2022届新教材北师大版立体几何单元测试含答案6

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2022届新教材北师大版  　立体几何     单元测试一、选择题1、正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．82、如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为（     ）A．2:1 B．3:1 C．3:2 D．4:33、已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该几何体的侧面积为（    ）A． B． C． D．4、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，、分别是、的中点，，则球的体积为（    ）A． B． C． D．5、已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为    A. B. C. D.6、某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A. 10    B. 12C. 14    D. 167、如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（　　）A．V1＝2V2 B．V1＝V2 C．V2＝2V1 D．V1＝V28、在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，AA1＞AB，堑堵的顶点C1到直线A1C的距离为m，C1到平面A1BC的距离为n，则的取值范围是（    ）A．（1，） B．（，） C．（，） D．（，）9、在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．10、已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）A． B． C． D．12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ）A． B．3 C． D．二、填空题13、有如下命题：①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；③平行于同一条直线的两条直线平行；④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．14、已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为__________.15、已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，则球的表面积为_________.16、一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，该圆锥的母线长为_______.三、解答题17、（本小题满分10分）如图，在正方体中，？分别是平面？平面的中心，证明:（1）平面；（2）平面平面.18、（本小题满分12分）如图，已知三棱锥A-BPC中，，M为AB的中点，D为PB的中点，且为正三角形.（1）求证：平面APC；（2）若，，求三棱锥D-BCM的体积.19、（本小题满分12分）如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知.求证：（1）直线平面；（2）平面平面.20、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点(1)证明:平面；(2)平面将四棱锥分成多面体和多面体两部分，求上述两个多面体的体积比
参考答案1、答案C解析利用正四棱锥的体积公式直接求解.详解：∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积.故选：C.点睛本题主要考查棱锥的体积的求法，属于基础题.2、答案A解析把直三棱柱ABC-A1B1C1分割为：B-APQC，B-C1QPA1，B-B1A1C1，运用体积公式求解，得出结论．设直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，∵连接BA1，BC1，点P、Q分别在棱AA1和CC1上，AP=C1Q，∴四棱锥的B-APQC，B-C1QPA1，的底面积相等∴把直三棱柱ABC-A1B1C1分割为：B-APQC，B-C1QPA1，B-B1A1C1，∴三棱锥的为，∴四棱锥B-APQC，B-C1QPA1的体积之和为：，∵四棱锥的B-APQC，B-C1QPA1，的底面积，高相等．∴四棱锥的B-APQC，B-C1QPA1，的体积相等，即为，∴棱锥B-APQC，B-C1QPA1，B-B1A1C1的体积相等，为，∴平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为2：1，故选A考点：柱锥台体的体积方法点睛1.计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高；2.注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握；3.求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．3、答案C解析首先把三视图转换为直观图，是一个三棱锥体S-ABO和一个圆锥组成的几何体，然后再求几何体的侧面积．详解：由几何体的三视图转换为直观图为：由一个三棱锥体S-ABO和一个圆锥组成的几何体．如图所示：所以该几何体的侧面积为S侧．.故选：C．点睛本题主要考查三视图还原几何体以及几何体侧面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.4、答案D解析先证得平面，再求得，求得的外接圆半径，利用公式可求得球的半径，利用球体的体积公式可求得球的体积.详解：取的中点，连接、，，为边长为的等边三角形，为正三棱锥，，，，平面，平面，，又、分别为、中点，，，又，平面，则平面，平面，，即，易知、、两两垂直，，，由勾股定理得，则，所以，，的外接圆直径为，即，所以，三棱锥的外接球半径为，所以，该三棱锥的外接球的体积为.故选：D．点睛本题考查三棱锥外接球体积的计算，解答的关键就是推导出线面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5、答案D解析由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可．详解解：如图，∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小，                                                ∴设正方体的棱长为，则，∴．取，连接，则共面，在中，设到的距离为，设到平面的距离为，.故选：D．点睛本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．6、答案B解析由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.7、答案A解析由题意可得H＝R，得到圆锥的水面圆的直径，进一步得到半径，再由圆锥与圆柱体积公式求解详解：解：如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H＝R，则圆锥的水面圆的直径为，由,所以,故选：B点睛此题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，属于基础题8、答案D解析设AB＝BC＝1，AA1＝a，用表示出，得出关于的函数，根据的范围可求出的范围.详解：设AB＝BC＝1，则AC＝A1C1，设AA1＝a，则CC1＝a，∴A1C，∴C1到直线A1C的距离m，∵B1C1∥BC，BC？平面A1BC，B1C1？平面A1BC，∴B1C1∥平面A1BC，∴C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，∴，∵BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B，∴，又，∴？？n，∴n.∴.∵AA1＞AB，∴a＞1，∴0，∴.故选：D.点睛该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有几何体的特征，利用等积法求点到平面的距离，求式子的取值范围，属于中档题目.9、答案C解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．详解：取中点，由，可知：，为三棱锥外接球球心，过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，，，，为的中点由球的性质可知：平面，，且．设，，，，在中，，即，解得：，三棱锥的外接球的半径为：，三棱锥外接球的表面积为．故选：.点睛本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.10、答案C解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.故选：.点睛本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11、答案A解析详解：如图:正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴斜高h′=PE=，∴S正棱锥侧=故选：A12、答案B解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，则圆锥的侧面积为，故表面积为，得①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，得②，联立①②得：，.故答案为：B.点睛本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.13、答案①②③解析根据公理可得出结论.详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.命题④为等角定理.故答案为：①②③.点睛本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.14、答案24解析由长方体的体对角线为外接球的直径可知，长方体的表面积为22可得，联立可得：，即可得棱长之和.详解：设该长方体的长、宽、高分别为，由体对角线为外接球的直径得①，由长方体的表面积为22得:②，①②两式相加得，即，故此长方体的所有棱长之和为.故答案为：24点睛本题主要考查了长方体的外接球的直径即是长方体的体对角线，涉及长方体的表面积公式，属于基础题.15、答案解析将四面体补成直三棱柱，根据题意画出图象，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，求出，在根据正弦定理，求出，根据勾股定理和球的表面积公式，即可求得答案.详解：四面体的所有顶点在球的表面上，且平面，将四面体补成直三棱柱，设，的外心分别为，，则点为线段的中点，根据直棱柱特征可得：面根据题意画出图象，如图：可得：，在根据正弦定理：(为三角形外接圆半径)根据为的外心，可得为外接圆半径即，面，面故为直角三角形在中，根据勾股定理可得：，.故答案为：.点睛本题主要考查了求四面体外接球表面积问题，解题关键是掌握将四面体补成直三棱柱求外接球半径的方法和球的表面积公式，数形结合，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.16、答案4解析设圆锥的底面半径为，母线长为，利用圆锥的表面积公式和侧面展开图，求出圆锥的底面圆半径和母线长．详解：设圆锥的底面半径为，母线长为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，，，又圆锥的表面积为，，解得，母线长为．故答案为：4点睛本题主要考查了圆锥的结构特征与应用问题，考查了面积计算，属于中档题． (2)根据(1)中的结论再证明即可.详解：（1）由是正方体,可知,,∵平面,平面,∴平面.（2）由是正方体,可知,,∵平面,年平面,∴平面,由（1）知,平面,又,∴平面平面.点睛本题主要考查了线面平行与面面平行的证明,属于基础题.解析18、答案（1）证明见解析；（2）（2）根据题意得到平面BCD的距离为的长，由三棱锥D-BCM的体积即为三棱锥M-BCD的体积，由题设条件求出的长，及三角形BCD的面积，由椎体体积公式代入数据求解即可.详解（1）证明：因为M为AB的中点，D为PB的中点，所以MD是的中位线，.又平面APC，平面APC，所以平面APC.（2）在等边三角形PMB中，D为PB的中点，，，又，平面PBC，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，，又，平面PAC，，平面PAC，平面PBC，.平面PBC，即MD是三棱锥M-DBC的高.又因为，M为AB的中点，为正三角形，所以，，由平面APC，可得，在直角三角形PCB中，由，可得.于是,所以.点睛本题主要考查线面平行的判定及椎体的体积，解题的关键时对三棱锥体积的转化.解析详解（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面．（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面．考点线面平行与面面垂直．解析20、答案(1)证明见解析；(2)2:1 (2)先求,,从而可得.详解证明（1）取中点，连接、，依题意，四边形是平行四边形，所以.又面，面，面.（2）因为,所以,点睛本题考查了线面平面的判定定理以及棱锥的体积公式.属于中档题.解析