2022届新教材北师大版函数的概念、性质与基本初等函数单元测试含答案1

2022届新教材北师大版  函数的概念、 性质与基本初等函数   单元测试

一、选择题

1、下列函数中周期为且为奇函数的是   （   ）

A.     B.     C.     D.

2、函数的单调递增区间为（ ）

A.     B.     C.     D.

3、下列等式成立的是(     )．

A．log2(8－4)＝log2 8－log2 4 B．＝

C．log2 23＝3log2 2 D．log2(8＋4)＝log2 8＋log2 4

4、下列函数是奇函数，在区间上又是增函数的是（    ）

A．         B．        C．        D．

5、设，则（    ）.

A． B． C． D．

6、函数的单调递增区间为（  ）

Ａ．  Ｂ．     Ｃ．    Ｄ．

7、若函数的图象经过一、二、四象限，则的取值范围为(    )

A．    B．    C．    D．

8、已知，则不等式的解集为（   ）

A.     B.     C.     D.

9、设实数，则a、b、c 的大小关系为（     ）

A.      B.  

C.      D.

10、设， ， ，则的大小关系是（   ）

A.     B.     C.     D.

11、设函数f(x)＝ 若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

12、已知函数则= (    )

A．        B．e           C．       D．

二、填空题

13、设为R上的奇函数,且,       .

14、设已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=________．

15、已知f（x）＝  ，求f[f（0）]=__________．

16、函数的定义域为______________。

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知定义在上的函数同时满足：①对任意，都有；②当时，，

（1）当时，求的表达式；

（2）若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围；

（3）若对任意，关于的不等式都成立，求实数的取值范围.

18、（本小题满分12分）已知函数

(1)若,求函数最大值和最小值;

(2)若方程有两根,试求的值.

19、（本小题满分12分）已知函数（，为自然对数的底数）.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）判断函数单调性并证明；

（3）对任意不等式恒成立，求的取值范围.

参考答案

1、答案B

解析由题意可得，A选项是偶函数，B选项是奇函数，周期为，C选项是偶函数，D选项是奇函数，周期为。选B.

2、答案A

解析由>0得(？∞,？2)∪(2,+∞)，

令t=,由于函数t=的对称轴为y轴，开口向上，

所以t=在(？∞,0)上递减,在(0,+∞)递增，

又由函数y= 是定义域内的减函数。

所以原函数在(？∞,？2)上递増。

故选：A.

3、答案C

解析根据对数的运算性质进行分析、判断即可得到答案．

详解

根据对数的运算性质逐个进行判断可得，选项A,B,D都不符合对数的运算性质，选项C符合．所以C正确．

故选C．

点睛

解答本题时容易出现错误，解题的关键是记清对数的三个运算性质及换底公式，属于基础题．

4、答案B

解析

5、答案B

解析利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0、1和2的大小得答案．

详解

∵1=log44＜log45＜log416=2，∴1＜a＜2；

；

．

∴b＜a＜c．

故选：B．

点睛

本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．

6、答案C

解析先求原函数定义域,再将原函数分解成两个简单函数,，再根据复合函数同增异减的性质即可求出．

∵的定义域为：

令，则原函数可以写为，

∵为减函数

∴原函数的增区间即是函数的单调减区间即．

故选C．

7、答案B

解析先根据图像确定出，再根据的单调性求出其取值范围．

详解

因为的图像过一、二、四象限，故，

又，该函数为上的减函数，故，故选B．

点睛

本题考查指数函数的图像和性质，注意底数对图像和性质的影响．求给定的函数的值域时，应优先考虑函数在给定范围上是否具有单调函数，若是单调函数，则可以直接计算函数的值域，若不是单调函数，则可以用导数、基本不等式等工具计算值域．

8、答案B

详解：因为是偶函数，且在上为增函数，

所以由，得，解得.

故选：B

点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则 ，若函数是奇函数，则．

9、答案A

解析

考点：函数性质比较大小

10、答案D

解析;,所以，选D.

11、答案C

解析利用， ，求得，，

在同一坐标系中作出f(x)的图像与的图像，由图得解。

详解

∵当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，

∴ 解得，

∴f(x)＝x2＋4x＋2　(x≤0)，作出f(x)的图像．

y＝f(x)与y＝x的交点的个数即为f(x)＝x解的个数，共3个．

点睛

本题主要考查方程解的个数问题，一般转化为初等函数图像交点个数问题处理。

12、答案A

解析

13、答案1

解析

14、答案.

详解：根据题意可知，

并且可以知道函数在上是减函数，在上是增函数，

且有，又，

由题的条件，可知，

可以解得，所以，则有.

点睛：该题考查的是有关指数幂的运算，但是需要先从题的条件中来确定底数和指数的大小，首先需要确定函数的图像，之后借助于绝对值的意义，可以得到两个函数值的大小相等的时候，对应真数之间的关系：互为倒数，再结合两个值的大小关系，从而确定出对应各自的范围，根据题意，进一步确定其值的大小，最后求得结果.

15、答案

解析,又,.

16、答案

解析解不等式组即得函数的定义域.

详解

由题得

故函数的定义域为.

故答案为：

点睛

(1)本题主要考查函数定义域的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.

17、答案（1）；（2）或；（3）

 (2)设方程的实数解为，利用(1)的结论解方程和不等式或即可求出参数的取值范围；

(3)先求函数的最小值，再由函数的周期性可得在上恒有，然后求得在上的最大值为最后由即可得出答案.

详解

（1）∵对任意，都有，∴，

即则可得函数的周期为T=2，

当时，,∴当时，，，

当时，，，

∴时，；

（2）设关于的方程在上的实数解为

则或，∴或

∴或

（3）由(1)得可得在上，又因函数的周期为T=2，则可得上恒有，

令函数得在上单调递增，则可得，

由题意对任意，关于的不等式都成立，

则可得恒有：即解得.

点睛

本题考查了抽象函数周期的推导，考查了函数与方程的应用，考查了在给定区间上不等式恒成立的问题，属于中档题.

解析

18、答案(1)

令

对称轴

(2)即方程的两解为

解析

19、答案（1）奇函数，证明见详解；（2）增函数，证明见详解；（3）.

（2）利用定义法证明的单调性即可；

（3）根据函数的奇偶性将不等式变形，再根据函数的单调性将函数值的不等关系转变为自变量的不等关系，再根据恒成立的思想求解出的取值范围.

详解

（1）因为的定义域为，关于原点对称，

又因为，所以是奇函数；

（2）是上的增函数，证明如下：

任取且，

所以

，

因为，所以，所以，所以，

所以是上的增函数；

（3）因为为奇函数且，

所以，

又因为是上的增函数，所以，

所以对成立，

所以，所以，

所以.

点睛

本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用以及不等式的恒成立问题，难度较难.（1）函数单调性的证明步骤要熟练掌握：假设、作差、变形、判号、下结论；（2）对于实数集上不等式恒成立问题可将其转化为二次函数的与的关系，还可以使用分离参数的方法求解出参数的取值范围.’

解析