点对称.
，即函数为偶函数.
当时
函数在上单调递增，在上单调递减
即
若函数有两个不同的零点.
则需
故选：B
点睛
本题考查根据函数的零点个数求参数的取值范围，函数的奇偶性与单调性的应用，是解决本题的关键，属于中档题.
12、答案B
解析
13、答案
解析由，得，所以是周期函数，且周期为2，因此．
考点：函数的周期性．
14、答案（﹣∞，﹣4）.
解析先求出函数f（x）的定义域，确定真数部分函数的单调性，再由复合函数的单调性可知函数的单调增区间.
详解
函数的定义域为，
即为，
令，
则原函数，
因为在（0，+∞）单调递减，
在（-∞，-4）单调递减，在（6，+∞）单调递增，
由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（-∞，-4），
故答案为：（-∞，-4）.
点睛
本题考查复合函数单调性，复合函数单调性的判断遵循“同增异减”的判断法则，前提是先求定义域，然后找出中间函数的单调区间，再判断复合函数的单调区间即可，属于基础题.
15、答案
解析先求，再求的值.
详解
=.
点睛
(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
16、答案（-1，4）
解析
17、答案（1）；（2）（3）
（2）因为对于任意实数，函数有两个不同的不动点，所以对于任意实数，方程恒有两个不相等的实根，即方程恒有两个不相等的实根，所以，即对于任意实数，，所以，解得．
（3）设函数的两个不动点为，则，且是方程的两个不等根，所以，直线的斜率为，线段的中点坐标为，因为直线是线段的垂直平分线，所以，且在直线上，则，，所以，当且仅当时等号成立，又，所以实数的取值范围是．
考点：新定义问题、函数与方程、直线方程、基本不等式．
解析
试题解析：（1）f（x）值域为R，令g（x）=x2﹣mx﹣m， 则g（x）取遍所有的正数
即△=m2+4m≥0
∴m≥0或m≤﹣4；
（2）由题意知
解析
19、答案（1）a=2，b=1；（2）见解析；（3）（-∞，-10）．
（2）先分离常数，判断单调递减，再用定义作差证明；
（3）先根据奇偶性和单调性将函数不等式变形，去掉函数符号后，先按照对x恒成立，在按照对t有解转化为最值解决．
详解
解（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即b-1=0，∴b=1，
又f（-x）=-f（x）∴f（-1）=-f（1），∴=-，∴a=2
综上所述：a=2，b=1；
（2）由（1）知：f（x）==-+，∴f（x）是R上的减函数，
证明如下：
设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-++-
=，
∵x1＜x2，∴＜，∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）是R上的减函数，
（3）∵f（x2+tx）+f（2x+m）＞0
∴f（x2+tx）＞-f（2x+m）
∴f（x2+tx）＞f（-2x-m）
∴x2+tx＜-2x-m
∴m＜-x2-（2+t）x对任意的x∈[1，2]恒成立，
∴，∴m＜-8-2t对t∈[1，2]有解，
∴m＜-8-2=-10，
所以实数m的取值范围是（-∞，-10）．
点睛
本题考查了不等式有解和恒成立问题，考查了利用定义法判断函数的单调性，考查了奇偶性的应用．属中档题．
解析
