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2021-2022学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
2．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则AP的长约为（ ）
A．0.382 B．0.618 C．3.82 D．6.18
3．（2分）在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）2
5．（2分）如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
6．（2分）如图，高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（ ）
A．6m B．7m C．8m D．9m
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请把答案填写在答题卡相应位置）
7．（2分）若＝，则＝ ．
8．（2分）一组数据7，﹣2，﹣1，6的极差为 ．
9．（2分）若α、β是方程x2+2022x+2021＝0的两个实数根，则α+β的值为 ．
10．（2分）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °．
11．（2分）若方程x2﹣4084441＝0的两根为±2021，则方程x2﹣2x﹣4084440＝0的两根为 ．
12．（2分）如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 ．
13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若∠A＝25°，则∠B＝ °．
14．（2分）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 ．
15．（2分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MN∥CD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为 ．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）100（x﹣1）2＝121．
18．（7分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
0.4
乙
9
3.2
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
19．（8分）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．
20．（6分）如图，已知A是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
21．（9分）阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．
设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则＝＝（）2
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则＝＝（）3
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）
A．两个球体
B．两个锥体
C．两个圆柱体
D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ；
②相似体表面积的比等于 ；
③相似体体积比等于 ．
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）
22．（7分）如图，以AB为直径的⊙O经过点C，CP为⊙O的切线，E是AB上一点，以C为圆心，CE长为半径作圆交CP于点F，连接AF，且AF＝AE．
求证：AB是⊙C的切线．
23．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求AF长度的最小值．
24．（9分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（﹣2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（3）结合图象，直接写出当y＞3时，x的取值范围是 ．
25．（9分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+2（m是常数）的图象是抛物线．
（1）若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；
（2）求证：抛物线顶点在函数y＝﹣x2+x+2的图象上；
（3）若点B（2，a），C（5，b）在抛物线上，且a＞b，则m的取值范围是 ．
26．（9分）某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）该商品进价 （元/件），y关于x的函数表达式是 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，求m值．
27．（8分）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ，则DP的长为 ．
2021-2022学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．
【解答】解：2x2﹣1＝4x，
移项得：2x2﹣4x﹣1＝0，
即一次项系数是﹣4，
故选：D．
2．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则AP的长约为（ ）
A．0.382 B．0.618 C．3.82 D．6.18
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴≈0.618，
∵AB＝10，
∴AP＝0.618AB＝6.18，
故选：D．
3．（2分）在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵不透明袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个白球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是，
故选：C．
4．（2分）将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）2
【分析】直接利用二次函数平移的性质，上加下减进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，
则平移后的二次函数的解析式为：y＝x2﹣1．
故选：A．
5．（2分）如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
【分析】直接根据直线与圆的位置关系可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3，
∴直线l与⊙O相交．
故选：B．
6．（2分）如图，高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（ ）
A．6m B．7m C．8m D．9m
【分析】设DE＝xm，DH＝ym，则FN＝（10﹣x﹣8）m，HN＝（8﹣y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，
∴CD∥AH∥MN，
∴△CDE∽△AHE，△MNF∽△AHF，
∴＝，＝，
设DE＝xm，DH＝ym，则FN＝（10﹣x﹣8）m，HN＝（8﹣y）m，
∴＝，＝，
∴y＝4x，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝6，
故路灯AH的高度为6m，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请把答案填写在答题卡相应位置）
7．（2分）若＝，则＝ ．
【分析】由＝，可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）代入计算即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）
∴＝＝＝．
故答案为．
8．（2分）一组数据7，﹣2，﹣1，6的极差为 9 ．
【分析】用最大值减去最小值即可．
【解答】解：数据7，﹣2，﹣1，6的极差为7﹣（﹣2）＝9，
故答案为：9．
9．（2分）若α、β是方程x2+2022x+2021＝0的两个实数根，则α+β的值为 ﹣2022 ．
【分析】根据根与系数的关系可得出α+β＝，此题得解．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2022x+2021＝0的两个实数根，
∴α+β＝，
故答案为：﹣2022．
10．（2分）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 120 °．
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），
设圆心角的度数是n度．则＝4π，
解得：n＝120．
故答案为120．
11．（2分）若方程x2﹣4084441＝0的两根为±2021，则方程x2﹣2x﹣4084440＝0的两根为 x1＝2022，x2＝﹣2020 ．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣4084440＝0，
x2﹣2x＝4084440，
x2﹣2x+1＝4084441，即（x﹣1）2＝3084441，
∵方程x2﹣4084441＝0的两根为±2021，
∴x﹣1＝±2021，
∴x1＝2022，x2＝﹣2020．
故答案为：x1＝2022，x2＝﹣2020．
12．（2分）如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 ．
【分析】用小正方形的面积除以大正方形的面积得到这只青蛙跳入阴影部分的概率．
【解答】解：这只青蛙跳入阴影部分的概率＝＝．
故答案为：．
13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若∠A＝25°，则∠B＝ 65 °．
【分析】由AB是⊙O的直径，可得：∠C＝90°，然后由∠A＝25°，根据三角形内角和定理即可求∠B的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝25°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65．
14．（2分）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 ．
【分析】根据题意可得AB＝3，AC∥BD，所以△AEC∽△BED，进而可以解决问题．
【解答】解：根据题意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，
∴△AEC∽△BED，
∴＝，
∴＝，
解得AE＝．
故答案为：．
15．（2分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MN∥CD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为 ．
【分析】连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD＝t，先证明四边形MEOD是矩形得到OE＝DM＝t，OD＝ME＝r﹣5，再利用勾股定理得（r﹣5）2+t2＝r2①，（r﹣5+4）2+（t）2＝r2②，然后解方程组即可．
【解答】解：连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD＝t，
∵CD⊥AB，MN∥CD，
∴∠ODM＝∠DME＝∠MEO＝90°，
∴四边形MEOD是矩形，
∴OE＝DM＝t，OD＝ME＝r﹣5，
在Rt△AOD中，（r﹣5）2+t2＝r2，①
在Rt△NOE中，（r﹣5+4）2+（t）2＝r2，②
②×4﹣①得2r﹣21＝0，
解得r＝，
即⊙O的半径为．
故答案为：．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 6 ．
【分析】过点A作AG⊥l2于点G，延长CP交AG于点F，证明△APF∽△ABG，可得＝＝，由BP＝2AP，设BP＝2x，AP＝x，PF＝a，（a≥0），可得BG＝3a，AG＝3AF，过点C作CD⊥l1于点D，证明△CAD∽△ECB，可得＝，由AD＝EG＝4+a，CE＝2，BE＝4﹣2a，CD＝AF＝，整理得AF2＝﹣a2﹣2a+8，因为二次函数开口向下，当对称轴a＝﹣1时，AF取最大值，因为a≥0，所以a＝﹣1时不符合题意舍去，所以a＝0时，AF2取得最大值为8，所以AF＝2，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AG⊥l2于点G，延长CP交AG于点F，
∴PF∥BG，
∴△APF∽△ABG，
∴＝＝，
∵BP＝2AP，
设BP＝2x，AP＝x，PF＝a，（a≥0），
∴BG＝3a，AG＝3AF，
过点C作CD⊥l1于点D，
∵l1∥l2，
∴CE⊥l2，
得矩形CEGF，
∴EG＝CF＝CP+PF＝4+a，
∴BE＝EG﹣BG＝4+a﹣3a＝4﹣2a，
在Rt△APF中，根据勾股定理，得
AF＝＝，
∴FG＝2AF＝2，
∴CE＝FG＝2，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CCB＝90°，
∴∠CAD＝∠ECB，
∴△CAD∽△ECB，
∴＝，
∵AD＝EG＝4+a，CE＝2，BE＝4﹣2a，CD＝AF＝，
∴＝，
∴（）2＝（2﹣a）（4+a）＝﹣a2﹣2a+8，
∴AF2＝﹣a2﹣2a+8，
因为二次函数开口向下，当对称轴a＝﹣1时，AF取最大值，
∵a≥0，
∴a＝﹣1时不符合题意舍去，
∴a＝0时，AF2取得最大值为8，
∴AF＝2，
∴AG＝3AF＝6，
∴l1与l2之间的最大距离为6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）100（x﹣1）2＝121．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）先求出（x﹣1）2的值，然后利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x﹣+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）（x﹣1）2＝1.21，
开平方得，x﹣1＝±1.1，
∴x﹣1＝1.1或x﹣1＝﹣1.1，
∴x1＝2.1，x2＝﹣0.1．
18．（7分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
8
0.4
乙
8
9
9
3.2
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 变小 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
【分析】（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解：
（2）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
（3）根据方差公式求解：如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．
【解答】解：（1）∵8出现了3次，出现的次数最多，
∴甲的众数为8，
乙的平均数＝（5+9+7+10+9）＝8，
把这些数从小到大排列，则乙的中位数为9．
故填表如下：
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
8
0.4
乙
8
9
9
3.2
故答案为：8，8，9；
（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，平均数不变，根据方差公式可得乙的射击成绩的方差变小；
故答案为：变小．
19．（8分）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是A类的概率为：；
（2）如图所示：
由图可知，共有16种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，
所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为＝．
20．（6分）如图，已知A是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
【分析】利用两种方法作图即可．
【解答】解：方法一：过点A作l的垂线，垂足为P，
作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O，
以O为圆心，OA（或OP）为半径，作⊙O；
方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线，
过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O，
以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作⊙O．
21．（9分）阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．
设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则＝＝（）2
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则＝＝（）3
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）
A．两个球体
B．两个锥体
C．两个圆柱体
D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 相似比 ；
②相似体表面积的比等于 相似比的平方 ；
③相似体体积比等于 相似比的立方 ．
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）
【分析】根据阅读材料可以知道相似体就是形状完全相同的物体，根据体积的计算方法就可以求出所要求的结论．
【解答】解：（1）A；（2分）
（2）①相似比②相似比的平方③相似比的立方；（每空（2分），共6分）
（3）由题意知他的体积比为；
又因为体重之比等于体积比，
若设初三时的体重为xkg，
则有＝
解得x＝＝60.75．
答：初三时的体重为60.75kg．（2分）
22．（7分）如图，以AB为直径的⊙O经过点C，CP为⊙O的切线，E是AB上一点，以C为圆心，CE长为半径作圆交CP于点F，连接AF，且AF＝AE．
求证：AB是⊙C的切线．
【分析】连结AC、OC．根据全等三角形的性质得到∠CAF＝∠CAE，∠AFC＝∠AEC，求得OC∥AF，根据平行线的性质得到∠AFC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连结AC、OC．
∵AE＝AF，CE＝CF，AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS）．
∴∠CAF＝∠CAE，∠AFC＝∠AEC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
又∵∠CAF＝∠CAE，
∴∠CAF＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CP为⊙O的切线，
∴OC⊥BF，即∠OCF＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
即CE⊥AB，
∵点E在⊙C上，
∴AB是⊙C的切线．
23．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求AF长度的最小值．
【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠BAE＝∠CEF，加上∠B＝∠C＝90°，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
（2）设BE＝x，则CE＝4﹣x，由于△ABE∽△ECF，则利用相似比可表示出CF＝，根据二次函数的性质可判断当x＝2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3，接着利用勾股定理得到AF＝，从而可确定AF长度的最小值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：设BE＝x，则CE＝4﹣x，
∵△ABE∽△ECF，
∴＝，即＝，
∴CF＝＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3，
∵在Rt△ADF中，AF＝＝，
∴当DF＝3时，AF取最小值，AF的最小值为＝5，
∴AF长度的最小值为5．
24．（9分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（﹣2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（3）结合图象，直接写出当y＞3时，x的取值范围是 ﹣2＜x＜0 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据二次函数图象的对称性即可画出抛物线的对称轴l；
（3）观察函数图象，结合方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣2，3）代入二次函数y＝ax2+bx+3，
得
解得
该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，直线l为所求对称轴；
由（1）得二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
变换形式得y＝﹣（x+1）2+4，
所以可以得出顶点D的坐标为（﹣1，4），对称轴为x＝﹣1．
（3）令y＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x＝0或﹣2，
结合图形得﹣2＜x＜0时，y＞3．
故答案为：﹣2＜x＜0．
25．（9分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+2（m是常数）的图象是抛物线．
（1）若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；
（2）求证：抛物线顶点在函数y＝﹣x2+x+2的图象上；
（3）若点B（2，a），C（5，b）在抛物线上，且a＞b，则m的取值范围是 m＞ ．
【分析】（1）由抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系求解．
（2）将二次函数解析式化为顶点式求出顶点坐标，进而求解．
（3）由抛物线开口方向向上可得点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，进而求解．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2m，c＝m+2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×（m+2）＝4（m2﹣m﹣2）．
∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴b2﹣4ac＝4（m2﹣m﹣2）＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣1．
（2）∵y＝x2﹣2mx+m+2＝（x﹣m）2﹣m2+m+2，
∴顶点坐标为（m，﹣m2+m+2），
∵令x＝m时，函数y＝﹣x2+x+2＝﹣m2+m+2，
∴抛物线顶点在函数y＝﹣x2+x+2的图象上．
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，
∴当a＞b时，|2﹣m|＞|5﹣m|，
当2﹣m＞0时，2﹣m＞5﹣m，不符合题意，
当2﹣m＜0，5﹣m＞0时可得m﹣2＞5﹣m，
解得m＞．
故答案为：m＞．
26．（9分）某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）该商品进价 20 （元/件），y关于x的函数表达式是 y＝﹣3x+300 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，求m值．
【分析】（1）由x＝40，y＝180，w＝3600可得商品进价为20元，设y＝kx+b，用待定系数法即得解析式；
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W′＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m），根据对称轴为直线x＝60+以及当售价为63元/件时，周销售利润最大，得出60+＝63，即可求得m的值．
【解答】解：（1）由x＝40，y＝180，w＝3600可得商品进价为40﹣3600÷180＝20（元），
设y＝kx+b，由题意有：
，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
故答案为：20，y＝﹣3x+300；
（2）由题意W＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m）
＝﹣3x2+（360+3m）x﹣6000﹣300m，
对称轴x＝60+，
∵当售价为63元/件时，周销售利润最大，
∴60+＝63，
解得：m＝6．
∴m的值为6．
27．（8分）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP ＝ DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ，则DP的长为 ．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形知DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝∠ADC＝90°，结合∠PDQ＝90°得∠ADP＝∠CDQ，证△ADP≌△CDQ可得答案；
（2）①证△ADP∽△CDQ得＝＝，设AP＝x，则CQ＝2x，PB＝4﹣x，BQ＝2+2x，在Rt△PBQ中，由勾股定理得到关于x的方程，解之即可；
②延长DP到M，使DM＝DQ，连接BM，设AP＝a，则BP＝4﹣a，由△ADP∽△CDQ得＝＝，∠APD＝∠CQD，CQ＝2a，BQ＝2+2a，再证△BDM≌△BDQ得∠BQD＝∠BMD，BM＝BQ＝2+2a，结合∠BQD＝∠APD＝∠BPM知∠BMD＝∠BPM，从而得BM＝BP，据此求出a的值，最后利用勾股定理求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝90°，
∵∠PDQ＝90°，
∴∠PDC+∠CDQ＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP＝DQ，
故答案为：＝；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．
∵∠ADP+∠PDC＝∠CDQ+∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ．
又∵∠A＝∠DCQ＝90°．
∴△ADP∽△CDQ，
∴＝＝＝，
设AP＝x，则CQ＝2x，
∴PB＝4﹣x，BQ＝2+2x．
由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2+BQ2＝PQ2，
代入得（4﹣x）2+（2+2x）2＝52，
解得x＝1，即AP＝1．
∴AP的长为1；
②如图所示，延长DP到M，使DM＝DQ，连接BM，
设AP＝a，则BP＝4﹣a，
∵△ADP∽△CDQ，
∴＝＝，∠APD＝∠CQD，
∴CQ＝2a，
则BQ＝BC+CQ＝2+2a，
∵BD平分∠PDQ，
∴∠BDM＝∠BDQ，
在△BDM和△BDQ中，
，
∴△BDM≌△BDQ（SAS），
∴∠BQD＝∠BMD，BM＝BQ＝2+2a，
又∵∠BQD＝∠APD＝∠BPM，
∴∠BMD＝∠BPM，
∴BM＝BP，即2+2a＝4﹣a，
解得a＝，即AP＝，
∴PD＝＝＝，
故答案为：．
2021-2022学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
2．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则AP的长约为（ ）
A．0.382 B．0.618 C．3.82 D．6.18
3．（2分）在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）2
5．（2分）如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
6．（2分）如图，高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（ ）
A．6m B．7m C．8m D．9m
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请把答案填写在答题卡相应位置）
7．（2分）若＝，则＝ ．
8．（2分）一组数据7，﹣2，﹣1，6的极差为 ．
9．（2分）若α、β是方程x2+2022x+2021＝0的两个实数根，则α+β的值为 ．
10．（2分）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °．
11．（2分）若方程x2﹣4084441＝0的两根为±2021，则方程x2﹣2x﹣4084440＝0的两根为 ．
12．（2分）如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 ．
13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若∠A＝25°，则∠B＝ °．
14．（2分）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 ．
15．（2分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MN∥CD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为 ．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）100（x﹣1）2＝121．
18．（7分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
0.4
乙
9
3.2
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
19．（8分）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．
20．（6分）如图，已知A是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
21．（9分）阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．
设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则＝＝（）2
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则＝＝（）3
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）
A．两个球体
B．两个锥体
C．两个圆柱体
D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ；
②相似体表面积的比等于 ；
③相似体体积比等于 ．
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）
22．（7分）如图，以AB为直径的⊙O经过点C，CP为⊙O的切线，E是AB上一点，以C为圆心，CE长为半径作圆交CP于点F，连接AF，且AF＝AE．
求证：AB是⊙C的切线．
23．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求AF长度的最小值．
24．（9分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（﹣2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（3）结合图象，直接写出当y＞3时，x的取值范围是 ．
25．（9分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+2（m是常数）的图象是抛物线．
（1）若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；
（2）求证：抛物线顶点在函数y＝﹣x2+x+2的图象上；
（3）若点B（2，a），C（5，b）在抛物线上，且a＞b，则m的取值范围是 ．
26．（9分）某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）该商品进价 （元/件），y关于x的函数表达式是 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，求m值．
27．（8分）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ，则DP的长为 ．
2021-2022学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．
【解答】解：2x2﹣1＝4x，
移项得：2x2﹣4x﹣1＝0，
即一次项系数是﹣4，
故选：D．
2．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），若AB＝10，则AP的长约为（ ）
A．0.382 B．0.618 C．3.82 D．6.18
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴≈0.618，
∵AB＝10，
∴AP＝0.618AB＝6.18，
故选：D．
3．（2分）在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵不透明袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个白球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是，
故选：C．
4．（2分）将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）2
【分析】直接利用二次函数平移的性质，上加下减进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，
则平移后的二次函数的解析式为：y＝x2﹣1．
故选：A．
5．（2分）如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
【分析】直接根据直线与圆的位置关系可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3，
∴直线l与⊙O相交．
故选：B．
6．（2分）如图，高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（ ）
A．6m B．7m C．8m D．9m
【分析】设DE＝xm，DH＝ym，则FN＝（10﹣x﹣8）m，HN＝（8﹣y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，
∴CD∥AH∥MN，
∴△CDE∽△AHE，△MNF∽△AHF，
∴＝，＝，
设DE＝xm，DH＝ym，则FN＝（10﹣x﹣8）m，HN＝（8﹣y）m，
∴＝，＝，
∴y＝4x，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝6，
故路灯AH的高度为6m，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请把答案填写在答题卡相应位置）
7．（2分）若＝，则＝ ．
【分析】由＝，可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）代入计算即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴可以假设x＝2k，y＝3k，（k≠0）
∴＝＝＝．
故答案为．
8．（2分）一组数据7，﹣2，﹣1，6的极差为 9 ．
【分析】用最大值减去最小值即可．
【解答】解：数据7，﹣2，﹣1，6的极差为7﹣（﹣2）＝9，
故答案为：9．
9．（2分）若α、β是方程x2+2022x+2021＝0的两个实数根，则α+β的值为 ﹣2022 ．
【分析】根据根与系数的关系可得出α+β＝，此题得解．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2022x+2021＝0的两个实数根，
∴α+β＝，
故答案为：﹣2022．
10．（2分）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 120 °．
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），
设圆心角的度数是n度．则＝4π，
解得：n＝120．
故答案为120．
11．（2分）若方程x2﹣4084441＝0的两根为±2021，则方程x2﹣2x﹣4084440＝0的两根为 x1＝2022，x2＝﹣2020 ．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣4084440＝0，
x2﹣2x＝4084440，
x2﹣2x+1＝4084441，即（x﹣1）2＝3084441，
∵方程x2﹣4084441＝0的两根为±2021，
∴x﹣1＝±2021，
∴x1＝2022，x2＝﹣2020．
故答案为：x1＝2022，x2＝﹣2020．
12．（2分）如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 ．
【分析】用小正方形的面积除以大正方形的面积得到这只青蛙跳入阴影部分的概率．
【解答】解：这只青蛙跳入阴影部分的概率＝＝．
故答案为：．
13．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若∠A＝25°，则∠B＝ 65 °．
【分析】由AB是⊙O的直径，可得：∠C＝90°，然后由∠A＝25°，根据三角形内角和定理即可求∠B的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝25°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65．
14．（2分）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 ．
【分析】根据题意可得AB＝3，AC∥BD，所以△AEC∽△BED，进而可以解决问题．
【解答】解：根据题意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，
∴△AEC∽△BED，
∴＝，
∴＝，
解得AE＝．
故答案为：．
15．（2分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MN∥CD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为 ．
【分析】连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD＝t，先证明四边形MEOD是矩形得到OE＝DM＝t，OD＝ME＝r﹣5，再利用勾股定理得（r﹣5）2+t2＝r2①，（r﹣5+4）2+（t）2＝r2②，然后解方程组即可．
【解答】解：连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD＝t，
∵CD⊥AB，MN∥CD，
∴∠ODM＝∠DME＝∠MEO＝90°，
∴四边形MEOD是矩形，
∴OE＝DM＝t，OD＝ME＝r﹣5，
在Rt△AOD中，（r﹣5）2+t2＝r2，①
在Rt△NOE中，（r﹣5+4）2+（t）2＝r2，②
②×4﹣①得2r﹣21＝0，
解得r＝，
即⊙O的半径为．
故答案为：．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 6 ．
【分析】过点A作AG⊥l2于点G，延长CP交AG于点F，证明△APF∽△ABG，可得＝＝，由BP＝2AP，设BP＝2x，AP＝x，PF＝a，（a≥0），可得BG＝3a，AG＝3AF，过点C作CD⊥l1于点D，证明△CAD∽△ECB，可得＝，由AD＝EG＝4+a，CE＝2，BE＝4﹣2a，CD＝AF＝，整理得AF2＝﹣a2﹣2a+8，因为二次函数开口向下，当对称轴a＝﹣1时，AF取最大值，因为a≥0，所以a＝﹣1时不符合题意舍去，所以a＝0时，AF2取得最大值为8，所以AF＝2，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AG⊥l2于点G，延长CP交AG于点F，
∴PF∥BG，
∴△APF∽△ABG，
∴＝＝，
∵BP＝2AP，
设BP＝2x，AP＝x，PF＝a，（a≥0），
∴BG＝3a，AG＝3AF，
过点C作CD⊥l1于点D，
∵l1∥l2，
∴CE⊥l2，
得矩形CEGF，
∴EG＝CF＝CP+PF＝4+a，
∴BE＝EG﹣BG＝4+a﹣3a＝4﹣2a，
在Rt△APF中，根据勾股定理，得
AF＝＝，
∴FG＝2AF＝2，
∴CE＝FG＝2，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CCB＝90°，
∴∠CAD＝∠ECB，
∴△CAD∽△ECB，
∴＝，
∵AD＝EG＝4+a，CE＝2，BE＝4﹣2a，CD＝AF＝，
∴＝，
∴（）2＝（2﹣a）（4+a）＝﹣a2﹣2a+8，
∴AF2＝﹣a2﹣2a+8，
因为二次函数开口向下，当对称轴a＝﹣1时，AF取最大值，
∵a≥0，
∴a＝﹣1时不符合题意舍去，
∴a＝0时，AF2取得最大值为8，
∴AF＝2，
∴AG＝3AF＝6，
∴l1与l2之间的最大距离为6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）100（x﹣1）2＝121．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）先求出（x﹣1）2的值，然后利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x﹣+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）（x﹣1）2＝1.21，
开平方得，x﹣1＝±1.1，
∴x﹣1＝1.1或x﹣1＝﹣1.1，
∴x1＝2.1，x2＝﹣0.1．
18．（7分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9
乙：5，9，7，10，9
（1）填写下表：
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
8
0.4
乙
8
9
9
3.2
（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 变小 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）．
【分析】（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解：
（2）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
（3）根据方差公式求解：如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小．
【解答】解：（1）∵8出现了3次，出现的次数最多，
∴甲的众数为8，
乙的平均数＝（5+9+7+10+9）＝8，
把这些数从小到大排列，则乙的中位数为9．
故填表如下：
平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
8
0.4
乙
8
9
9
3.2
故答案为：8，8，9；
（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛；
（3）如果乙再射击1次，命中8环，平均数不变，根据方差公式可得乙的射击成绩的方差变小；
故答案为：变小．
19．（8分）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是A类的概率为：；
（2）如图所示：
由图可知，共有16种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，
所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为＝．
20．（6分）如图，已知A是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
【分析】利用两种方法作图即可．
【解答】解：方法一：过点A作l的垂线，垂足为P，
作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O，
以O为圆心，OA（或OP）为半径，作⊙O；
方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线，
过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O，
以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作⊙O．
21．（9分）阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．
设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则＝＝（）2
又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则＝＝（）3
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）
A．两个球体
B．两个锥体
C．两个圆柱体
D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 相似比 ；
②相似体表面积的比等于 相似比的平方 ；
③相似体体积比等于 相似比的立方 ．
（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）
【分析】根据阅读材料可以知道相似体就是形状完全相同的物体，根据体积的计算方法就可以求出所要求的结论．
【解答】解：（1）A；（2分）
（2）①相似比②相似比的平方③相似比的立方；（每空（2分），共6分）
（3）由题意知他的体积比为；
又因为体重之比等于体积比，
若设初三时的体重为xkg，
则有＝
解得x＝＝60.75．
答：初三时的体重为60.75kg．（2分）
22．（7分）如图，以AB为直径的⊙O经过点C，CP为⊙O的切线，E是AB上一点，以C为圆心，CE长为半径作圆交CP于点F，连接AF，且AF＝AE．
求证：AB是⊙C的切线．
【分析】连结AC、OC．根据全等三角形的性质得到∠CAF＝∠CAE，∠AFC＝∠AEC，求得OC∥AF，根据平行线的性质得到∠AFC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：连结AC、OC．
∵AE＝AF，CE＝CF，AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS）．
∴∠CAF＝∠CAE，∠AFC＝∠AEC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
又∵∠CAF＝∠CAE，
∴∠CAF＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CP为⊙O的切线，
∴OC⊥BF，即∠OCF＝90°，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
即CE⊥AB，
∵点E在⊙C上，
∴AB是⊙C的切线．
23．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求AF长度的最小值．
【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠BAE＝∠CEF，加上∠B＝∠C＝90°，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
（2）设BE＝x，则CE＝4﹣x，由于△ABE∽△ECF，则利用相似比可表示出CF＝，根据二次函数的性质可判断当x＝2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3，接着利用勾股定理得到AF＝，从而可确定AF长度的最小值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：设BE＝x，则CE＝4﹣x，
∵△ABE∽△ECF，
∴＝，即＝，
∴CF＝＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝2时，CF取最大值1，此时DF有最小值3，
∵在Rt△ADF中，AF＝＝，
∴当DF＝3时，AF取最小值，AF的最小值为＝5，
∴AF长度的最小值为5．
24．（9分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（﹣2，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
（3）结合图象，直接写出当y＞3时，x的取值范围是 ﹣2＜x＜0 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据二次函数图象的对称性即可画出抛物线的对称轴l；
（3）观察函数图象，结合方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（﹣2，3）代入二次函数y＝ax2+bx+3，
得
解得
该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，直线l为所求对称轴；
由（1）得二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
变换形式得y＝﹣（x+1）2+4，
所以可以得出顶点D的坐标为（﹣1，4），对称轴为x＝﹣1．
（3）令y＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x＝0或﹣2，
结合图形得﹣2＜x＜0时，y＞3．
故答案为：﹣2＜x＜0．
25．（9分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+2（m是常数）的图象是抛物线．
（1）若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；
（2）求证：抛物线顶点在函数y＝﹣x2+x+2的图象上；
（3）若点B（2，a），C（5，b）在抛物线上，且a＞b，则m的取值范围是 m＞ ．
【分析】（1）由抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系求解．
（2）将二次函数解析式化为顶点式求出顶点坐标，进而求解．
（3）由抛物线开口方向向上可得点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，进而求解．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2m，c＝m+2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×（m+2）＝4（m2﹣m﹣2）．
∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴b2﹣4ac＝4（m2﹣m﹣2）＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣1．
（2）∵y＝x2﹣2mx+m+2＝（x﹣m）2﹣m2+m+2，
∴顶点坐标为（m，﹣m2+m+2），
∵令x＝m时，函数y＝﹣x2+x+2＝﹣m2+m+2，
∴抛物线顶点在函数y＝﹣x2+x+2的图象上．
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，
∴当a＞b时，|2﹣m|＞|5﹣m|，
当2﹣m＞0时，2﹣m＞5﹣m，不符合题意，
当2﹣m＜0，5﹣m＞0时可得m﹣2＞5﹣m，
解得m＞．
故答案为：m＞．
26．（9分）某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）该商品进价 20 （元/件），y关于x的函数表达式是 y＝﹣3x+300 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，求m值．
【分析】（1）由x＝40，y＝180，w＝3600可得商品进价为20元，设y＝kx+b，用待定系数法即得解析式；
（2）根据利润＝（售价﹣进价）×数量，得W′＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m），根据对称轴为直线x＝60+以及当售价为63元/件时，周销售利润最大，得出60+＝63，即可求得m的值．
【解答】解：（1）由x＝40，y＝180，w＝3600可得商品进价为40﹣3600÷180＝20（元），
设y＝kx+b，由题意有：
，
解得，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+300；
故答案为：20，y＝﹣3x+300；
（2）由题意W＝（﹣3x+300）（x﹣20﹣m）
＝﹣3x2+（360+3m）x﹣6000﹣300m，
对称轴x＝60+，
∵当售价为63元/件时，周销售利润最大，
∴60+＝63，
解得：m＝6．
∴m的值为6．
27．（8分）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP ＝ DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ，则DP的长为 ．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形知DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝∠ADC＝90°，结合∠PDQ＝90°得∠ADP＝∠CDQ，证△ADP≌△CDQ可得答案；
（2）①证△ADP∽△CDQ得＝＝，设AP＝x，则CQ＝2x，PB＝4﹣x，BQ＝2+2x，在Rt△PBQ中，由勾股定理得到关于x的方程，解之即可；
②延长DP到M，使DM＝DQ，连接BM，设AP＝a，则BP＝4﹣a，由△ADP∽△CDQ得＝＝，∠APD＝∠CQD，CQ＝2a，BQ＝2+2a，再证△BDM≌△BDQ得∠BQD＝∠BMD，BM＝BQ＝2+2a，结合∠BQD＝∠APD＝∠BPM知∠BMD＝∠BPM，从而得BM＝BP，据此求出a的值，最后利用勾股定理求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝90°，
∵∠PDQ＝90°，
∴∠PDC+∠CDQ＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴DP＝DQ，
故答案为：＝；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．
∵∠ADP+∠PDC＝∠CDQ+∠PDC＝90°，
∴∠ADP＝∠CDQ．
又∵∠A＝∠DCQ＝90°．
∴△ADP∽△CDQ，
∴＝＝＝，
设AP＝x，则CQ＝2x，
∴PB＝4﹣x，BQ＝2+2x．
由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2+BQ2＝PQ2，
代入得（4﹣x）2+（2+2x）2＝52，
解得x＝1，即AP＝1．
∴AP的长为1；
②如图所示，延长DP到M，使DM＝DQ，连接BM，
设AP＝a，则BP＝4﹣a，
∵△ADP∽△CDQ，
∴＝＝，∠APD＝∠CQD，
∴CQ＝2a，
则BQ＝BC+CQ＝2+2a，
∵BD平分∠PDQ，
∴∠BDM＝∠BDQ，
在△BDM和△BDQ中，
，
∴△BDM≌△BDQ（SAS），
∴∠BQD＝∠BMD，BM＝BQ＝2+2a，
又∵∠BQD＝∠APD＝∠BPM，
∴∠BMD＝∠BPM，
∴BM＝BP，即2+2a＝4﹣a，
解得a＝，即AP＝，
∴PD＝＝＝，
故答案为：．
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