2022届新教材北师大版圆锥曲线单元测试含答案15
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2022届新教材北师大版 圆锥曲线 单元测试
1、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A． 有且仅有一条 B． 有且仅有两条
C． 有无穷多条 D． 不存在
2、设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )．
A． B． C．24 D．48
3、抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
4、双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
5、已知两点，，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
6、
下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线为的是（ ）
A． B． C． D．
7、设点P是椭F1,F2是焦点,设k=|PF1|·|PF2|,则k的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8、设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点,使得的内切圆半径为,圆心记为，又的重心为，满足,则双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
9、把离心率的曲线称之为黄金双曲线．若以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆，则圆与黄金双曲线（ ）
A. 无交点 B. 有1个交点 C. 有2个交点 D. 有4个交点
10、已知直线1：2x﹣y+2＝0被双曲线C：x2﹣ ＝1截得的线段长等于3，下面哪一条直线被双曲线C所截得的弦长不等于3（ ）
A．2y﹣x+2＝0 B．﹣2x﹣y+2＝0
C．2x+y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0
11、已知椭圆的一个焦点为，离心率，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
12、已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0），离心率等于，则C的方程是( ).
A、 B、 C、 D、
13、已知圆过椭圆的两焦点且关于直线对称，则圆的方程为__________________.
14、已知是椭圆的左右焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为______．
15、椭圆的右焦点到直线的距离为____________
16、若双曲线的左、右焦点分别为,抛物线的焦点恰好为线段的黄金分割点，则此双曲线的离心率为
17、已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
18、已知椭圆及直线：．
（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程．
19、已知椭圆C1：，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，，求直线AB的方程．
20、已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线.
（Ⅰ）求椭圆的离心率;
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值.
21、求经过点且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.
22、椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为,右焦点与点的距离为.
（1）求椭圆的方程;
（2）是否存在斜率的直线:,使直线与椭圆相交于不同的两点满足,若存在,求直线的倾斜角;若不存在,说明理由.
参考答案
1、答案B
过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．
故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-1）
代入抛物线y2=4x得，k2x2-2（k2+2）x+k2=0
∵A、B两点的横坐标之和等于5，
∴=5，k2=，则这样的直线有且仅有两条，故选B．
考查目的：本题主要考查直线与抛物线的位置关系。
点评：常见题型，联立方程组，整理得一元二次方程，运用根的判别式求参数的范围，是常规解法.
2、答案C
由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24，故选C．
3、答案D
先把其转化为标准形式，求出p即可得到其准线方程．
详解
由题得：，
所以：，即
所：
故准线方程为：．
故选：D．
名师点评
本题主要考查了抛物线的简单性质解决抛物线的题目时，一定要注意判断出焦点所在位置，避免出错．
4、答案B
利用双曲线的方程直接求解渐近线方程即可．
详解
解：双曲线即，其中a=2，b=1，
故其渐近线方程是：．
故选：B．
名师点评
本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题．
5、答案C
6、答案C
焦点在轴上的有C,D，其中渐近线为，
渐近线为，所以选C.
名师点评：1.已知双曲线方程求渐近线：
7、答案D
分析：利用椭圆的定义可以得到，由基本不等式可以得到的最大值.
详解：因为点在椭圆上，所以，
所以 ，
故，当且仅当时等号成立.故选D.
名师点评：一般地，椭圆的左右焦点为，点为椭圆上的动点，则.
8、答案C
由轴得： ， ，所以，又，由，由，得： ，因此，代入椭圆方程得： .
名师点评列出一个关于的等式，就可以求出双曲线的离心率；列出一个关于的不等式，就可以求出双曲线的离心率的取值范围；本题借助于三角形的内切圆半径表示出三角形的面积，利用面积相等列出等量关系，在借助于双曲线的定义，求出点P的坐标满足双曲线方程，求出离心率.
9、答案D
由题意知，所以，因为，所以，所以，所以圆与黄金双曲线的左右两支各有2个交点，即圆与黄金双曲线由4个交点，故选D.
10、答案A
结合双曲线图象的对称性可以得出选项.
详解
根据双曲线的图象关于x轴，y轴和原点对称可知，
与直线2x﹣y+2＝0关于原点对称的直线2x﹣y﹣2＝0被双曲线C所截得的弦长等于3；
与直线2x﹣y+2＝0关于y轴对称的直线2x+y﹣2＝0被双曲线C所截得的弦长等于3；
与直线2x﹣y+2＝0关于x轴对称的直线2x+y+2＝0被双曲线C所截得的弦长等于3；
故选：A．
名师点评
本题主要考查双曲线的对称性，结合图形的特点，可以避免繁琐的计算.
11、答案C
设椭圆的标准方程为，
椭圆的一个焦点为,离心率，所以.
故椭圆的方程为故本题正确答案是
12、答案D
由题意可知椭圆焦点在轴上，因而椭圆方程设为，可知，可得，又，可得，所以椭圆方程为.
考查目的：椭圆的标准方程.
13、答案
14、答案
根据椭圆的定义及条件求出点的坐标，然后根据点在椭圆上可得，进而可求得椭圆的离心率．
详解
如图，不妨设点是椭圆短轴的上端点，则点D在第四想象内，设点．
由题意得为等腰三角形，且．
由椭圆的定义得，，
又，
∴，解得．
作轴于，
则有，，
∴，
∴点的坐标为．
又点在椭圆上，
∴，整理得，
所以．
故答案为：．
名师点评
求椭圆离心率或其范围的方法
(1)根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．
(2)由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．
15、答案
16、答案
由已知得，解得
又因为，所以所以双曲线的离心率:
17、答案
试题分析：设直线l：y＝kx＋2，联立直线方程和椭圆方程得到韦达定理，再由＝x1x2＋y1y2>0和Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0得到直线l的斜率k的取值范围．
详解
显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－.①
又0°<∠AOB<90°？cos∠AOB>0？>0，
所以＝x1x2＋y1y2>0.
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝，
所以>0，即k2<4.
所以－2<k<2.②
综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为.
名师点评
（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是把∠AOB(O为坐标原点)为锐角转化为＝x1x2＋y1y2>0.
18、答案（1）；（2）当时，取最大值为，此时直线方程为．
19、答案解：由已知可设椭圆C2的方程为(a＞2)，其离心率为，故，则a＝4，故椭圆C2的方程为．
解：方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx，将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．将y＝kx代入中，得(4＋k2)x2＝16，所以．又由得，即，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．
方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx．将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．由得，，将代入中，得，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．
解：由已知可设椭圆C2的方程为(a＞2)，其离心率为，故，则a＝4，故椭圆C2的方程为．
解：方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx，将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．将y＝kx代入中，得(4＋k2)x2＝16，所以．又由得，即，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．
方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx．将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以．由得，，将代入中，得，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x．
20、答案（1）解:设椭圆方程为
则直线AB的方程为,代入,化简得
.
令A（）,B）,则
由与共线,得
又,
即,所以,
故离心率
（II）证明:（1）知,所以椭圆可化为
设,由已知得
在椭圆上,
即①
由（1）知
21、答案
试题分析：设双曲线的方程为，将P，Q的坐标代入，可求得A，B的值，进而得双曲线的标准方程.
详解：依题意,设双曲线的方程为,
∵双曲线过点和,
∴
解得,,
故双曲线的标准方程为.
名师点评
本题考查了待定系数法求双曲线的标准方程；解答本题的关键是根据焦点在x轴或在y轴上时，双曲线的方程的共同特征，设出双曲线的方程.
22、答案（1）依题意,设椭圆方程为,则其右焦点坐标为
,
由,得,
即,解得.
又 ∵ ,∴ ,即椭圆方程为.
（2）由知点在线段的垂直平分线上,
由消去得
即 （*）
由,得方程（*）的,即方程（*）有两个不相等的实数根.
设、,线段的中点,
则,,
,即,
,∴直线的斜率为,
由,得,
∴ ,解得:,即,
又,故 ,或,
∴ 存在直线满足题意,其倾斜角,或.
