2022高考数学一轮复习专题09 圆锥曲线中的直线（线段）的问题（原卷）

专题09 圆锥曲线中的直线（线段）的问题

解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解决解析几何问题主要有两种方法：．一般的，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用的好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目，方法选择的不同，差别会很大，因此要注意从此题的解法中体会设点法和设线法的不同．

一、题型选讲

题型一 、圆锥曲线中的线段的关系

例1、【2020年高考北京】设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线

A． 经过点 B． 经过点

C． 平行于直线 D． 垂直于直线

例2、(2019南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q两点，且PQ的中点R在直线l上．点M(1，0)．

(1) 求椭圆E的方程；

(2) 求证：MR⊥PQ.

例3、(2016南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点(2,1)在椭圆C上．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点.

①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；

②求证： OP⊥OQ.

题型二、圆锥曲线中直线的斜率问题

例4、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知，是椭圆上的两点(点在第一象限)，若，且直线，的斜率互为相反数，且，则直线的斜率为____________.

例5、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆的离心率为，是其右焦点，直线与椭圆交于，两点，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，若为锐角，求实数的取值范围.

例6、(2018苏锡常镇调研）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点，，点A是椭圆的下顶点．

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 过点A且互相垂直的两直线l1，l2与直线y＝x分别相交于E，F两点，已知OE＝OF，求直线l1的斜率．

例7、(2019苏州期初调查）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．

题型三、圆锥曲线中直线的方程

例8、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

例9、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，点在准线上的投影为，若是抛物线上一点，且.

（1）证明：直线经过的中点；

（2）求面积的最小值及此时直线的方程.

例10、(2018南通、泰州一调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，两条准线之间的距离为4.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2＋y2＝上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．

二、达标训练

1、(2019宿迁期末）如图所示，椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右准线方程为x＝4，过点P(0，4)作关于y轴对称的两条直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与椭圆交于不同两点D，C.

(1) 求椭圆M的方程；

(2) 证明：直线AC与直线BD交于点Q(0，1)；

(3) 求线段AC长的取值范围．

2、(2018扬州期末）已知椭圆E1：＋＝1(a>b>0)，若椭圆E2：＋＝1(a>b>0，m>1)，则称椭圆E2与椭圆E1“相似”．

(1) 求经过点(，1)，且与椭圆E1：＋y2＝1“相似”的椭圆E2的方程．

(2) 若椭圆E1与椭圆E2“相似”，且m＝4，椭圆E1的离心率为，P在椭圆E2上，过P的直线l交椭圆E1于A，B两点，且＝λ.

①若B的坐标为(0，2)，且λ＝2，求直线l的方程；

②若直线OP，OA的斜率之积为－，求实数λ的值．

3、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．

(1) 若点C的坐标为，求a，b的值；

(2) 设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且＝，求直线AB的斜率．

4、(2017无锡期末）已知椭圆＋＝1，动直线l与椭圆交于B，C两点(点B在第一象限)．

(1) 若点B的坐标为，求△OBC的面积的最大值；

(2) 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，且3y1＋y2＝0，求当△OBC的面积最大时直线l的方程．

5、(2018南京、盐城、连云港二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，上顶点A到右焦点的距离为.过点D(0，m)(m≠0)作不垂直于x轴，y轴的直线l交椭圆E于P，Q两点，C为线段PQ的中点，且AC⊥OC.

(1) 求椭圆E的方程；

(2) 求实数m的取值范围；

(3) 延长AC交椭圆E于点B，记△AOB与△AOC的面积分别为S1，S2，若＝，求直线l的方程．