2022高考数学一轮复习专题07 函数的零点问题（解析卷）

专题07  函数的零点问题

一、题型选讲

题型一 、运用函数图像判断函数零点个数

可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为       

【答案】： 5　

【解析】：因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.

 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．

例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f(x)＝则函数y＝|f(x)|－的零点个数为________．

【答案】：. 4　

【解析】设g(x)＝，则由g′(x)＝＝＝0，可得x＝，所以g(x)在(1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，当x→＋∞时，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值为g()＝＞.在同一平面直角坐标系中画出y＝|f(x)|与y＝的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．

例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的零点个数为________．

【答案】

【解析】，，

由题可知或，

解得或，

故有3个零点.

本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数.

题型二、函数零点问题中参数的范围

已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：

(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．

(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．

例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知若函数恰有一个零点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】时，，，所以函数在时有一个零点，从而在时无零点，即无解．

而当时，，，它是减函数，值域为，

要使无解．则．

故选：B.

例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

令,画出与的图象,

平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故

故选：A

例6、【2020年高考天津】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根

即可，

令，即与的图象有个不同交点.

因为，

当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；

当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；

当时，如图3，当与相切时，联立方程得，

令得，解得（负值舍去），所以.

综上，的取值范围为.

故选：D．

例7、【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则

A．a<–1，b<0   B．a<–1，b>0   

C．a>–1，b<0   D．a>–1，b>0

【答案】C

【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，

则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；

当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，

，

当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，

y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，

则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；

当a+1＞0，即a>﹣1时，

令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，

令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，

则函数最多有2个零点.

根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，

如图：

∴0且，

解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，

则a>–1，b<0.

故选C．

本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．

例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数，若函数有9个零点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意，函数有9个零点，可转化为与有9个

不同交点.因当有，所以在上是周期函数，又当

时，有，，所以在上的图象如图所示

要使与有9个不同交点，则只需夹在与之间即可，

所以，解得或.

故选：A.

例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数，若函数在上只有两个零点，则实数的值不可能为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】函数的零点为函数与图象的交点，在同一直角坐标下作出函数与的图象，如图所示，

当函数的图象经过点（2，0）时满足条件，此时 ，当函数的图象经过点（4，0）时满足条件，此时 ，当函数的图象与相切时也满足题意，此时 ，解得， 综上所述，或或．

二、达标训练

1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，，

，，

，由.

故选：C

2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0）     B．[0，+∞）

C．[–1，+∞）     D．[1，+∞）

【答案】C

【解析】画出函数的图象，在y轴右侧的图象去掉，再画出直线，之后上下移动，

可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，

此时满足，即.

故选C．

3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知，函数，若函数恰有3个零点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

令，则条件等价为方程有3个实数根．

当时，．

对A选项分析：当，时，在，，，图象如

图所示：

此时方程最多只有1个实数根，所以A选项错误．

对B选项分析：当，时，在，，，图象如图所示：

故方程可能会出现3个实数根，所以B选项正确．

对C选项分析：当，时，在，图象如图所示：

此时方程最多只有2个实数根，所以C选项错误．

对D选项分析：当，时，在，图象如图所示：

此时方程最多只有2个实数根，所以D选项错误．

故选：.

4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】令函数，因为，

，

为奇函数，当时，，

在上单调递减，在上单调递减．

存在，得，，即，

；，

为函数的一个零点；当时，，

函数在时单调递减，由选项知，取，

又，要使在时有一个零点，

只需使，解得，的取值范围为，

故选：．

5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】函数的图象如下图所示，
作出直线l：，平移直线l至与之间时，方程有三个不同的实根，

而由得，当时，即（舍去）时，得直线，

当直线l：，过点时，得直线，此时，

所以要使方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是：，

故答案为：.

6、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

【答案】(1,4)；

【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是

当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.

7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【解析】由题得函数的图象和直线有六个交点.显然有.

,（），

所以函数在单调递减，在单调递增，且.

由题得，

三点的高度应满足或,

所以或，

因为所以或，

综合得.故答案为：.