2022届新教材北师大版函数的概念、性质与基本初等函数单元测试含答案5
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2022届新教材北师大版 函数的概念、性质与基本初等函数 单元测试
一、选择题
1、关于函数有下述四个结论：
①是偶函数 ②的最大值为2
③在有4个零点 ④在区间单调递减
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
2、已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
3、已知，则（ ）.
A． B． C． D．
4、在下列函数中，图像关于坐标原点对称的是( )
A． B． C． D．
5、对于任意实数x，符号 [x]表示不超过x的最大整数(如，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
6、已知函数是上的单调函数，且对任意实数都有，则（ ）
A.1 B. C. D.0
7、已知 ，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8、已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y=f（|x|）；②y=f（﹣x）；③y=xf（x）；④y=f（x）+x．
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
9、已知，则
A． B．
C． D．
10、设，，，则，，的大小关系是（ ）．
A． B．
C． D．
11、函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
12、设，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13、对于函数,给出下列命题：① 在同一直角坐标系中, 函数与的图象关于直线对称；
②若,则函数的图象关于直线对称；
③若,则函数是周期函数；
④若,则函数的图象关于对称.
其中所有正确命题的序号是 ．
14、函数的定义域为 ．
15、已知，则_________．
16、函数的定义域为_______________；
三、解答题
17、（本小题满分10分）试证明函数在定义域区间内有3个零点．
18、（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）若函数，求函数的零点.
19、（本小题满分12分）对于三次函数．
定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解
，则称点为函数的“拐点”；
定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有
成立，则函数的图象关于点对称．
己知，请回答下列问题：
参考答案
1、答案A
解析函数的奇偶性可根据定义判断，最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析.
详解
解：的定义域为，
因为，
故为偶函数，结论①正确，
当，
当，
故当时，
根据函数为偶函数，作出大致图象，如图所示
故函数的最大值为2，结论②正确，
根据图象可得，在有3个零点，故结论③错误，
由图象可以看出，在区间单调递减，结论④正确.
故选：A.
点睛
本题考查了函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，考查学生的推理论证能力和运算求解能力等.
2、答案C
解析由已知有，对于选项A， ，对数无意义，错误；对于选项B，比如，不满足 ，错误；对于选项C， ，正确；对于选项D，比如时，不满足，故选C.
点睛：本题主要考查了不等式的性质，通过对数不等式，求出的大小关系，属于易错题，本题的关键是掌握不等式的性质。
3、答案D
解析利用赋值法，令代入解析式，即可求得的值.
详解
令，则.
故选：D.
点睛
本题考查利用赋值法求函数值，考查对函数对应关系的理解与应用，属于基础题.
4、答案B
解析根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，要找图象关于原点对称，即在4个选项中找出奇函数即可，结合选项利用排除法．
详解
根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，
A：y＝lgx是非奇非偶函数，错误；
B：y＝sinx为奇函数，图象关于原点对称，正确；
C：y＝cosx为偶函数，图象关于y轴对称， 错误；
D： y＝|x|为偶函数，图象关于y轴对称，错误；
故选：B．
点睛
本题主要考查了函数奇偶性，奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，判断函数的奇偶性时，不但要检验f（﹣x）与f（x）的关系，更不能漏掉对函数的定义域要求对称的检验，属于基础题．
5、答案C
解析 由题意得，
故选C.
点睛：本题主要考查了对数的运算法则的应用，其中解答中熟记对数的运算法则和对数的运算性质，估算出每个式子的近似值是解答的关键，同时要认真审题，仔细作答和正确理解函数的定义，试题有一定的难度，属于中档试题.
6、答案C
解析由于函数为单调函数，故设，即，即，所以，.
考点：函数的单调性.
7、答案D
解析
8、答案D
试题解析：解：由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）验证
①f（|﹣x|）=f（|x|），故为偶函数
②f[﹣（﹣x）]=f（x）=﹣f（﹣x），为奇函数
③﹣xf（﹣x）=﹣x [﹣f（x）]=xf（x），为偶函数
④f（﹣x）+（﹣x）=﹣[f（x）+x]，为奇函数
可知②④正确
故选D
考点：函数奇偶性的判断．
9、答案D
解析利用指数函数、对数函数的单调性求解．
详解
因为，，
所以.
故选：D
点睛
利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
10、答案C
解析根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小.
详解
因为
，故本题选C.
点睛
本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题.
11、答案D
解析分别验证区间端点值符号，结合零点存在定理可得到结果.
详解：，，，
，，，
由零点存在定理可知：零点所在区间为.
故选：.
点睛
本题考查利用零点存在定理确定零点所在区间的问题，属于基础题.
12、答案C
解析当时， 即 ，故
；
当时， 即 或 ，故 ；
综上，不等式的解集为
故选C
13、答案③④
解析很明显①不满足题意；②不满足题意；③由可得知周期为的周期函数；④由得可知函数是奇函数，则图象关于对称，符合题意．故③④正确．
考点：函数的性质．
易错点睛本题主要考查了函数的性质，主要体现在对称性和周期性的考查．要求学生要区分一个函数的对称和两个函数的对称在解析式上有什么不同，不仅偶函数具有对称性，别的函数的对称性应当怎样确定是必须要掌握的知识点．函数的周期性不仅要在定义上进行理解，更在变形上加以区分．本题的知识点集中，难度中等．
14、答案
解析应该满足
即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.
15、答案2
解析先求，再求的值得解.
详解
由题得，
所以.
故答案为：2
点睛
本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
16、答案
解析根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可.
详解
由题意得：，解得，
故函数的定义域是，故选C.
点睛
该题考查的是有关求函数的定义域的问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有偶次根式要求被开方式大于等于零，对数式要求真数大于等于零，列不等式组求解即可.
详解
的定义域是，且函数的图象在上是连续不断的曲线
（1），，，
由零点定理得，存在，使得，即在区间上有1个零点，
（2），，存在，使得，即在区间上有1个零点；
（3），，存在，使得，即在区间上有1个零点.
综上所述，有3个零点.
点睛
本题考查了函数零点存在性定理的直接应用，本题准确的找到一个区间()，然后证明是解题的关键，属于中档题.
解析
18、答案(1) (2) 为奇函数（3）
试题解析：
（1）要使函数有意义，必须满足，∴，
因此，的定义域为.
（2）函数为奇函数.
∵的定义域为，对内的任意有：
，
所以，为奇函数.
（3）函数的零点即方程的根.即的根，
又为奇函数，所以.
任取，且，
∵，∴，∴
∵且，∴ ，
∴，∴，
∴，即，∴在定义域上为增函数，
∴由得解得或，
验证当时，不符合题意，当时，符合题意，
所以函数的零点为.
点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.
19、答案（1）求函数的“拐点”的坐标
（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）
（1）依题意，得： ， .
由 ，即.∴，又 ，
∴的“拐点”坐标是.
（2）由(1)知“拐点”坐标是.而
=
==，
由定义(2)知：关于点对称.
一般地，三次函数的“拐点”是，
它就是的对称中心.（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分
（3）或写出一个具体的函数,
如或.
解析
