2022届新教材北师大版函数的概念、性质与基本初等函数单元测试含答案6

2022届新教材北师大版  函数的概念、性质与基本初等函数  单元测试

一、选择题

1、设为奇函数且在内是增函数，，则的解集为（　　）

A．                     B．

C．                   D．

2、已知函数满足且时，则与的图象的交点的个数为（    ）

A.3个    B.4个   C.5个   D.6个

3、已知，，（其中是自然对数的底），则（    ）

A． B．

C． D．

4、下列函数中是奇函数的是（  ）

A．f（x）＝x2＋3          B．f（x）＝1－x3

C．f（x）＝            D．f（x）＝x＋1

5、若，，，则（    ）

A． B．1 C．2 D．4

6、给出定义：如果函数在上存在，，满足，，则称实数，为上的“对望数”，函数为在上的“对望函数”.已知函数是上的“对望函数”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7、下列各函数中，是指数函数的是（    ）

A． B． C． D．

8、下列函数中，既是偶函数又在区间内是增函数的是（   ）

A.       B.     

C.     D.

9、设，，，则　　

A． B． C． D．

10、已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

11、已知函数，.若有个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12、已知函数当时，，则的取值范围是（   ）

A．          B．           C．              D．

二、填空题

13、如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若正方形沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C（x，y）滚动时形成的曲线为y＝f（x），则f（2019）＝________．

14、函数f(x)= (x2-5x-6)的单调递减区间为________________.

15、若函数，则__________．

16、函数的定义域为________．

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.

（1）求出函数在上的解析式；

（2）画出函数的图像，并写出单调区间；

（3）若与有3个交点，求实数的取值范围.

18、（本小题满分12分）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数，”生成的.

（1）若是由“基函数，”生成的，求实数的值；

（2）试利用“基函数，”生成一个函数，且同时满足以下条件：①是偶函数；②的最小值为1.求的解析式.

19、（本小题满分12分）设函数，是定义域为的奇函数．

（1）确定的值；

（2）若，函数，，求的最小值；

（3）若，是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．

参考答案

1、答案C

解析由奇函数在区间上是增函数，则函数在区间上也是增函数，由条件知，所以要求不等式的解，就相当于求解不等式组和的解集的并集，求得结果为，故选C.

考点：奇函数的图像的性质.

2、答案B

解析

3、答案B

解析由,则,,再由,即可得到答案

详解

由题,,,,

因为,所以,,

又,所以,

故选:B

点睛

本题考查对数的运算法则的应用,考查对数的比较大小,属于基础题

4、答案C

解析由奇、偶函数的定义得f（x）＝x2＋3为偶函数，f（x）＝1－x3为非奇非偶函数，f（x）＝为奇函数，f（x）＝x＋1为非奇非偶函数．

考点：奇函数的判断.

5、答案B

解析由，可得，并求出，进而可求出，即可得解.

详解：由可得，由可得，

，

，可得，

.

故选：B.

点睛

本题考查对数的计算，属于基础题.

6、答案A

解析根据题意将问题转化为在区间上有两个解，结合根的分布求解.

详解：由题：，

，

根据题意函数是上的“对望函数”，

即在区间上有两个解，

令，，

，解得

故选：A

点睛

此题考查函数相关新定义问题，关键在于读懂定义，等价转化，将问题转化为二次函数根的分布问题.

7、答案D

解析利用指数函数的定义，形如：即可求解.

详解：根据指数函数的定义知，，

A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；

D正确.

故选：D

点睛

本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解.

8、答案B

解析选项A在内是减函数，选项C是奇函数，选项D非奇非偶函数，故选B.

考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性.

9、答案D

解析依换底公式可得，从而得出，而根据对数函数的单调性即可得出，从而得出，，的大小关系．

详解

由于，；

，又，．故选．

点睛

本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小以及换底公式的应用。

10、答案C

解析根据指数函数、对数函数的单调性及1，为桥梁，可比较三个数的大小.

详解：，，

，

只需比较，的大小，

，

，

又，

，

故

故选：C

点睛

本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较，充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键，属于中档题.

11、答案D

解析作出函数与函数的图象，可知这两个函数的图象有个交点，数形结合可得出实数的取值范围.

详解：令可得，作出函数与函数的图象如下图所示：

由上图可知，当时，函数与函数的图象有个交点，

此时，函数有个零点.

因此，实数的取值范围是.

故选：D.

点睛

本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

12、答案A

解析因为当时,是上的单调减函数， ，故选A.

考点：1、分段函数的解析式；2、分段函数的单调性及数学的转化与划归思想.

方法点晴本题主要考查分段函数的解析式、查分段函数单调性数学的转化与划归思想，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.

13、答案0

解析由题可得：是周期为的函数，将化为，问题得解。

详解

由题可得：是周期为的函数，

所以.

由题可得：当时，点恰好在轴上，

所以，所以.

点睛

本题主要考查了函数的周期性及转化能力，属于中档题。

14、答案（6，+∞）

解析∵y=t递减，即求t=x2-5x-6的递增区间且t>0,故f(x)的递减区间为（6，+∞）.

15、答案

解析因为函数，所以, ,故答案为.

16、答案且

解析根据求函数定义域的基本原则得出关于的不等式组，即可得出所求函数的定义域.

详解

由得，且，故本题答案是，且.

点睛

本题考查具体函数的定义域，解题时要根据函数定义域求解的基本原则列出不等式组进行求解，考查计算能力，属于基础题.

17、答案（1）（2）图见解析，在上单调递增，在上单调递减.（3）

（2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间．

（3）利用函数的图象，直接观察得到的范围即可．

详解

（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；

②当时，，因为是奇函数，所以．

所以．

综上：．

（2）图象如下图所示：．

单调增区间：单调减区间：．

（3）因为方程有三个不同的解，由图像可知，，即．

点睛

本题考查函数与方程的应用，二次函数的简单性质的应用，函数图象的画法，考查计算能力．

解析

18、答案（1）；（2）

⑵设，则，继而证得是偶函数，可得与的关系，得到函数解析式，设，则由，即可求解的最小值为

解析：（1）由已知得，

即，

得，所以.

（2）设，则.

由，得，

整理得，即，

即对任意恒成立，所以.

所以

.

设，令，则，

改写为方程，

则由，且，得，检验时，满足，

所以，且当时取到“=”.

所以，又最小值为1，所以，且，此时，

所以.

点睛：本题考查了学生对新定义的理解，方程的思想，对数的运算性质，不等式的性质以及函数的最值求法。考查了函数的最值及其几何意义，函数解析式的求解及其常用方法，本题涉及的函数的性质较多，综合性抽象性很强，做题的时候要做到每一步变化严谨

解析

19、答案（1）；（2）；（3）存在，．

（2）根据已知条件得，运用换元法令，得函数,结合二次函数的图象与性质即可求出最小值；

（3）由题意，将问题转化为在恒成立，

详解

解：（1）是定义域为R上的奇函数，

，得，，经验证符合题意，

．

（2）由（1）可知，，又

，即

或（舍去），,

，

令，在是增函数，得，

则,函数对称轴

可知时，有最小值.

（3）存在

理由如下：，，，

则对恒成立，

所以，

设

易证在上是减函数，当时最小值，

即时，的最小值为，

所以，，

∵是正整数，

∴．

点睛

本题考查奇函数的性质，考查运用构造函数法和换元法求解函数的最值和不等式恒成立问题的方法，考查转化思想和计算能力.

解析