2022届新教材北师大版函数的概念、性质与基本初等函数单元测试含答案14

2022届新教材北师大版  函数的概念、 性质与基本初等函数     单元测试

一、选择题

1、已知偶函数在上单调递增，则(    )

A．    B．

C．    D．

2、下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是

A．     B．     C．     D．

3、设，且，则等于(    )

A． B．10 C．20 D．100

4、命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是(     )

 (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数

（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数

（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数

（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

5、已知实数满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中成立的关系式有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为(   )

A． (1，＋∞)    B． (1,8)

C． (4,8)    D． [4,8)

7、函数 图象恒过的定点构成的集合是（    ）

A． {-1，-1}    B． {（0,1）}    C． {（-1,0）}    D．

8、下列函数为奇函数的是（　　）

A.     B. x3sinx    C. 2cosx+1    D. x2+2x

9、设，，均为实数，且，，，则（   ）

A.     B.     C.     D.

10、三个数70.8，0.87，log0.87的大小顺序是（  ）

A.0.87＜log0.87＜70.8 B.0.87＜70.8＜log0.87  C.log0.87＜70.8＜0.87 D.log0.87＜0.87＜70.8

11、已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为(    )

A． B． C． D．

12、已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值范围是（   ）

A．          B．           C．          D．

二、填空题

13、设函数是以2为最小正周期的周期函数，且时，，则________.

14、若函数f(x)＝log2|ax－1|(a＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a＝________．

15、设函数，则满足的x的取值范围是______ ．

16、已知，当时，，则的最小值是:               .

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知函数.

(1)如果函数的一个零点为，求的值；

(2)当函数有两个零点，且其中一个大于，一个小于时，求实数的取值范围.

18、（本小题满分12分）设函数的定义域为.

（Ⅰ）若，，求实数的范围；

（Ⅱ）若函数的定义域为，求实数的取值范围.

19、（本小题满分12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．

（1）求实数a，b的值；

（2）判断并用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；

（3）若对任意的x∈[1，2]，存在t∈[1，2]使得不等式f（x2+tx）+f（2x+m）＞0成立，求实数m的取值范围．

参考答案

1、答案D

详解：f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；

A．f（﹣3e）=f（3e），且2e＜3e；

∴f（2e）＜f（3e）；

∴f（2e）＜f（﹣3e），∴该选项错误；

B．f（﹣e3）=f（e3），且e2＜e3；

∴f（e2）＜f（e3）；

∴f（e2）＜f（﹣e3），∴该选项错误；

C.，；

∴；

∵f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；

∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；

∴，∴该选项错误；

D.，；

∴；

∴，∴该选项正确．

故答案为：D

点睛：本题主要考查偶函数的定义，偶函数在对称区间上的单调性特点，函数单调性定义，以及幂函数、指数函数和对数函数的单调性．意在考查函数的性质及幂函数、指数函数和对数函数的单调性等基础知识的掌握能力及基本的运算能力.

2、答案B

详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点。

故选项B正确

点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题。

3、答案B

解析求出，代入，根据对数的运算性质求出的值即可．

详解

由得，

所以，

因为，所以，

所以，

故选：B．

点睛

本题考查指数式对数式的互化，考查对数的运算性质，是一道基础题．

4、答案B

解析本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。解题时要注意否命题与命题否定的区别。

5、答案C

解析设，表示出和，然后利用作差法判断出和的大小关系，得到答案.

详解

设，

所以，，

其中

当，时，可得，所以，

当，时，可得，所以

当，即时，

所以①②⑤成立.

故选：C.

点睛

本题考查对数的计算公式，作差法比较大小，属于简单题.

6、答案D

解析∵当x≤1时，为增函数∴，又∵当x＞1时，为增函数∴a＞1同时，当x=1时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值∴，综上所述，4≤a＜8，故选B．

考点：函数单调性的判断与证明．

7、答案C

解析解析式中的指数x+1=0求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标．

详解

由于函数y=ax经过定点（0，1），令x+1=0，可得x=﹣1，求得f（﹣1）=0，

故函数f（x）=ax+1﹣1（a＞0，a≠1），则它的图象恒过定点的坐标为（﹣1，0），

即函数f（x）=ax+1﹣1（a＞0，a≠1）图象恒过的定点构成的集合是

故{（﹣1，0）}，

故选：C．

点睛

本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x和y的值，属于基础题．

8、答案A

解析对于函数f（x）=，由于f（﹣x）==﹣f（x），故此函数为奇函数．

对于函数f（x）=x3sinx，由于f（﹣x）=﹣x3（﹣sinx）=x3sinx=f（x），故此函数为偶函数．

对于函数f（x）=2cosx+1，由于f（﹣x）=2cos（﹣x）+1=2cosx+1=f（x），故此函数为偶函数．

对于函数f（x）=x2+2x，由于f（﹣x）=（﹣x）2+2﹣x=x2+2﹣x≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），

故此函数为非奇非偶函数．

故选：A．

9、答案A

解析 在同一坐标系，作出函数的图象，

如图所示，

由图象可知，故选A．

10、答案D

解析∵70.8＞70=1， 0＜0.87＜0.80=1， log0.87＜log0.81=0， ∴log0.87＜0.87＜70.8.．

考点：比较大小

11、答案B

解析由题意可知，函数为偶函数，时单调递增，若函数有两个不同的零点，则需方程有两个不相等的实数根，即与有两个不同的交点，根据函数的奇偶性与单调性，可知，求，即可.

详解

函数的定义域为，关于原点对称.

，即函数为偶函数.

当时

函数在上单调递增，在上单调递减

即

若函数有两个不同的零点.

则需

故选：B

点睛

本题考查根据函数的零点个数求参数的取值范围，函数的奇偶性与单调性的应用，是解决本题的关键，属于中档题.

12、答案B

解析在平面直角坐标系中，作出函数的图象如图所示：

因为存在实数，，，，满足，且，所以由图象知：，，，，当时，直线与函数的图象有个交点，直线越往上平移，的值越小，直线直线越往下平移，的值越大，因为当时，，当时，

，所以的取值范围是，故选B．

考点：函数的图象．

13、答案

解析根据是以2为最小正周期的周期函数,将整理成,又因为,则根据求解即可.

详解

解：因为是以2为最小正周期的周期函数,

,

又因为时,

故答案为：

点睛

本意考查函数的周期性,是基础题.

14、答案2

解析由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x＝对称，

而f(x)＝log2 ＋log2|a|，从而＝，所以a＝2.

15、答案．

解析分析

根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．

详解

若，则，

则等价为，

即，则，

此时，

当时，，，

当，即时，满足恒成立，

当，即时，，

此时恒成立，

综上．

故答案为．

点睛

(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．

(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

16、答案9

解析

17、答案(1)；(2).

 (2)结合函数的图象和零点的大小关系，求解实数的取值范围.

详解：(1)因为函数的一个零点为，所以，即.

(2)因为函数有两个零点，且其中一个大于，一个小于，

所以当时，，即；

当时，，此时无解；

故实数的取值范围为.

点睛

本题主要考查函数的零点问题，零点的分布问题一般是借助图象，找到限制条件进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.

解析

18、答案（Ⅰ）由题意，得,所以.故实数的范围为.

（Ⅱ）由题意，得在上恒成立，则,解得.

故实数实数的范围为.

解析

19、答案（1）a=2，b=1；（2）见解析；（3）（-∞，-10）．

（2）先分离常数，判断单调递减，再用定义作差证明；

（3）先根据奇偶性和单调性将函数不等式变形，去掉函数符号后，先按照对x恒成立，在按照对t有解转化为最值解决．

详解

解（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即b-1=0，∴b=1，

又f（-x）=-f（x）∴f（-1）=-f（1），∴=-，∴a=2

综上所述：a=2，b=1；

（2）由（1）知：f（x）==-+，∴f（x）是R上的减函数，

证明如下：

设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-++-

=，

∵x1＜x2，∴＜，∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）是R上的减函数，

（3）∵f（x2+tx）+f（2x+m）＞0

∴f（x2+tx）＞-f（2x+m）

∴f（x2+tx）＞f（-2x-m）

∴x2+tx＜-2x-m

∴m＜-x2-（2+t）x对任意的x∈[1，2]恒成立，

∴，∴m＜-8-2t对t∈[1，2]有解，

∴m＜-8-2=-10，

所以实数m的取值范围是（-∞，-10）．

点睛

本题考查了不等式有解和恒成立问题，考查了利用定义法判断函数的单调性，考查了奇偶性的应用．属中档题．

解析