2022届新教材北师大版圆锥曲线单元测试含答案13

2022届新教材北师大版  圆锥曲线  单 元测试

1、已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)．

A．      B．   C．3        D．5

2、双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

3、等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是(　　)

A． 8p2    B． 4p2    C． 2p2    D． p2

4、已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是（    ）．

A．    B．    C．    D．

5、△ABC的两个顶点为A（-4,0），B（4,0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（   ）

A．（y≠0）         B．（y≠0）

C． （y≠0）        D． （y≠0）

6、

设点分别是双曲线的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为

A．     B．     C．     D．

7、椭圆的焦点坐标是（  ）

Ａ．    Ｂ．    Ｃ．    Ｄ．

8、经过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，点是直线上任意一点，直线的斜率分别为，则（    ）

A．      B．       C．       D．

9、已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝x对称，则该双曲线的离心率为（   ）

A．2           B．            C．           D．3

10、已知双曲线的离心率，且其右焦点,则双曲线的方程为（  ）

A. B.

C. D.

11、已知，是椭圆的焦点，为椭圆上的一点，轴，且，则椭圆的离心率为（ ）

A．         B．         C．         D．

12、已知椭圆的一个顶点是，离心率，坐标轴为对称轴的椭圆的标准方程是（　）

Ａ．或        Ｂ．

Ｃ．                    Ｄ．或

13、设是椭圆C:的焦点，P 为椭圆上一点，则的周长为__________        .

14、已知椭圆的标准方程为，且，点坐标，点坐标,点坐标,点坐标，若直线与直线的交点在椭圆上，则椭圆的离心率为__________．

15、椭圆（）的离心率，右焦点，方程 的两个根分别为，，则点与圆的位置关系是

.

16、已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为　　．

17、已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

18、已知椭圆及直线：．

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程．

19、已知椭圆C1：，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．

(1)求椭圆C2的方程；

(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，，求直线AB的方程．

20、已知椭圆＞b＞的离心率为且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).

(1)求椭圆的标准方程;

(2)求m的取值范围.

(3)试用m表示△MPQ的面积S,并求面积S的最大值.

21、已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的长轴端点为焦点，求该双曲线方程。

22、设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，，原点到直线的距离是．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若的面积是，求椭圆的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若直线与椭圆交于两点，问：是否存在实数使为钝角？如果存在，求出的范围；如果不存在，说明理由．

参考答案

1、答案A　

由双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，知，c2＝9＝4＋b2，于是b2＝5，．

因此该双曲线的渐近线的方程为，即．

故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为．

2、答案B

根据双曲线方程求得，由此求得离心率.

详解

依题意，双曲线的，

所以双曲线的离心率为.

故选：B

3、答案B

设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），利用OA=OB可求得x1=x2，进而可求得AB=4p，从而可得S△OAB．

详解

设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），则=2px1，=2px2，

由OA=OB得：+=+，

∴﹣+2px1﹣2px2=0，即（x1﹣x2）（x1+x2+2p）=0，

∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，

∴x1=x2，即A，B关于x轴对称．

∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，由解得或，

故AB=4p，

∴S△OAB=×2p×4p=4p2.

故选：B

名师点评

本题考查抛物线的简单几何性质，求得A，B关于x轴对称是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

4、答案B

由双曲线的焦点可知c=,线段PF1的中点坐标为(0,2),所以设右焦点为F2,则有PF2⊥x轴,且|PF2|=4,点P在双曲线右支上.所以|PF1|===6,所以|PF1|-|PF2|=6-4=2=2a,所以a=1,b2=c2-a2=4,所以双曲线的方程为x2-=1.故选B.

5、答案A

由坐标可知，由周长可知，由椭圆的定义可知，点在焦点为，半长轴为的椭圆上运动，由焦点以及半长轴可求得半短轴，则椭圆方程为，当点在横轴上时，点共线，不能构成三角形，所以，所以点的轨迹方程为（），故正确选项为A．

考查目的：椭圆的概念．

易错名师点评本题主要考察椭圆的概念：到两定点距离之和等于定值的动点的轨迹．有已知条件可得到椭圆的半长轴以及焦点坐标，但是，要注意一点，题中要求三点构成三角形，也就是说这三点是不能共线的，即点不能在横轴上，所以在轨迹方程中要去掉纵坐标为的点．

6、答案D

设，则，

∴，

∴，

∴。

又，

∴，

∴，

∴。

∴该双曲线的渐近线方程为。选D。

名师点评：

双曲线的渐进线是双曲线的重要性质之一，也是高考的常考点，题型一般以选择题或填空题为主。求双曲线的渐近线方程时，可利用转化为关于的方程或不等式，其中常用到双曲线渐近线的斜率与离心率的关系，即

。

7、答案C

椭圆方程化为标准形式后，可以得：，所以， ，焦点在轴上。

8、答案B

，设直线的方程为，代入双曲线方程，可得，设，，则，，

设，可得，，代入韦达定理，可得，所以，故选B.

考查目的：1.直线与双曲线的位置关系；2.韦达定理.

一题多解本题主要考察了直线与双曲线的位置关系，属于中档题型，当以选择题的形式考察圆锥曲线时，有些侧重性质的考察，计算量会少点，而本题，主要考察了直线与双曲线联立，韦达定理，以及代数式的化简能力，计算量比较大，比如本题的方法，或是选择特殊直线和特殊点，比如，直线选择或是与双曲线相交于两点，点可以是或，代入可得斜率，即可得到选项，这样在考试时避免了大量的计算，快速选出选项.

9、答案B

过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，联立渐近线方程与，解之可得，故对称中心的点坐标为，由中点坐标公式可得对称点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得，，化简可得，故可得．故选B．

考查目的：双曲线的简单性质．

易错名师点评求出过焦点且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组得对称中心的点的坐标，代入方程结合解出即可．本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，离心率是圆锥曲线的共性，是考试的一个热点，应该掌握在不同的圆锥曲线中的关系及对离心率的影响．属于中档题．

10、答案B

 由双曲线的离心率，且其右焦点为，

 可得，所以，

 所求双曲线的方程为，故选B．

11、答案C

把代入椭圆，可得，由题意得；故选C．

考查目的：椭圆的离心率

12、答案Ａ

分两种情况，一种焦点在x轴上，一种焦点在y 轴上，可得两种情况的方程分别为或 。

13、答案18

14、答案

15、答案点在圆内

16、答案﹣=1

由题意，不妨设双曲线的方程为

∵F（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a2+b2=9．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：①；②

由①﹣②得：=

∵AB的中点为N（﹣12，﹣15），

∴

又AB的斜率是

∴，即4b2=5a2

将4b2=5a2代入a2+b2=9，可得a2=4，b2=5

∴双曲线标准方程是

故答案为：

17、答案

试题分析：设直线l：y＝kx＋2，联立直线方程和椭圆方程得到韦达定理，再由＝x1x2＋y1y2>0和Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0得到直线l的斜率k的取值范围．

详解

显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0.

所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－.①

又0°<∠AOB<90°？cos∠AOB>0？>0，

所以＝x1x2＋y1y2>0.

又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝，

所以>0，即k2<4.

所以－2<k<2.②

综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为.

名师点评

（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是把∠AOB(O为坐标原点)为锐角转化为＝x1x2＋y1y2>0.

18、答案（1）；（2）当时，取最大值为，此时直线方程为．

19、答案解：由已知可设椭圆C2的方程为(a＞2)，其离心率为，故，则a＝4，故椭圆C2的方程为．

解：方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx，将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．将y＝kx代入中，得(4＋k2)x2＝16，所以．又由得，即，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．

方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx．将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．由得，，将代入中，得，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．

解：由已知可设椭圆C2的方程为(a＞2)，其离心率为，故，则a＝4，故椭圆C2的方程为．

解：方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx，将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．将y＝kx代入中，得(4＋k2)x2＝16，所以．又由得，即，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．

方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx．将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．由得，，将代入中，得，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．

20、答案(1)依题意可得解得

从而所求椭圆方程为

(2)直线的方程为

由可得

该方程的判别式△=＞0恒成立.

设则

可得

设线段PQ中点为N,则点N的坐标为

线段PQ的垂直平分线方程为

令,由题意又,所以0＜＜

(3)点M到直线的距离

=

于是

由可得代入上式,得

即＜＜.

设则

而＞00＜m＜＜0＜m＜

所以在上单调递增,在上单调递减.

所以当时,有最大值

所以当时,△MPQ的面积S有最大值

21、答案

        椭圆的焦点为，长轴端点为

         双曲线的顶点为，焦点为

         双曲线的方程为

22、答案（Ⅰ）设，，∵,不妨设，

又∵点在椭圆上，∴，从而得，直线的方程为，

整理可得，由题设，原点到直线的距离为,

即，将代入上式化简得，∴，

，．

（Ⅱ）由题设，∴，所求椭圆方程为．

（Ⅲ）设，，将直线代入并化简得

，由韦达定理知，，

且，∴，由题设是钝角，

即．

∴，∴，

∴，∴，

解得，上式满足，

故存在满足条件．