八年级下册第十六章 二次根式综合与测试学案及答案

16.1.1 二次根式(1)

一、学习目标

1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：和

学习重点、难点

重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．

难点：综合运用性质和。

三、学习过程

（一）复习引入：

（1）已知x2 = a，那么a是x的______;  x是a的________, 记为______,

   a一定是_______数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为    =__________；

正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；

式子的意义是                。

（二）自主学习

自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

，，，，，

2、计算 ：

(1)   　　　　　　　　　　 (2)      

 　（3）    　　　　　　　　　（4）

根据计算结果，你能得出结论：               ，其中,

的意义是                。

3、当a为正数时指a的               ，而0的算术平方根是    ，负数         ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a必须满足           , 才有意义。

（三）合作探究

1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ：

     x取何值时，下列各二次根式有意义？

①　　　　　②　　        ③　　　　　     

2、（1）若有意义，则a的值为___________．

（2）若  在实数范围内有意义，则x为（ ）。

A.正数     B.负数     C.非负数    D.非正数 

（四）当党训练

(一)填空题：

1、        =________;

2、 在实数范围内因式分解：

（1）x2-9=  x2 - （ ）2=  （x+ ____）(x-____)

（2） x2 - 3 =  x2 - (  ) 2 =  (x+ _____) (x- _____)      

3、下列各式中，正确的是（  ）。

A.     =              B                 

C                         D

5、 如果等式= x成立，那么x为（  ）。

A  x≤0;    B.x=0 ;      C.x<0;      D.x≥0

6、 若，则 =            。

7、分解因式：

X4 - 4X2 + 4= ________.

（五）小结

16.1.2二次根式(2)

一、学习目标

1、掌握二次根式的基本性质：

2、能利用上述性质对二次根式进行化简.

学习重点、难点

重点：二次根式的性质．

难点：综合运用性质进行化简和计算。

二、学习过程

（一）复习引入：

（1）什么是二次根式，它有哪些性质？

（2）二次根式有意义，则x           。

（3）在实数范围内因式分解：

x2-6=  x2 - （ ）2=  （x+ ____）(x-____)

（二）自主学习

自学课本第3页的内容，完成下面的题目：

1、计算：                        

观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：

当      

2、计算：                 

观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当      

3、计算：       当      

（三）合作交流

1、归纳总结

将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：

2、化简下列各式：

3、请大家思考、讨论二次根式的性质与有什么区别与联系。

（四）当堂训练：

1、填空：（1）、-=_________.

（2）、=          

2、已知2＜x＜3，化简：

3、 已知0 ＜x＜1，化简：－

4、 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．

（五）小结

16.2.1二次根式的乘法

一、学习目标

1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

学习重点、难点

重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

二、学习过程

（一）复习回顾

1、计算：

（1）×=______      =_______

（2） × =_______ =_______

2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：

（1）×_____

（2）×____

（二）自主学习

自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目：

1、用计算器填空：

（1）×____        （2）×____

（3）×____       （4）×____

2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？

能用数学表达式表示发现的规律吗？

3、二次根式的乘法法则是：                           

（三）合作交流

1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算：

（1）×　              （2）2×3           

（3）·　            （4）·· 

2、自学课本第6—7页内容，完成下列问题：

（1）用式子表示积的算术平方根的性质：

                                             。

（2）化简：

①　    ②     ③　   ④　　

（四）当堂训练

1、选择题

（1）等式成立的条件是（  ）

     A．x≥1     B．x≥-1    C．-1≤x≤1     D．x≥1或x≤-1

（2）下列各等式成立的是（  ）．

A．4×2=8     B．5×4=20

C．4×3=7     D．5×4=20

（3）二次根式的计算结果是（  ）

   A．2     B．-2      C．6     D．12

2、化简：

（1）；                （2）；

3、计算：

（1）；               （2）；

（五）小结

16.2.2二次根式的除法

一、学习目标

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

学习重点、难点

重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。

二、学习过程

（一）复习回顾

1、计算： （1）3×（-4）       （2）

（二）自主学习

自学课本第8页—第9页内容，完成下面的题目：

1、由“知识回顾4题”可得规律：

______     ______       _______        

2、利用计算器计算填空:

 （1）=_________（2）=_________（3）=______

规律：______   _______   _____

3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则：

                                            。

   把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质：

                                            。

（三）合作交流

 1、 自学课本例4，仿照例题完成下面的题目：

    计算：（1）                       （2）

     2、自学课本例4，仿照例题完成下面的题目：

化简：（1）                       （2）   

（四）当堂训练

1、选择题

 （1）计算的结果是（  ）．

 A．      B．       C．       D．

（2）化简的结果是（  ）

 A．-      B．-     C．-      D．-

2、计算：

（1）                   （2）

（3）                （4）  

（五）小结

16.2.3最简二次根式

一、学习目标

1、理解最简二次根式的概念。

2、把二次根式化成最简二次根式．

3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。

学习重点、难点

重点：最简二次根式的运用。

难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。

二、学习过程

（一）复习回顾

1、化简（1）                 （2）

2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？

（二）自主学习

自学课本第9页内容，完成下面的题目：

1、满足于                            ,                    

                               的二次根式称为最简二次根式.

2、化简:

(1)                   (2)

（三）合作交流

1、计算：      

2、比较下列数的大小

（1）与             （2）

3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，

AC=3cm，BC=6cm，求AB的长．

（四）当堂训练

1、选择题

（1）如果（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（  ）．

    A．（y>0）  B．（y>0） C．（y>0）  D．以上都不对

（2）化简二次根式的结果是

   A、      B、-     C、      D、-

 2、填空：

（1）化简=_________．（x≥0）

（2）已知，则的值等于__________.

 3、计算：

（1）     (2)

（五）小结

16.3.1二次根式的加减法

一、学习目标

1、了解同类二次根式的定义。

2、能熟练进行二次根式的加减运算。

学习重点、难点

重点：二次根式加减法的运算。

难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。

二、学习过程

（一）复习回顾

1、什么是同类项？

2、如何进行整式的加减运算？

3、计算：（1）2x-3x+5x       （2）

（二）自主学习

自学课本第10—11页内容，完成下面的题目：

1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：

（1）            （2）

（3）             （4）

从中你得到：                                               。

2、自学课本例1，例2后，仿例计算：

（1）+       （2）+2+3

（3）3-9+3   

通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应                 

                                                               。

（四）合作交流，展示反馈

小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6分钟

(1)           (2)

(3)       （4）

（四）当堂训练

1、选择题

（1）二次根式：①；②；③；④中，

与是同类二次根式的是（  ）．

            A．①和②           B．②和③   

 C．①和④           D．③和④

（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（  ）．

A．与        B．与

C．与         D．与

2、计算：

（1）　　（2）

（五）小结

16.3.2二次根式的混合运算

一、学习目标

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

学习重点、难点

重点：熟练进行二次根式的混合运算。

难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

二、学习过程

（一）复习回顾：

填空

（1）整式混合运算的顺序是：                               

                                                    　　 。

（2）二次根式的乘除法法则是：                               

                                                    　　 。

（3）二次根式的加减法法则是：                               

                                                    　　 。

（4）写出已经学过的乘法公式：

①                             ②                               

（二）自主学习

计算：

（1）··           （2）

（3）

（三）合作交流

1、探究计算：

（1）（）×       （2）

2、自学课本11页例4后，依照例题探究计算：

（1）            （2）

（四）当堂训练

1、计算：

（1）         （2）

（3）（a>0,b>0）（4）

2、已知，求的值。

（五）小结

16.4《二次根式》复习

一、学习目标

1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算。

3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。

4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。

学习重点、难点

重点：二次根式的计算和化简。

难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。

二、复习过程

（一）自主复习

自学课本第13页“小结”的内容，记住相关知识，完成练习：

1．若a＞0，a的平方根可表示为___________

a的算术平方根可表示________

2．当a______时，有意义，

当a______时，没有意义。

3．

4．

5．

（二）合作交流，展示反馈

1、式子成立的条件是什么?

2、计算： (1)    (2)

3．(1)       (2)

（三）当堂训练

1、选择题：

（1）化简的结果是（    ）

A   5    B  -5    C   士5    D    25

（2）代数式中，x的取值范围是（     ）

A                B    

C          D 

（3）下列各运算，正确的是（     ）

A           

 B    

C      

D    

（4）如果是二次根式，化为最简二次根式是（     ）    

 A         B

 C          D．以上都不对

2、计算．

(1)         (2)            

(3)        (4)

3、已知求的值

（四）小结