2021学年第十七章 勾股定理综合与测试当堂检测题

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 人教版2022年八（下）第17章《勾股定理》单元检测一、选择题（共10小题，每题3分）1．下列各组数中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（   ）A．1、1、1 B．5、6、7 C．6、8、10 D．7、9、11 答案：C2． 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题不正确的是（   ）A．如果a2＝(b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形B．如果a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形C．如果a∶b∶c＝5∶12∶13，则△ABC是直角三角形D．如果∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，则△ABC是直角三角形答案：B3． 直角三角形的三边长分别为5、4、x，则x的可能值有（   ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B4． 已知直角三角形两直角边之和为7，面积为6，则斜边长为（   ）A．5 B． C．7 D．答案：A5． 为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15 米，∠B＝120°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需要（   ）元．A．75a B．50a C．a D．150a答案：A6． 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案， 现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式织成图案，使所图成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（   ） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4答案：B7． 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（   ）A．50．5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸答案：C8． 如图，一束光线从y轴上点 A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为（   ）A．6 B．3 C．3 D．2答案：B9． 知图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（   ）A． B． C． D．答案：D解析：S△ABC＝，∴ACBD＝，∴BD＝，选D．10． 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P，若GO＝GP，则的值是（   ）A．1＋ B．2＋ C．5－ D．答案：B解析：∵GO＝GP，∴∠GOP∠GPO＝67．5°，∴∠PDH＝22．5°＝∠DCH，在HC上截HM＝HD，连DM，令HD＝1＝HM，则DM＝CM＝，在Rt△CDH中，CD2＝DH2＋CH2＝4＋2，∴＝＝＝2＋．二、填空题（共6小题，每题3分）11． 如图，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，2），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为             ．答案：(6－4，0)12． 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝             ．答案：2013． 如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝5，BC＝12，则AD的长为           ．答案：14． 如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝       答案：1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC 的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC＋PQ的最小值               ．答案：解析：作点Q关于AD的对称点Q′，则PC＋PQ＝PC＋PQ′≥CQ′≥CH，S△ABC＝ACBC＝ABCH，∴CH＝．16． 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，则CD的长为        ．答案：或3或2或2解析：如图1，过D作DE⊥DC交AC于点E，证△DAE≌△DCB，∴AE＝BC＝2，∴EC＝2，在Rt△DCE中，CD＝；如图2，过D作DE⊥DC交CA延长线于点E，证△DAE≌△DBC，∴AE＝BC＝2，∴EC＝6，在Rt△DCE中，CD＝3；如图3，过A作AE⊥AC，截AE＝AC，连EB、EC，过E作EH⊥BC交BC延长线于点H，证△ADC≌△ABE，∴CD＝EB，在Rt△BEH中，BE＝2，∴CD＝2；如图4，过B作BE⊥BC，截BE＝BC，连EB、AE，过E作EH⊥AC交AC延长线于点H，证△BDC≌△BAE，∴CD＝EA，在Rt△AEH中，AE＝2，∴CD＝2．三、解答题（共8小题）17． （本题8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB－AC＝2，BC＝8，求AB的长及AB 边上的高．答案：设AC＝x，则AB＝x＋2，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴x＝15，∴AB＝17，利用面积法可得：AB边上的高为． 18． （本题8分）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求证：∠A＋∠C＝180°．答案：连AC，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝25，在△ACD中，AD2＋CD2＝AC2，∴△ACD为直角三角形，∠D＝90°，∴∠A＋∠C＝180°． （本题8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，且满足它是轴对称图形；（3）在图3中，面一个直角三角形，是它的三边长都是无理数．答案：（1）如图所示（答案不唯一）；（2）如图所示（答案不唯一）；（3）如图所示（答案不唯一）． 20．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中有一长方形ABCD，其中A（0，0），C（－3，），若将△ABC沿AC线翻折，点B落在点E处，求点E的坐标．答案：过E作EF⊥y轴于点F，∵点C（－3，），可得∠BAC＝30°，∠EOF＝30°，OE＝AB＝3，在Rt△EOF中，∠EOF＝30°，∴EF＝OE＝，OF＝，∴E(－，)． 21．（本题8分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6．（1）求BC的长；（2）过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E，求BE的长．答案：（1）延长AD至点F，使DF＝AD，连CF，则四边形ABFC为平行四边形，∴AB＝CF＝5，△ACF中，AF2＋CF2＝AC2，∴△ACF为直角三角形，∠F＝90°，在Rt△CDF中，由勾股定理可得：CD＝，∴BC＝2CD＝2；（2）S△ABC＝S△ACF，∴ACBE＝AFCF，∴BE＝．     22．（本题10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移动，设运动的时间为t．（1）若△ABP为直角三角形，求t的值；（2）若△ABP为等腰三角形，求t的值．答案：（1）①当∠APB＝90°时，即点P与点C重合，此时t＝3；②当∠BAP＝90°时，在Rt△ACP中，AC2＋CP2＝AP2，∴42＋(t－3)2＝AP2，在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，∴52＋42＋(t－3)2＝t2，解得t＝；综上：若△ABP为直角三角形，求t的值为3或；（2）①若AB＝BP＝5，则t＝5；②若AB＝AP＝5，则BC＝PC＝3，∴BP＝6，则t＝6；③若AP＝BP，在Rt△ACP中，AC2＋CP2＝AP2，∴42＋(t－3)2＝t2，解得t＝．综上：若△ABP为等腰三角形，求t的值为5或6或． 23．（本题10分）已知： △ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以 PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°；（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC＝1＋，PA＝，则①线段PB＝       ；②猜想：PA2、PB2、PQ2三者之间的数量关系为             ；（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程； （3）若动点P满足＝，则＝       ．（提示：请利用备用图进行）答案：（1）①连BQ，证△CAP≌△CBQ，∴AP＝BQ＝，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝＋，∴PB＝；②PA2＋PB2＝PQ2；（2）连BQ，证△CAP≌△CBQ，∴AP＝BQ，∠CAP＝∠CBQ＝45°，∴∠PBQ＝90°，在Rt△BPQ中，由勾股定理可得：BQ2＋PB2＝PQ2，∴PA2＋PB2＝PQ2；（3）或解析：如图1，当点P在AB上，令PA＝1，则PB＝3，在Rt△PBQ中，由勾股定理可得：PQ＝，在Rt△PCQ中，可得PC＝，在Rt△ABC中，AC＝2，∴＝＝；如图2，当点P在BA的延长线上，令PA＝1，则PB＝3，在Rt△PBQ中，由勾股定理可得：PQ＝，在Rt△PCQ中，可得PC＝，在Rt△ABC中，AC＝，∴＝＝．  （本题12分）已知直线AB交两坐标轴于A（a，0），B（0，b）两点，且a，b满足＋(b－4)2＝0，点P为直线AB上第一象限内的一动点，过点P作 OP的垂线与过点B平行于x轴的直线相交于点Q．（1）求 A，B 两点的坐标；（2）如图1，当点P在直线 AB上的第一象限内运动时，求AP－BQ的值；（3）如图2，延长QO与直线AB交于点M，请写出线段AP，BM，PM三条线段之间的数量关系，并说明理由．答案：（1）由非负性可得：a＝－4，b＝4，∴A(－4，0)，B(0，4)；（2）过点P作PC⊥PB交BQ于点C，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠PBC＝45°，△BPC为等腰直角三角形，∴PB＝PC，证△PBO≌△PCQ，∴OB＝QC，∴AP－BQ＝(AB＋BP)－BQ＝2OB＋BC－(BC＋CQ)＝2OB－OB＝OB＝4；（3）过O作OE⊥OP，截OE＝OP，连BE、ME，证△OAP≌△OBE，∴AP＝BE，∠OAP＝∠OBE＝45°，∠MOP＝135°＝∠MOE，证△MOP≌△MOE，∴PM＝EM，在Rt△MBE中，BE2＋BM2＝EM2，∴AP2＋BM2＝PM2．