人教版 八年级数学下册同步讲义 第10课 平行四边形（教师版+学生版）学案

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第10课 平行四边形

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课程标准
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．
4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．

知识精讲


知识点01 平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ □ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
注意：
平行四边形的基本元素：边、角、对角线.
相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点02 平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
注意：
（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；
角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点03 平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
注意：
（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应
选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
知识点04 三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点05 平行线间的距离

1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.
注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
能力拓展

考法01 平行四边形的性质
【典例1】如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长．

【答案与解析】
解： ∵四边形ABCD是平行四边形．
　　　∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，
　　　∵ □ABCD的周长是60．
　　　∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①
　　　又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．
　　　即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8， ②
　　　由①②有
　　　解得
　　　∴AB，BC的长分别是19和11．
【点睛】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.
【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．

【答案】24.
【解析】
【详解】
试题分析： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24.
考点：1平行四边形；2角平分线性质；3勾股定理；4等腰三角形.
【即学即练2】如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____．

【答案】14
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，
∵AC+BD=16，
∴OB+OC=8，
∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，
故答案为14．
点睛：本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【即学即练3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．

【答案】48
【解析】
【分析】
首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．
【详解】
解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵▱ABCD的周长为40，
∴x＋y＝20，
∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，
∴4x＝6y，
得方程组：，
解得：
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．
故答案为：48．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得到方程，再解方程组即可．
【即学即练4】如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．

【答案】20
【解析】
【分析】
根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为20．
考点：平行四边形的性质．
【即学即练5】已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则▱ABCD的面积是_____．

【答案】32
【解析】
【详解】
分析：利用平行四边形的性质可证明△AOF≌△COE，所以可得△COE的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=▱ABCD的面积，进而可得问题答案．
详解：：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，
又∵AO=CO，
在△AOE与△COF中

∴△AOE≌△COF
∴△COEF的面积为3，
∵S△BOF=5，
∴△BOC的面积为8，
∵△BOC的面积=▱ABCD的面积，
∴▱ABCD的面积=4×8=32，
故答案为32．
点睛：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：①平行四边形的对边相等且平行，②全等三角形的对应边、对应角分别相等．
【即学即练6】如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______°．

【答案】
【解析】
【详解】
∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，
∴AD＝DE，∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．
∴．
【即学即练7】如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，那么它的另一条对角线的长m的取值范围是______________.
【答案】10＜m＜22
【解析】
【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分，那么一边是8，另两边是3和组成的三角形，结合三角形的三边关系，求得相应范围即可．
【详解】
解：由题意得：8−3＜＜8＋3，
∴10＜m＜22．
故答案为：10＜m＜22．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系的综合运用，有关“对角线范围”的题，应联系“三角形两边之和、差与第三边关系”知识点来解决．
【即学即练8】若以A(1,2)，B(－1,0)，C(2,0)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点坐标为________．

【答案】（﹣2，2）或（4，2）或（0，﹣2）
【解析】
【分析】
知道A，B，C三点的坐标，根据平行四边形两组对边分别平行可得D点的坐标．
【详解】
解：根据平行四边形的两组对边分别平行，可得D点有三种情况，
所以D点坐标为（﹣2，2）或（4，2）或（0，﹣2）．
故答案是（﹣2，2）或（4，2）或（0，﹣2）．

【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质．根据平行四边形的性质，结合坐标画出图形，找出D点坐标的三种情况．
【即学即练9】如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线．
　　（1）求证：AE⊥BE；
　　（2）若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积．
　　　　　
【答案】
　解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
　　∴∠ABC+∠BAD=180°，
　　∵BE、AE分别平分∠ABC和∠BAD，
　　∴∠ABE+∠BAE=×180°=90°，
　　∴∠AEB=90°，
　　即AE⊥BE；
　　（2）∵AE⊥BE
　　∴S△ABE=AE×BE÷2=3，
　　∴平行四边形ABCD的面积=2S△ABE=6．
考法02 平行四边形的判定
【典例2】已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．
　　求证：四边形PBQD是平行四边形．
　　　
【分析】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．
【答案与解析】
证明：连接BD交AC与O点，
　　∵四边形ABCD是平行四边形，
　　∴AO=CO，BO=DO，
　　又∵AP=CQ，
　　∴AP+AO=CQ+CO，
　　即PO=QO，
　　∴四边形PBQD是平行四边形．
　　　　
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．

【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．
【答案】AF=CE（答案不唯一）．
【解析】
【详解】
根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，当AF=CE时，四边形AECF是平行四边形;根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定，可添加AF=CE或FD=EB．
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义，可添加AE∥FC.
添加∠AEC=∠FCA或∠DAE=∠DFC等得到AE∥FC，也可使四边形AECF是平行四边形.
【即学即练2】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由BF＝DE，可得BE＝DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由AB＝CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；
（2）由，即可得∠ABE＝∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得，又由AB＝CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO＝CO．
【详解】
证明：（1）∵BF=DE，
∴，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
,
∴（HL）；
（2）如图，连接AC交BD于O，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
【即学即练3】如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．

(1)求证：OD=OC．
(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠CAO=∠DBO，再由ASA证明△AOC≌△BOD即可得到结论；
（2）根据（1）的结论及中点可证得OE=OF，再由平行四边形的判定定理即可证明结论．
【详解】
证明：（1）∵AC∥DB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，
∴△AOC≌△BOD，
∴OC=OD；
（2）∵E是OC中点，F是OD中点，
∴OE=OC，OF=OD，
∵OC=OD，
∴OE=OF，
又∵OA=OB，
∴四边形AFBE是平行四边形．
【点睛】
本题考查了全等三角形及平行四边形的证明，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【即学即练4】以锐角△ABC的边AC、BC、AB向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．

【答案】
证明：在等边△ADC和等边△AFB中
∠DAC＝∠FAB＝60°．
∴ ∠DAF＝∠CAB．
又∵ AD＝AC，AF＝AB．
∴ △ADF≌△ACB(SAS)．
∴ DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．
∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
考法03 构造平行四边形，应用性质
【典例3】在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.
　　　　　　　
【答案与解析】
解：延长FP交AB于G, 延长DP交BC于H，

∵四边形AGPD，EBHP为平行四边形，
∴PD＝AG，PH＝BE.
　∵PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，△ABC是等边三角形，
∴∠GEP＝∠EGP＝∠EPG＝∠PHF＝∠PFH＝∠HPF＝60°，
∴ΔGEP，ΔPHF为等边三角形
∴PF＝PH＝BE, PE＝GE,
　　∴PD＋PF＋PE＝AG＋BE＋GE＝AB.
【点睛】添加辅助线构造平行四边形是当题目中有平行关系的条件时经常使用的方法.
考法04 三角形的中位线
【典例4】如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．

【分析】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．
【答案与解析】
解：延长BD交AC于点N．

∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，
又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA)
∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵ D、M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝CN＝＝3．
【点睛】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．

【即学即练1】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．

A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定
【答案】B；
解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，
∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．
∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，
∴ 线段EF的长度将保持不变．

【即学即练2】如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．

【答案】3
【解析】
【详解】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．
又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米．
∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米．
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线．
∴EF=AB=3厘米．
【即学即练3】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____．

【答案】11．
【解析】
【详解】
利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解：
∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴．
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC．
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．
又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6＋5=11．
【即学即练4】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．

【答案】18．
【解析】
【详解】
试题分析：根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF=18°，∴∠PEF=∠PFE=18°．故答案为18．
考点：三角形中位线定理．
【即学即练5】如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是_____．

【答案】14
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG＝EH，根据平行四边形的判定定理和周长解答即可．
【详解】
∵F，G分别为BC，CD的中点，
∴FG＝BD＝4，FG∥BD，
∵E，H分别为AB，DA的中点，
∴EH＝BD＝4，EH∥BD，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝GH＝AC＝3，
∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，
故答案为14
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．

分层提分


题组A 基础过关练
1．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　）

A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
此题涉及的知识点是平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．
【详解】
解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，DE=CD，
∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，
即△DOE的周长为15．
故选A
【点睛】
此题重点考察学生对于平行四边形的性质的理解，三角形的中位线，平行四边形的对角对边性质是解题的关键．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（　　）

A．150° B．130° C．120° D．100°
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABE，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故选C．
考点：平行四边形的性质．
3．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（ ）

A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案.
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平行四边形的周长为28，
∴
∵，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴的周长，
故选D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理.
4．平行四边形所具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．邻边互相垂直
C．每条对角线平分一组对角 D．两组对边分别相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，继而即可得出答案．
【详解】
平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等.
故选D.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质.
5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（ ）

A．10 B．14 C．20 D．22
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长是：14．
故选B．
【点睛】
平行四边形的性质掌握要熟练，找到等值代换即可求解．
6．平行四边形的边长为5，则它的对角线长可能是(　　)
A．4和6 B．2和12 C．4和8 D．4和3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．
【详解】
A. 对角线一半分别是2和3，2+3=5，不能构成三角形，故本选项错误；
B. 对角线一半分别是1和6，6−1=5，不能构成三角形，故本选项错误．
C. 对角线一半分别是2和4，符合三角形的三边关系，能构成三角形，故本选项正确；
D. 对角线一半分别是2和，2+