2021-2022学年福建省泉州市南安市、德化县八年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年福建省泉州市南安市、德化县八年级（上）期末数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省泉州市南安市、德化县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）9的平方根是（　　）
A． B．81 C．±3 D．3
2．（4分）下列各数：﹣2，，0，π，﹣，其中无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a12
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a8÷a2＝a4
4．（4分）空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（　　）
A．折线图 B．条形图 C．直方图 D．扇形图
5．（4分）估计+1的值，应在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．（4分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
7．（4分）下列选项中，可以用来说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣4 B．a＝﹣3 C．a＝﹣2 D．a＝4
8．（4分）如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（　　）

A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m
9．（4分）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
10．（4分）若实数a、b满足a2+b2＝1，则ab+a+3b的最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算：＝　 　．
12．（4分）“新冠肺炎”的英语“Novelcoronaviruspneumonia”中，字母“o”出现的频率是 　 　．
13．（4分）已知x2+4x+k是完全平方式，则k＝　 　．
14．（4分）若am＝2，an＝5，则am+n等于　 　．
15．（4分）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为　 　．

16．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE交AE延长线于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，以下四个结论：①∠ADC＝45°；②BD＝AE；③AC+CE＝AB；④AC+AB＜2AM．其中正确的结论有 　 　．

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：（2x2y3）•（5xy2）÷（10x2y4）．
18．（8分）把下列多项式分解因式：
（1）x2﹣1；
（2）4x2﹣8x+4．
19．（8分）先化简，再求值：[（x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）]÷x，其中x＝3，y＝2．
20．（8分）已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF．
求证：△ABC≌△DEF．

21．（8分）如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？

22．（10分）十九的大召开引起了广大中学生的广泛关注，中学生主要通过看电视、上网查看、看报纸、听广播及其他形式学习和了解十九大精神．某校为了了解学生获取十九大知识的渠道，随机调查了若干名学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图表如下：
了解方式
频数
频率
看电视
18
0.3
上网
a
0.4
听广播
6
m
看报纸
b
0.15
其他
3
n
（1）本次调查的人数是　 　；
（2）a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　，n＝　 　；
（3）补全条形图；
（4）若该校有2000名学生，请你估计该校通过看电视和上网获取十九大知识的共有多少人？

23．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC．
（1）在线段BC上找一点P，使得PA＝PB（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，若CP：PB＝3：5，AB＝，求△ABC的面积．

24．（12分）几何计算中，常利用面积法构造方程来求线段的长，请利用这种方法解决下列问题：
（1）如图①，△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，求AB边上的高；
（2）在一张正方形纸张的四个角剪去四个相同的小正方形，得到如图②所示的图形，再将它分割成三块拼成如图③所示的长方形，已知m、n满足：m2+n2﹣8m﹣18n+97＝0，求剪去的小正方形的边长．


25．（14分）如图（1），△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是AC的中点，点E在CD上（点E不与点D和点C重合），AG⊥BE于点G，交BD于点F，连结DG．
（1）求证：△ADF≌△BDE；
（2）设GF＝a，GE＝b，GD＝c，证明：a+b＝；
（3）如图（2），延长AG交BC于点M，若点M是BC中点，点N是AB的中点，请证明点N、F、C三点共线．



2021-2022学年福建省泉州市南安市、德化县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）9的平方根是（　　）
A． B．81 C．±3 D．3
【分析】根据平方根的定义即可解答．
【解答】解：9的平方根是±3，
故选：C．
2．（4分）下列各数：﹣2，，0，π，﹣，其中无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：﹣2，0，都是整数，属于有理数．
无理数有、π共2个．
故选：B．
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a12
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a8÷a2＝a4
【分析】根据同底数幂的乘法的运算法则，幂的乘方的运算法则，完全平方公式，同底数幂的除法的运算法则，可得答案．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（a3）4＝a12，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、a8÷a2＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．（4分）空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（　　）
A．折线图 B．条形图 C．直方图 D．扇形图
【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；
频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．
【解答】解：由分析可知，要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．
故选：D．
5．（4分）估计+1的值，应在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】根据≈2.236，可得答案．
【解答】解：∵≈2.236，
∴+1≈3.236，
故选：C．
6．（4分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
7．（4分）下列选项中，可以用来说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣4 B．a＝﹣3 C．a＝﹣2 D．a＝4
【分析】根据绝对值的意义、有理数的大小比较法则解答．
【解答】解：当a＝﹣4时，|a|＝4＞3，而﹣4＜﹣3，
∴“|a|＞3，则a＞3”是假命题，
故选：A．
8．（4分）如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（　　）

A．0.9m B．1.5m C．0.5m D．0.8m
【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵梯子的顶端下滑了0.4米，
∴A′C＝2m，
∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，
∴B′C＝＝＝1.5m，
∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．
故选：D．
9．（4分）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．
【解答】解：延长BD交AC于E，如图，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴△BCE为等腰三角形，
∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，
∵∠A＝∠ABD，
∴EA＝EB＝2，
∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．
故选：A．

10．（4分）若实数a、b满足a2+b2＝1，则ab+a+3b的最小值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．3
【分析】由a2+b2＝1，可得a2≤1，b2≤1，﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，然后通过因式分解的应用将原式变形为（b+1）（a+3）﹣3，从而分析其最值．
【解答】解：∵a2+b2＝1，
∴a2≤1，b2≤1，
∴﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，
∴ab+a+3b
＝a（b+1）+3（b+1）﹣3
＝（b+1）（a+3）﹣3，
又∵a+3＞0，b+1≥0，
∴当b+1＝0，即b＝﹣1时，原式有最小值为﹣3，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算：＝　2　．
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴＝2
故答案为：2．
12．（4分）“新冠肺炎”的英语“Novelcoronaviruspneumonia”中，字母“o”出现的频率是 　　．
【分析】根据频率的定义求解即可．
【解答】解：“新冠肺炎”的英语单词“Novelcoronavirus”中共有25个字母，O出现了4次，
∴字母“o”出现的频率是，
故答案为：．
13．（4分）已知x2+4x+k是完全平方式，则k＝　4　．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
【解答】解：∵x2+4x+k是完全平方式，
∴k＝4，
故答案为：4．
14．（4分）若am＝2，an＝5，则am+n等于　10　．
【分析】根据同底数幂的乘法法则把所求代数式化为已知的形式，再把已知代入求解即可．
【解答】解：∵am＝2，an＝5，
∴am+n＝aman＝2×5＝10．
故答案为：10
15．（4分）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为　　．

【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
在△PFD和△QCD中
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝3，
∴DE＝，
故答案为．
16．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE交AE延长线于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，以下四个结论：①∠ADC＝45°；②BD＝AE；③AC+CE＝AB；④AC+AB＜2AM．其中正确的结论有 　①②　．

【分析】作∠ACN＝∠BCD，EF⊥AB，DH⊥AB，垂足为F、H，证明△ACN≌△BCD（ASA），由全等三角形的性质得出CN＝CD，AN＝BD，可判断①正确；由直角三角形的性质可判断②；由等腰直角三角形的性质可判断③；证明△AMD≌△AHD（AAS），得出AM＝AH，可判断④．
【解答】解：作∠ACN＝∠BCD，EF⊥AB，DH⊥AB，垂足为F、H，

∵∠ACE＝∠ADB＝90°，∠AEC＝∠BED，
∴∠CAN＝∠CBD，
又∠ACN＝∠BCD，AC＝BC，
∴△ACN≌△BCD（ASA），
∴CN＝CD，AN＝BD，
又∠DCN＝∠ECA＝90°，
∴△DCN为等腰直角三角形，
∴∠ADC＝45°；
即①正确．
∵∠CND＝45°，∠CAE＝22.5°，
∴∠ACN＝22.5°，
∴AN＝CN，
∴CN为Rt△ACE的中线，
∴；
即②正确．
∵AE平分∠CAB，EF⊥AB，EC⊥AC，
∴EC＝EF，AC＝AF，
又△BEF为等腰直角三角形，
∴BF＝EF，
∴AB＝AF+FB＝AC+CE；
即③错误．
∵∠CAE＝∠BAE，∠AMD＝∠AHD，AD＝AD，
∴△AMD≌△AHD（AAS），
∴AM＝AH，
又△CMD≌△BHD，
∴CM＝BH，
∴AC+AB＝AC+BH+AH＝AC+CM+AM＝2AM．
即④错误．
故答案为：①②．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）计算：（2x2y3）•（5xy2）÷（10x2y4）．
【分析】根据单项式乘单项式和单项式除以单项式的法则化简即可．
【解答】解：（2x2y3）•（5xy2）÷（10x2y4）
＝10x3y5÷（10x2y4）
＝xy．
18．（8分）把下列多项式分解因式：
（1）x2﹣1；
（2）4x2﹣8x+4．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取4，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+1）（x﹣1）；
（2）原式＝4（x2﹣2x+1）
＝4（x﹣1）2．
19．（8分）先化简，再求值：[（x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）]÷x，其中x＝3，y＝2．
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算括号内的乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，再算括号外面的除法，最后代入求值．
【解答】解：原式＝（x2﹣2xy+y2+x2﹣y2）÷x
＝（2x2﹣2xy）÷x
＝2x﹣2y，
当x＝3，y＝2时，
原式＝2×3﹣2×2＝6﹣4＝2．
20．（8分）已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF．
求证：△ABC≌△DEF．

【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF
∵BE＝FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
21．（8分）如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？

【分析】由题意知：BC＝AC，设BC＝xcm，则OC＝（36﹣x） cm．在 Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，
∴BC＝CA，
设BC＝xcm，则CA＝xcm，
∵OA＝36cm
∴OC＝（36﹣x）cm，
∵∠AOB＝90°
∴OB2+OC2＝BC2，
∴122+（36﹣x）2＝x2，
解得：x＝20，
∴BC＝20cm．
22．（10分）十九的大召开引起了广大中学生的广泛关注，中学生主要通过看电视、上网查看、看报纸、听广播及其他形式学习和了解十九大精神．某校为了了解学生获取十九大知识的渠道，随机调查了若干名学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图表如下：
了解方式
频数
频率
看电视
18
0.3
上网
a
0.4
听广播
6
m
看报纸
b
0.15
其他
3
n
（1）本次调查的人数是　60　；
（2）a＝　24　，b＝　9　，m＝　0.1　，n＝　0.05　；
（3）补全条形图；
（4）若该校有2000名学生，请你估计该校通过看电视和上网获取十九大知识的共有多少人？

【分析】（1）用看电视的人数除以其频率可得总人数；
（2）根据“频率＝频数÷总人数”可得；
（3）根据以上所求结果求解可得；
（4）总人数乘以样本中看电视、上网的频率和可得．
【解答】解：（1）本次调查的人数是18÷0.3＝60人，
故答案为：60；

（2）a＝60×0.4＝24、b＝60×0.15＝9、m＝6÷60＝0.1、n＝3÷60＝0.05，
故答案为：24、9、0.1、0.05；

（3）补全图形如下：


（4）估计该校通过看电视和上网获取十九大知识的共有2000×（0.3+0.4）＝1400（人）．
23．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＞AC．
（1）在线段BC上找一点P，使得PA＝PB（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，若CP：PB＝3：5，AB＝，求△ABC的面积．

【分析】（1）作AB的垂直平分线即可在线段BC上找一点P，使得PA＝PB；
（2）在（1）的基础上，根据CP：PB＝3：5，AB＝，利用勾股定理即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图：点P为所求作的点．

（2）∵CP：PB＝3：5
∴设CP＝3x（x＞0），
∴PB＝5x，
∴PA＝PB＝5x，BC＝8x，
∵∠C＝90°，
∴，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
解得x＝，
∴AC＝1，BC＝2，
∴．
24．（12分）几何计算中，常利用面积法构造方程来求线段的长，请利用这种方法解决下列问题：
（1）如图①，△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，求AB边上的高；
（2）在一张正方形纸张的四个角剪去四个相同的小正方形，得到如图②所示的图形，再将它分割成三块拼成如图③所示的长方形，已知m、n满足：m2+n2﹣8m﹣18n+97＝0，求剪去的小正方形的边长．


【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后再利用等面积法进行计算即可解答；
（2）利用拆项配成两个完全平方式，然后求出m，n的值，再利用等面积法进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形
过点C作CD⊥AB于点D，

∵，
∴，
答：AB边上的高为；
（2）∵m2+n2﹣8m﹣18n+97＝0，
∴（m﹣4）2+（n﹣9）2＝0，
∵（m﹣4）2≥0，（n﹣9）2≥0，
∴m﹣4＝0，n﹣9＝0，
∴m＝4，n＝9，
设剪去的小正方形的边长x，
∴（m+2x）2﹣4x2＝mn，
∴（4+2x）2﹣4x2＝4×9，
解得：，
答：剪去的小正方形的边长为．
25．（14分）如图（1），△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是AC的中点，点E在CD上（点E不与点D和点C重合），AG⊥BE于点G，交BD于点F，连结DG．
（1）求证：△ADF≌△BDE；
（2）设GF＝a，GE＝b，GD＝c，证明：a+b＝；
（3）如图（2），延长AG交BC于点M，若点M是BC中点，点N是AB的中点，请证明点N、F、C三点共线．


【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ADF＝∠BDE＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°，AD＝BD，由AF⊥BE得∠1+∠2＝90°，由∠BDE＝90°得∠3+∠2＝90°，则∠1＝∠3，根据ASA即可得到结论；
（2）过点D作DH⊥DG交AF点H，如图，证明△DHF≌△DGE（ASA），根据全等三角形的性质得DH＝DG，GE＝HF，则△DHG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，则即；
（3）连结NF，CF，如图，根据中点的定义得，，由AB＝BC得BN＝BM，证明△BFN≌△BFM（SAS），可得∠BFN＝∠BFM，再证△ADF≌△CDF（SSS），可得∠AFD＝∠CFD，由对顶角∠BFM＝∠AFD得∠BFM＝∠AFD＝∠CFD，则∠NFM＝∠AFC，由∠AFC+∠CFM＝180°得∠NFM+∠CFM＝180°，即N、F、C三点共线．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，点D是AC的中点，

∴∠ADF＝∠BDE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠BAC＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵AF⊥BE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠BDE＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ADF和△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE（ASA）；
（2）证明：（法一）过点D作DH⊥DG交AF点H，如图，

∴∠5+∠BDG＝90°，
∵∠6+∠BDG＝90°，
∴∠5＝∠6，
∵△ADF≌△BDE，
∴∠4＝∠2，DF＝DE，
∴△DHF≌△DGE（ASA），
∴DH＝DG，GE＝HF，
又∵DH⊥DG，
∴△DHG是等腰直角三角形，
∴，
∴即；
（法二）过点D作DH⊥DG交BE的延长线于点H，如图，

则∠6+∠EDH＝90°，
∵∠6+∠FDG＝90°，
∴∠FDG＝∠EDH，
∵△ADF≌△BDE，
∴∠4＝∠2，DF＝DE，
∴∠DFG＝∠DEH，
∴△FDG≌△EDH（ASA），
∴DH＝DG，GF＝EH，
∴△DHG是等腰直角三角形，
∴，
∵GF＝EH，
∴即；
（3）证明：连结NF，CF，如图，

∵点N是AB的中点，点M是BC的中点，
∴，，
∵AB＝BC，
∴BN＝BM，
∵AB＝BC，点D是AC的中点，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵BF＝BF，
∴△BFN≌△BFM（SAS），
∴∠BFN＝∠BFM，
∴BD垂直平分AC，
∴AF＝CF，
又∵AD＝CD，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF（SSS），
∴∠AFD＝∠CFD，
∵∠BFM＝∠AFD，
∴∠BFM＝∠AFD＝∠CFD，
∴∠NFM＝∠AFC，
∵∠AFC+∠CFM＝180°，
∴∠NFM+∠CFM＝180°，
∴N、F、C三点共线．