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2021-2022学年黑龙江省大庆市林甸县五校联考九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年黑龙江省大庆市林甸县五校联考九年级（上）期末数学试卷 解析版，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年黑龙江省大庆市林甸县五校联考九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a2）3＝a6
C．（ab）2＝a2b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
2．（3分）在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（ ）
A．已知BC＝6，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5
C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B
D．已知∠C＝∠B＝45°
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
4．（3分）下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为（ ）
A． B． C．30° D．60°
6．（3分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝2，c＝1，解出其中一个根是x＝1．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
7．（3分）如图，若双曲线y＝与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
8．（3分）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（ ）
A．﹣4或 B．﹣2或 C．﹣4 或2 D．﹣2或2
9．（3分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
10．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
①2a+b＝0；
②2c＜3b；
③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．（3分）0.002021用科学记数法表示为2.021×10m，则m的值为 ．
12．（3分）若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围为 ．
13．（3分）将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于 ．
14．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝3，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B，点M运动的路径长是 ．
15．（3分）如果数m使关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的弧EF上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
17．（3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为 ．
三、解答题：（共66分）
19．（4分）计算：（π﹣3.14）0++2tan60°﹣（﹣2）2021•（）2020．
20．（4分）解方程：．
21．（5分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
22．（5分）新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm，高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE＝250cm，下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与E夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
23．（6分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）已知70≤x＜80这组的数据为：72，73，75，74，79，76，76，则这组数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张同时选择课程A和课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
24．（8分）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
25．（7分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，则BN＝ ．
（1）如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．
（2）如图3，C，D是线段AB的勾股点（AC＜BD＜CD），以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．
26．（9分）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）△AOB的面积为 ；
（3）直接写出不等式kx+b＞的解集 ；
（4）点P在x的负半轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
27．（9分）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：△BDE∽△ADB；
（2）试判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，条件不变，若BC恰好是⊙O的直径，且AB＝6，AC＝8，求DF的长．
28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．
2021-2022学年黑龙江省大庆市林甸县五校联考九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a2）3＝a6
C．（ab）2＝a2b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项错误；
C、（ab）2＝a2b2，正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
故选：C．
2．（3分）在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（ ）
A．已知BC＝6，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5
C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B
D．已知∠C＝∠B＝45°
【分析】根据解直角三角形需要满足的条件，逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵选项C、D缺少边的条件，A缺少锐角的条件，
∴不能解直角三角形，
选项B中，由∠A的正弦可求出AB，再根据直角三角形的性质可求出∠B，然后由勾股定理或∠A的正切函数可求出AC．
故选：B．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可判断选项A和选项C，根据圆的性质即可判断选项D，根据垂径定理即可判断选项B．
【解答】解：A．
如图1，圆心角∠AOB＝圆心角∠COD，但是，弦AB≠弦CD，故本选项不符合题意；
B．
如图2，直径AB和弦CD，AB平分CD，但是AB和CD不垂直，故本选项不符合题意；
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等，故本选项符合题意；
D．圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线（对称轴是直线，不是线段），故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答．
【解答】解：A、当EF与BC不平行时，△ABC与△DEF不一定相似，故本选项正确；
B、由∠ABC＝∠EFC，∠ACB＝∠ECF可以判定△ABC∽△DEF，故本选项错误；
C、由圆周角定理推知∠B＝∠F，又由对顶角相等得到∠ACB＝∠EFD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项错误；
D、由圆周角定理得到：∠ACB＝90°，所以根据∠ACB＝∠CDB，∠ABC＝∠CBD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项错误；
故选：A．
5．（3分）如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为（ ）
A． B． C．30° D．60°
【分析】直接利用坡度的定义得出，斜坡AB的坡度为：，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠ACB＝90°，则斜坡AB的坡度为：＝＝．
故选：A．
6．（3分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝2，c＝1，解出其中一个根是x＝1．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
【分析】利用根与系数的关系求出所抄方程的b的值为﹣3，则原方程的b的值为﹣2，所以原方程为2x2﹣2x+1＝0，然后计算判别式的值，从而得到方程根的情况．
【解答】解：根据题意得x＝1为方程2x2+bx+1＝0的一个根，
设此方程的另一根为t，则1+t＝﹣，1×t＝，
解得t＝，b＝﹣3，
即所抄的b的值为﹣3，
所以原方程的b的值为﹣2，
则原方程为2x2﹣2x+1＝0，
因为Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0，
所以原方程没有实数解．
故选：A．
7．（3分）如图，若双曲线y＝与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【分析】过点C作CE⊥OB于点E，过点D作DF⊥OB于点F，则△OEC∽△BFD，由OC＝3BD，得到OE＝3BF，设BF＝x，得到点C和点D的坐标，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，求得x的值，然后得到实数k的值．
【解答】解：（方法一）过点C作CE⊥OB于点E，过点D作DF⊥OB于点F，则
∠OEC＝∠BFD＝90°，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠COE＝∠DBF＝60°，
∴△OEC∽△BFD，
∴OE：BF＝OC：BD，
∵OC＝3BD，
∴OE＝3BF，
设BF＝x，则OE＝3x，
∴CE＝OE＝3x，DF＝BF＝x，
∴C（3x，3x），OF＝OB﹣BF＝5﹣x，
∴D（5﹣x，x），
∵点C和点D在反比例函数图象上，
∴k＝3x×3x＝（5﹣x）×x，
解得：x＝0（舍）或x＝，
∴k＝，
（方法二）过点C作CE⊥OB于点E，过点D作DF⊥OB于点F，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠COE＝∠B＝60°，
设BD＝2n，则OC＝3BD＝6n，
∴OE＝OC＝3n，CE＝OE＝2n，
∴点C的坐标为（3n，2n），
同类可得，BF＝BD＝n，DF＝DF＝n，
∴OF＝OB﹣BF＝5﹣n，
∴点D的坐标为（5﹣n，n），
∵点C和点D都在反比例函数图象上，
∴3n×2n＝（5﹣n）×n，
解得：n＝，
∴点C的坐标为（，），
∴k＝×＝．
（方法三）过点C作CE⊥OB于点E，过点D作DF⊥OB于点F，则∠OEC＝∠BFD＝90°，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠COE＝∠DBF＝60°，
∴△OEC∽△BFD，
∴OE：BF＝OC：BD＝OC：BD＝3，
∵点C在反比例函数图象上，
∴设C（a，），
∴OE＝a，CE＝，
∴DF＝CE＝，即点D的纵坐标为，
∴点D（3a，），
∴OF＝3a，
∴BF＝OB﹣OF＝5﹣3a，
∵OE＝3BF，
∴a＝3（5﹣3a），
解得：a＝，
∴CE＝OEtan60°＝，即点C的坐标为（，），
∴k＝×＝．
故选：C．
8．（3分）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（ ）
A．﹣4或 B．﹣2或 C．﹣4 或2 D．﹣2或2
【分析】表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
∴﹣4+2m＝3，
解得：m＝（舍去）．
③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，
∴﹣+＝3，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故选：C．
9．（3分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【分析】连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，设AD＝x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．
【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD．
∵DC+DA＝12，
设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x，
∵⊙O的直径为20，
∴DF＝OC＝10，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．
即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，
解得x1＝4，x2＝18．
∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去，
∴x＝4，
∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝12．
故选：B．
10．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
①2a+b＝0；
②2c＜3b；
③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由图象可得对称轴为直线x＝﹣＝1，可得b＝﹣2a，可判断①；将点A坐标代入解析式可得c＝﹣3a，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距离可求a＝﹣1或﹣，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确，
当x＝﹣1时，0＝a﹣b+c，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴2c＝3b，故②错误；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）
∴点C（0，﹣3a），
当BC＝AB时，4＝，
∴a＝﹣，
当AC＝BA时，4＝，
∴a＝﹣，
∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点D（1，﹣4a），
∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，
若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，
∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，
∴a＝﹣，
若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，
∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，
∴a＝﹣1，
∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或﹣，故④错误．
故选：B．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．（3分）0.002021用科学记数法表示为2.021×10m，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.002021用科学记数法表示为2.021×10﹣3，则m的值为﹣3．
故答案为：﹣3．
12．（3分）若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围为 0＜a≤1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数可得答案．
【解答】解：解不等式3x≤4x+1，得：x≥﹣1，
解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜a，
∵不等式组的整数解有2个，
∴0＜a≤1，
故答案为：0＜a≤1．
13．（3分）将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于 15° ．
【分析】根据三角形的内角和定理和四边形的内角和即可得到结论．
【解答】解：如图，∵∠C＝50°，
∴∠3+∠4＝∠A+∠B＝∠A′+∠B′＝180°﹣∠C＝130°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A′+∠B′＝360°，∠1＝85°，
∴∠2＝360°﹣85°﹣2×130°＝15°，
故答案为：15°．
14．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝3，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B，点M运动的路径长是 π ．
【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，点M的运动路径是以点D为圆心，为半径的半圆，求出MD的长即可求轨迹长．
【解答】解：取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵，
∴，
∴，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，为半径的半圆，
∴，
∴点M的运动路径长＝，
故答案为：π．
15．（3分）如果数m使关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为 0 ．
【分析】由题意关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数的条件为Δ＝4+4（m﹣4）＜0，当m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，当m≠2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根的条件是Δ＝16+4（m﹣2）≥0，求得m的取值范围，易得m的整数值，然后求和即可．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数的条件为Δ＝4+4（m﹣4）＜0，
解得m＜3，
当m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0可化为4x﹣1＝0，该方程有实数根，
当m≠2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根的条件是Δ＝16+4（m﹣2）≥0，
解得m≥﹣2且m≠2，
综上所述，﹣2≤m＜3，
∴整数m的取值为：﹣2、﹣1、0、1、2，则其和为：﹣2﹣1+0+1+2＝0．
故答案为：0．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的弧EF上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 2 ．
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝2，连接PT，PA，CT，构造出△PAT∽△BAP，从而有PB+CP＝CP+PT，即三点共线时和最小，求CT的值即可．
【解答】解：在AB上取一点T，使得AT＝2，连接PT，PA，CT，
∵PA＝4．AT＝2，AB＝8，
∴PA2＝AT•AB，
∴，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴，
∴PT＝PB，
∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝2，AC＝8，
∴，
∴PB+PC≥2，
∴PB+PC的最小值为2，
故答案为：2．
17．（3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为 15°或60° ．
【分析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．
【解答】解：分情况讨论：
①当DE⊥BC时，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；
②当AD⊥BC时，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：15°或60°
18．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为 4 ．
【分析】取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，由三角形中位线定理可得DF＝a，EF∥AC，DE＝3，通过证明四边形DGEH是正方形，可得DE＝DG＝3，DH∥EF，通过证明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的长，即可求解．
【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，
设BD＝a，
∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，
∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，
∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，
∴∠FED＝∠ACD＝45°，
∵∠BED＝45°，
∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，
∵DG⊥EF，DH⊥BE，
∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，
∴四边形DGEH是正方形，
∴DE＝DG＝3，DH∥EF，
∴DG＝DH＝3，
∵DH∥EF，
∴∠BDH＝∠DFG，
∴△BDH∽△DFG，
∴，
∴＝，
∴BH＝2，
∴BD＝＝＝，
∴AB＝4，
故答案为：4．
三、解答题：（共66分）
19．（4分）计算：（π﹣3.14）0++2tan60°﹣（﹣2）2021•（）2020．
【分析】根据零指数幂的意义、立方根的性质、特殊角的锐角三角函数的值以及有理数的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝1+（﹣2）+2×﹣（﹣2）2020×（）2020×（﹣2）
＝1﹣2+6﹣（﹣2×）2020×（﹣2）
＝1﹣2+6﹣1×（﹣2）
＝1﹣2+6+2
＝7．
20．（4分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2（x+1）（x﹣1）﹣2x（x﹣1）＝3（x+1），
整理得：2x2﹣2﹣2x2+2x＝3x+3，
解得：x＝﹣5，
检验：把x＝﹣5代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣5是原方程的解．
21．（5分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，得出AE＝DF，由SAS证明△BAE≌△ADF，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠EBA＝∠FAD，得出∠GAE+∠AEG＝90°，因此∠AGE＝90°，由勾股定理得出BE＝＝5，在Rt△ABE中，由三角形面积即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝＝．
22．（5分）新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm，高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE＝250cm，下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与E夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
【分析】延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，在Rt△FHO中，利用正切函数的定义求出HO，与200cm进行比较即可．
【解答】解：空调安装的高度足够．理由如下：
如图，延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，
则FO＝ED＝250﹣50＝200（cm），AO＝200﹣20＝180（cm），∠HFO＝136°﹣90°＝46°．
∵在Rt△FHO中，tan46°＝，
∴HO＝FO×tan46°≈200×1.04＝208＞180，
∴HO＞AO，
∴空调安装的高度足够．
23．（6分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）已知70≤x＜80这组的数据为：72，73，75，74，79，76，76，则这组数据的中位数是 75 ，众数是 76 ；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张同时选择课程A和课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
【分析】（1）由中位数和众数的定义求解即可；
（2）由该年级总人数乘以选择A课程学生成绩在80≤x＜90所占的比例即可；
（3）画树状图，可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程B的情况共有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）把70≤x＜80这组的数据排序为：72，73，74，75，76，76，79，
则这组数据的中位数是75，众数是76，
故答案为：75 76；
（2）观察频数分布直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x＜90范围内的共有9人，所占比例为，
则估计该年级100名选择A课程的学生中成绩在80≤x＜90范围内的总人数为（人）；
（3）画树状图如图所示：
由树状图可知，等可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程B的情况共有2种，
∴小张同时选择课程A和课程B的概率是．
24．（8分）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，根据“总利润＝每支的利润×销售量”可得函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得；
（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，根据题意得出z＝﹣10x2+600x﹣8000﹣200＝﹣10x2+600x﹣8200，求出z＝550时的x的值，再利用二次函数的图象和性质求解可得．
【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，
将（30，100），（35，50）代入 y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与x的函数关系式为 y＝﹣10x+400；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，
由题意得 w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣10x+400）
＝﹣10x2+600x﹣8000
＝﹣10（x﹣30）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元；
（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，
由题意可得 z＝﹣10x2+600x﹣8000﹣200
＝﹣10x2+600x﹣8200，
令z＝550，即﹣10x2+600x﹣8200＝550，
﹣10（x2﹣60x+900）＝﹣250，
x2﹣60x+900＝25，
解得x1＝25，x2＝35，
画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图，
由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550 元．
25．（7分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，则BN＝ 或 ．
（1）如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．
（2）如图3，C，D是线段AB的勾股点（AC＜BD＜CD），以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．
【分析】定义：分两种情况讨论，由勾股定理可求解；
（1）由DE是△ABC的中位线，可知DE∥AB，则D、G、H、E分别为各边中点，得到DG、GH、EH分别为中位线，再利用题中新定义列出关系式，即可得证；
（2）如图3，连接PD，根据新定义可得AC2+BD2＝CD2，由圆周角定理可知∠CPD＝90°，由勾股定理得：PC2+PD2＝CD2，得PD＝BD和各角之间的关系，从而计算∠A的度数，得出结论．
【解答】解：∵点M、N是线段AB的勾股点，
∴BN＝＝＝或BN＝＝＝，
∴BN的长为或；
故答案为：或；
（1）如图2，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，CD＝AD，CE＝BE，
∴CG＝GM，CH＝HN，
∴DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，
∵M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），
∴BN2＝MN2+AM2，
∴BN2＝MN2+AM2，
∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2，
∴EH2＝GH2+DG2，
∴G、H是线段DE的勾股点；
（2）如图3，连接PD，
∵AC＝PC，
∴∠A＝∠APC，
∴∠PCD＝2∠A，
∵C，D是线段AB的勾股点，
∴AC2+BD2＝CD2，
∴PC2+BD2＝CD2，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CPD＝90°，
∴PC2+PD2＝CD2，
∴PD＝BD，
∴∠PDC＝2∠B，
∵∠A＝2∠B，
∴∠PDC＝∠A，
在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°，
∴2∠A+∠A＝90°，
解得∠A＝30°，
则∠B＝∠A＝15°．
26．（9分）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）△AOB的面积为 8 ；
（3）直接写出不等式kx+b＞的解集 0＜x＜1或x＜﹣3 ；
（4）点P在x的负半轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB求解即可；
（3）观察函数图象即可求解；
（4）分三种情形：①AO＝AP，②OA＝OP，③PA＝PO分别求解即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，则，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB＝×4×3+×4×1＝8，
故答案为8；
（3）观察函数图象知，kx+b＞的解集为0＜x＜1或x＜﹣3，
故答案为0＜x＜1或x＜﹣3；
（4）由题意OA＝＝，
当AO＝AP时，可得P1（﹣6，0），
当OA＝OP时，可得P2（﹣，0），P4（，0）（舍去），
当PA＝PO时，过点A作AJ⊥x轴于J．设OP3＝P3A＝x，
在Rt△AJP3中，则有x2＝22+（3﹣x）2，
解得x＝，
∴P3（﹣，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣6，0）．
27．（9分）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：△BDE∽△ADB；
（2）试判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，条件不变，若BC恰好是⊙O的直径，且AB＝6，AC＝8，求DF的长．
【分析】（1）由AD平分∠BAC，易得∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又由∠BDE是公共角，即可证得：△BDE∽∠ADB；
（2）首先连接OD，由AD平分∠BAC，可得＝，由垂径定理，即可判定OD⊥BC，又由BC∥DF，证得结论；
（3）首先过点B作BH⊥AD于点H，连接OD，易证得△BDH∽△BCA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BH的长，继而求得AD的长，然后证得△FDB∽△FAD，又由相似的性质，求得答案．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BAD，
∵∠BDE＝∠ADB，
∴△BDE∽△ADB；
（2）相切．
理由：如图1，连接OD，
∵∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（3）如图2，过点B作BH⊥AD于点H，连接OD，
则∠BHD＝90°，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BHD＝∠BAC，
∵∠BDH＝∠C，
∴△BDH∽△BCA，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∴OB＝OD＝5，
∴BD＝＝5，
∴＝，
∴BH＝3，
∴DH＝＝4，AH＝＝3，
∴AD＝AH+DH＝7，
∵DF与⊙O相切，
∴∠FDB＝∠FAD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDB∽△FAD，
∴＝＝＝，
∴AF＝DF，BF＝DF，
∴AB＝AF﹣BF＝DF﹣DF＝6，
解得：DF＝．
28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．
【分析】（1）将C（8，0），B（0，6）代入计算即可；
（2）作DE⊥x轴于点E，证明△BOC∽△CED，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；
（3）分为点M在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为△BON∽△CDM和△BON∽△MDC两种情况讨论；当点M在BC上时，分为△BON∽△MCD和△BON∽△DCM两种情况讨论；
（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得QN+DN的最小值；连接BQ减去BA'可得A'Q的最小值，综上可得A'Q+QN+DN的最小值．
【解答】解：（1）将C（8，0），B（0，6）代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如答图1，作DE⊥x轴于点E，
∵C（8，0），B（0，6），
∴OC＝8，OB＝6．
∴BC＝10．
∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，
∴△BOC∽△CED．
∴．
∴CE＝3，DE＝4．
∴OE＝OC+CE＝11．
∴D（11，4）．
（3）若点M在DA上运动时，DM＝5t，ON＝4t，
当△BON∽△CDM，则，即不成立，舍去；
当△BON∽△MDC，则，即，解得：；
若点M在BC上运动时，CM＝25﹣5t．
当△BON∽△MCD，则，即，
∴．
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t．
∴，
解得t1＝（舍去），t2＝．
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16
∴，无解；
当△BON∽△DCM，则，即，
∴ON＝30﹣6t；
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t，
∴30﹣6t＝16﹣4t，
解得t＝7（舍去）；
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16，
∴30﹣6t＝4t﹣16，
解得．
综上所示：当时，△BON∽△MDC；t＝时，△BON∽△MCD；时，△BON∽△DCM；
（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，
∵点D（11，4），
∴点F（11，﹣4）．
由得对称轴为x＝5，
∴点Q（5，4）．
∴，．
∴．
故A'Q+QN+DN的最小值为．
2021-2022学年黑龙江省大庆市林甸县五校联考九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a2）3＝a6
C．（ab）2＝a2b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
2．（3分）在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（ ）
A．已知BC＝6，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5
C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B
D．已知∠C＝∠B＝45°
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
4．（3分）下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为（ ）
A． B． C．30° D．60°
6．（3分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝2，c＝1，解出其中一个根是x＝1．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
7．（3分）如图，若双曲线y＝与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
8．（3分）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（ ）
A．﹣4或 B．﹣2或 C．﹣4 或2 D．﹣2或2
9．（3分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
10．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
①2a+b＝0；
②2c＜3b；
③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．（3分）0.002021用科学记数法表示为2.021×10m，则m的值为 ．
12．（3分）若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围为 ．
13．（3分）将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于 ．
14．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝3，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B，点M运动的路径长是 ．
15．（3分）如果数m使关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的弧EF上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
17．（3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为 ．
三、解答题：（共66分）
19．（4分）计算：（π﹣3.14）0++2tan60°﹣（﹣2）2021•（）2020．
20．（4分）解方程：．
21．（5分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
22．（5分）新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm，高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE＝250cm，下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与E夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
23．（6分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）已知70≤x＜80这组的数据为：72，73，75，74，79，76，76，则这组数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张同时选择课程A和课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
24．（8分）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
25．（7分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，则BN＝ ．
（1）如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．
（2）如图3，C，D是线段AB的勾股点（AC＜BD＜CD），以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．
26．（9分）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）△AOB的面积为 ；
（3）直接写出不等式kx+b＞的解集 ；
（4）点P在x的负半轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
27．（9分）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：△BDE∽△ADB；
（2）试判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，条件不变，若BC恰好是⊙O的直径，且AB＝6，AC＝8，求DF的长．
28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．
2021-2022学年黑龙江省大庆市林甸县五校联考九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a2）3＝a6
C．（ab）2＝a2b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项错误；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项错误；
C、（ab）2＝a2b2，正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
故选：C．
2．（3分）在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解的是（ ）
A．已知BC＝6，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝5
C．已知∠C＝90°，∠A＝∠B
D．已知∠C＝∠B＝45°
【分析】根据解直角三角形需要满足的条件，逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵选项C、D缺少边的条件，A缺少锐角的条件，
∴不能解直角三角形，
选项B中，由∠A的正弦可求出AB，再根据直角三角形的性质可求出∠B，然后由勾股定理或∠A的正切函数可求出AC．
故选：B．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可判断选项A和选项C，根据圆的性质即可判断选项D，根据垂径定理即可判断选项B．
【解答】解：A．
如图1，圆心角∠AOB＝圆心角∠COD，但是，弦AB≠弦CD，故本选项不符合题意；
B．
如图2，直径AB和弦CD，AB平分CD，但是AB和CD不垂直，故本选项不符合题意；
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等，故本选项符合题意；
D．圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线（对称轴是直线，不是线段），故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）下列图形中，△ABC与△DEF不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答．
【解答】解：A、当EF与BC不平行时，△ABC与△DEF不一定相似，故本选项正确；
B、由∠ABC＝∠EFC，∠ACB＝∠ECF可以判定△ABC∽△DEF，故本选项错误；
C、由圆周角定理推知∠B＝∠F，又由对顶角相等得到∠ACB＝∠EFD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项错误；
D、由圆周角定理得到：∠ACB＝90°，所以根据∠ACB＝∠CDB，∠ABC＝∠CBD，可以判定△ABC∽△DEF，故本选项错误；
故选：A．
5．（3分）如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC＝，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为（ ）
A． B． C．30° D．60°
【分析】直接利用坡度的定义得出，斜坡AB的坡度为：，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠ACB＝90°，则斜坡AB的坡度为：＝＝．
故选：A．
6．（3分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝2，c＝1，解出其中一个根是x＝1．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
【分析】利用根与系数的关系求出所抄方程的b的值为﹣3，则原方程的b的值为﹣2，所以原方程为2x2﹣2x+1＝0，然后计算判别式的值，从而得到方程根的情况．
【解答】解：根据题意得x＝1为方程2x2+bx+1＝0的一个根，
设此方程的另一根为t，则1+t＝﹣，1×t＝，
解得t＝，b＝﹣3，
即所抄的b的值为﹣3，
所以原方程的b的值为﹣2，
则原方程为2x2﹣2x+1＝0，
因为Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0，
所以原方程没有实数解．
故选：A．
7．（3分）如图，若双曲线y＝与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【分析】过点C作CE⊥OB于点E，过点D作DF⊥OB于点F，则△OEC∽△BFD，由OC＝3BD，得到OE＝3BF，设BF＝x，得到点C和点D的坐标，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，求得x的值，然后得到实数k的值．
【解答】解：（方法一）过点C作CE⊥OB于点E，过点D作DF⊥OB于点F，则
∠OEC＝∠BFD＝90°，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠COE＝∠DBF＝60°，
∴△OEC∽△BFD，
∴OE：BF＝OC：BD，
∵OC＝3BD，
∴OE＝3BF，
设BF＝x，则OE＝3x，
∴CE＝OE＝3x，DF＝BF＝x，
∴C（3x，3x），OF＝OB﹣BF＝5﹣x，
∴D（5﹣x，x），
∵点C和点D在反比例函数图象上，
∴k＝3x×3x＝（5﹣x）×x，
解得：x＝0（舍）或x＝，
∴k＝，
（方法二）过点C作CE⊥OB于点E，过点D作DF⊥OB于点F，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠COE＝∠B＝60°，
设BD＝2n，则OC＝3BD＝6n，
∴OE＝OC＝3n，CE＝OE＝2n，
∴点C的坐标为（3n，2n），
同类可得，BF＝BD＝n，DF＝DF＝n，
∴OF＝OB﹣BF＝5﹣n，
∴点D的坐标为（5﹣n，n），
∵点C和点D都在反比例函数图象上，
∴3n×2n＝（5﹣n）×n，
解得：n＝，
∴点C的坐标为（，），
∴k＝×＝．
（方法三）过点C作CE⊥OB于点E，过点D作DF⊥OB于点F，则∠OEC＝∠BFD＝90°，
∵△AOB是等边三角形，
∴∠COE＝∠DBF＝60°，
∴△OEC∽△BFD，
∴OE：BF＝OC：BD＝OC：BD＝3，
∵点C在反比例函数图象上，
∴设C（a，），
∴OE＝a，CE＝，
∴DF＝CE＝，即点D的纵坐标为，
∴点D（3a，），
∴OF＝3a，
∴BF＝OB﹣OF＝5﹣3a，
∵OE＝3BF，
∴a＝3（5﹣3a），
解得：a＝，
∴CE＝OEtan60°＝，即点C的坐标为（，），
∴k＝×＝．
故选：C．
8．（3分）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（ ）
A．﹣4或 B．﹣2或 C．﹣4 或2 D．﹣2或2
【分析】表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
∴﹣4+2m＝3，
解得：m＝（舍去）．
③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，
∴﹣+＝3，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故选：C．
9．（3分）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【分析】连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，设AD＝x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．
【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD．
∵DC+DA＝12，
设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x，
∵⊙O的直径为20，
∴DF＝OC＝10，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．
即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，
解得x1＝4，x2＝18．
∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去，
∴x＝4，
∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB＝2AF＝12．
故选：B．
10．（3分）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
①2a+b＝0；
②2c＜3b；
③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由图象可得对称轴为直线x＝﹣＝1，可得b＝﹣2a，可判断①；将点A坐标代入解析式可得c＝﹣3a，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断③；由直角三角形的性质和两点距离可求a＝﹣1或﹣，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确，
当x＝﹣1时，0＝a﹣b+c，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴2c＝3b，故②错误；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）
∴点C（0，﹣3a），
当BC＝AB时，4＝，
∴a＝﹣，
当AC＝BA时，4＝，
∴a＝﹣，
∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点D（1，﹣4a），
∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，
若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，
∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，
∴a＝﹣，
若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，
∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，
∴a＝﹣1，
∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或﹣，故④错误．
故选：B．
二、填空题：（每小题3分，共24分）
11．（3分）0.002021用科学记数法表示为2.021×10m，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.002021用科学记数法表示为2.021×10﹣3，则m的值为﹣3．
故答案为：﹣3．
12．（3分）若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围为 0＜a≤1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数可得答案．
【解答】解：解不等式3x≤4x+1，得：x≥﹣1，
解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜a，
∵不等式组的整数解有2个，
∴0＜a≤1，
故答案为：0＜a≤1．
13．（3分）将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于 15° ．
【分析】根据三角形的内角和定理和四边形的内角和即可得到结论．
【解答】解：如图，∵∠C＝50°，
∴∠3+∠4＝∠A+∠B＝∠A′+∠B′＝180°﹣∠C＝130°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A′+∠B′＝360°，∠1＝85°，
∴∠2＝360°﹣85°﹣2×130°＝15°，
故答案为：15°．
14．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝3，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B，点M运动的路径长是 π ．
【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，点M的运动路径是以点D为圆心，为半径的半圆，求出MD的长即可求轨迹长．
【解答】解：取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵，
∴，
∴，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，为半径的半圆，
∴，
∴点M的运动路径长＝，
故答案为：π．
15．（3分）如果数m使关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数，且使关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，那么所有满足条件的整数m的值的和为 0 ．
【分析】由题意关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数的条件为Δ＝4+4（m﹣4）＜0，当m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根，当m≠2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根的条件是Δ＝16+4（m﹣2）≥0，求得m的取值范围，易得m的整数值，然后求和即可．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝﹣x2+2x+m﹣4的函数值恒为负数的条件为Δ＝4+4（m﹣4）＜0，
解得m＜3，
当m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0可化为4x﹣1＝0，该方程有实数根，
当m≠2时，关于x的方程（m﹣2）x2+4x﹣1＝0有实数根的条件是Δ＝16+4（m﹣2）≥0，
解得m≥﹣2且m≠2，
综上所述，﹣2≤m＜3，
∴整数m的取值为：﹣2、﹣1、0、1、2，则其和为：﹣2﹣1+0+1+2＝0．
故答案为：0．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的弧EF上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 2 ．
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝2，连接PT，PA，CT，构造出△PAT∽△BAP，从而有PB+CP＝CP+PT，即三点共线时和最小，求CT的值即可．
【解答】解：在AB上取一点T，使得AT＝2，连接PT，PA，CT，
∵PA＝4．AT＝2，AB＝8，
∴PA2＝AT•AB，
∴，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴△PAT∽△BAP，
∴，
∴PT＝PB，
∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝2，AC＝8，
∴，
∴PB+PC≥2，
∴PB+PC的最小值为2，
故答案为：2．
17．（3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为 15°或60° ．
【分析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．
【解答】解：分情况讨论：
①当DE⊥BC时，∠BAD＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；
②当AD⊥BC时，α＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°．
故答案为：15°或60°
18．（3分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为 4 ．
【分析】取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，由三角形中位线定理可得DF＝a，EF∥AC，DE＝3，通过证明四边形DGEH是正方形，可得DE＝DG＝3，DH∥EF，通过证明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的长，即可求解．
【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，
设BD＝a，
∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，
∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，
∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，
∴∠FED＝∠ACD＝45°，
∵∠BED＝45°，
∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，
∵DG⊥EF，DH⊥BE，
∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，
∴四边形DGEH是正方形，
∴DE＝DG＝3，DH∥EF，
∴DG＝DH＝3，
∵DH∥EF，
∴∠BDH＝∠DFG，
∴△BDH∽△DFG，
∴，
∴＝，
∴BH＝2，
∴BD＝＝＝，
∴AB＝4，
故答案为：4．
三、解答题：（共66分）
19．（4分）计算：（π﹣3.14）0++2tan60°﹣（﹣2）2021•（）2020．
【分析】根据零指数幂的意义、立方根的性质、特殊角的锐角三角函数的值以及有理数的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：原式＝1+（﹣2）+2×﹣（﹣2）2020×（）2020×（﹣2）
＝1﹣2+6﹣（﹣2×）2020×（﹣2）
＝1﹣2+6﹣1×（﹣2）
＝1﹣2+6+2
＝7．
20．（4分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2（x+1）（x﹣1）﹣2x（x﹣1）＝3（x+1），
整理得：2x2﹣2﹣2x2+2x＝3x+3，
解得：x＝﹣5，
检验：把x＝﹣5代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣5是原方程的解．
21．（5分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，得出AE＝DF，由SAS证明△BAE≌△ADF，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠EBA＝∠FAD，得出∠GAE+∠AEG＝90°，因此∠AGE＝90°，由勾股定理得出BE＝＝5，在Rt△ABE中，由三角形面积即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF；
（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝＝5，
在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，
∴AG＝＝．
22．（5分）新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm，高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE＝250cm，下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与E夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
【分析】延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，在Rt△FHO中，利用正切函数的定义求出HO，与200cm进行比较即可．
【解答】解：空调安装的高度足够．理由如下：
如图，延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，
则FO＝ED＝250﹣50＝200（cm），AO＝200﹣20＝180（cm），∠HFO＝136°﹣90°＝46°．
∵在Rt△FHO中，tan46°＝，
∴HO＝FO×tan46°≈200×1.04＝208＞180，
∴HO＞AO，
∴空调安装的高度足够．
23．（6分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）已知70≤x＜80这组的数据为：72，73，75，74，79，76，76，则这组数据的中位数是 75 ，众数是 76 ；
（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张同时选择课程A和课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
【分析】（1）由中位数和众数的定义求解即可；
（2）由该年级总人数乘以选择A课程学生成绩在80≤x＜90所占的比例即可；
（3）画树状图，可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程B的情况共有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）把70≤x＜80这组的数据排序为：72，73，74，75，76，76，79，
则这组数据的中位数是75，众数是76，
故答案为：75 76；
（2）观察频数分布直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x＜90范围内的共有9人，所占比例为，
则估计该年级100名选择A课程的学生中成绩在80≤x＜90范围内的总人数为（人）；
（3）画树状图如图所示：
由树状图可知，等可能的结果共有12种，小张同时选择课程A和课程B的情况共有2种，
∴小张同时选择课程A和课程B的概率是．
24．（8分）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，根据“总利润＝每支的利润×销售量”可得函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得；
（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，根据题意得出z＝﹣10x2+600x﹣8000﹣200＝﹣10x2+600x﹣8200，求出z＝550时的x的值，再利用二次函数的图象和性质求解可得．
【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，
将（30，100），（35，50）代入 y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与x的函数关系式为 y＝﹣10x+400；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，
由题意得 w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣10x+400）
＝﹣10x2+600x﹣8000
＝﹣10（x﹣30）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元；
（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，
由题意可得 z＝﹣10x2+600x﹣8000﹣200
＝﹣10x2+600x﹣8200，
令z＝550，即﹣10x2+600x﹣8200＝550，
﹣10（x2﹣60x+900）＝﹣250，
x2﹣60x+900＝25，
解得x1＝25，x2＝35，
画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图，
由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550 元．
25．（7分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝1，MN＝2，则BN＝ 或 ．
（1）如图2，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H．求证：G、H是线段DE的勾股点．
（2）如图3，C，D是线段AB的勾股点（AC＜BD＜CD），以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．
【分析】定义：分两种情况讨论，由勾股定理可求解；
（1）由DE是△ABC的中位线，可知DE∥AB，则D、G、H、E分别为各边中点，得到DG、GH、EH分别为中位线，再利用题中新定义列出关系式，即可得证；
（2）如图3，连接PD，根据新定义可得AC2+BD2＝CD2，由圆周角定理可知∠CPD＝90°，由勾股定理得：PC2+PD2＝CD2，得PD＝BD和各角之间的关系，从而计算∠A的度数，得出结论．
【解答】解：∵点M、N是线段AB的勾股点，
∴BN＝＝＝或BN＝＝＝，
∴BN的长为或；
故答案为：或；
（1）如图2，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，CD＝AD，CE＝BE，
∴CG＝GM，CH＝HN，
∴DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，
∵M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），
∴BN2＝MN2+AM2，
∴BN2＝MN2+AM2，
∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2，
∴EH2＝GH2+DG2，
∴G、H是线段DE的勾股点；
（2）如图3，连接PD，
∵AC＝PC，
∴∠A＝∠APC，
∴∠PCD＝2∠A，
∵C，D是线段AB的勾股点，
∴AC2+BD2＝CD2，
∴PC2+BD2＝CD2，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CPD＝90°，
∴PC2+PD2＝CD2，
∴PD＝BD，
∴∠PDC＝2∠B，
∵∠A＝2∠B，
∴∠PDC＝∠A，
在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC＝90°，
∴2∠A+∠A＝90°，
解得∠A＝30°，
则∠B＝∠A＝15°．
26．（9分）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）△AOB的面积为 8 ；
（3）直接写出不等式kx+b＞的解集 0＜x＜1或x＜﹣3 ；
（4）点P在x的负半轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB求解即可；
（3）观察函数图象即可求解；
（4）分三种情形：①AO＝AP，②OA＝OP，③PA＝PO分别求解即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，则，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB＝×4×3+×4×1＝8，
故答案为8；
（3）观察函数图象知，kx+b＞的解集为0＜x＜1或x＜﹣3，
故答案为0＜x＜1或x＜﹣3；
（4）由题意OA＝＝，
当AO＝AP时，可得P1（﹣6，0），
当OA＝OP时，可得P2（﹣，0），P4（，0）（舍去），
当PA＝PO时，过点A作AJ⊥x轴于J．设OP3＝P3A＝x，
在Rt△AJP3中，则有x2＝22+（3﹣x）2，
解得x＝，
∴P3（﹣，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣6，0）．
27．（9分）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：△BDE∽△ADB；
（2）试判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，条件不变，若BC恰好是⊙O的直径，且AB＝6，AC＝8，求DF的长．
【分析】（1）由AD平分∠BAC，易得∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又由∠BDE是公共角，即可证得：△BDE∽∠ADB；
（2）首先连接OD，由AD平分∠BAC，可得＝，由垂径定理，即可判定OD⊥BC，又由BC∥DF，证得结论；
（3）首先过点B作BH⊥AD于点H，连接OD，易证得△BDH∽△BCA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BH的长，继而求得AD的长，然后证得△FDB∽△FAD，又由相似的性质，求得答案．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BAD，
∵∠BDE＝∠ADB，
∴△BDE∽△ADB；
（2）相切．
理由：如图1，连接OD，
∵∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（3）如图2，过点B作BH⊥AD于点H，连接OD，
则∠BHD＝90°，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BHD＝∠BAC，
∵∠BDH＝∠C，
∴△BDH∽△BCA，
∴＝，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∴OB＝OD＝5，
∴BD＝＝5，
∴＝，
∴BH＝3，
∴DH＝＝4，AH＝＝3，
∴AD＝AH+DH＝7，
∵DF与⊙O相切，
∴∠FDB＝∠FAD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDB∽△FAD，
∴＝＝＝，
∴AF＝DF，BF＝DF，
∴AB＝AF﹣BF＝DF﹣DF＝6，
解得：DF＝．
28．（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．
【分析】（1）将C（8，0），B（0，6）代入计算即可；
（2）作DE⊥x轴于点E，证明△BOC∽△CED，可得CE，DE长度，进而得到点D的坐标；
（3）分为点M在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为△BON∽△CDM和△BON∽△MDC两种情况讨论；当点M在BC上时，分为△BON∽△MCD和△BON∽△DCM两种情况讨论；
（4）作点D关于x轴的对称F，连接QF，可得QN+DN的最小值；连接BQ减去BA'可得A'Q的最小值，综上可得A'Q+QN+DN的最小值．
【解答】解：（1）将C（8，0），B（0，6）代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如答图1，作DE⊥x轴于点E，
∵C（8，0），B（0，6），
∴OC＝8，OB＝6．
∴BC＝10．
∵∠BOC＝∠BCD＝∠DEC，
∴△BOC∽△CED．
∴．
∴CE＝3，DE＝4．
∴OE＝OC+CE＝11．
∴D（11，4）．
（3）若点M在DA上运动时，DM＝5t，ON＝4t，
当△BON∽△CDM，则，即不成立，舍去；
当△BON∽△MDC，则，即，解得：；
若点M在BC上运动时，CM＝25﹣5t．
当△BON∽△MCD，则，即，
∴．
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t．
∴，
解得t1＝（舍去），t2＝．
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16
∴，无解；
当△BON∽△DCM，则，即，
∴ON＝30﹣6t；
当3＜t≤4时，ON＝16﹣4t，
∴30﹣6t＝16﹣4t，
解得t＝7（舍去）；
当4＜t≤5时，ON＝4t﹣16，
∴30﹣6t＝4t﹣16，
解得．
综上所示：当时，△BON∽△MDC；t＝时，△BON∽△MCD；时，△BON∽△DCM；
（4）如答图2，作点D关于x轴的对称点F，连接QF交x轴于点N，
∵点D（11，4），
∴点F（11，﹣4）．
由得对称轴为x＝5，
∴点Q（5，4）．
∴，．
∴．
故A'Q+QN+DN的最小值为．
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