2022届新教材北师大版平面向量单元测试含答案18

2022届新教材北师大版  平面向量  单元测试

一、选择题

1、已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于(　　)

A． 1    B．     C．     D． 3

2、动点满足点为，为原点，，则的最大值是（   ）

A．                     B．                    

C．                    D．

3、已知点，则向量在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

4、已知向量，若，则锐角为（    ）

A． B． C． D．

5、已知向量， ，若，则（    ）

A.     B.     C.     D.

6、设是半径为2的圆上的两个动点，点为中点，则的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

7、设四边形为平行四边形，，.若点满足，，则（  ）

A. 20    B. 9    C. 15    D. 6

8、若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于（ ）

A．     B．     C．     D．

9、已知平面向量，，且，则＝

A．     B．     C．     D．

10、已知向量， 若，则实数的值为（   ）

A.     B.     C.     D.

11、在中，P是AB上的一点，若，且，则（    ）

A． B． C． D．

12、在中，点是的中点，点在上且，交于点，设，则的值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13、已知点3，与点1，，则AB的中点坐标为______．

14、如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则_________．

15、如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是________.

16、若向量，满足，，且，则与的夹角为          ．

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知的顶点，在边上求一点D，使.

18、（本小题满分12分）如图，在中，点M是的中点，与交于点N．设，试用表示．

19、（本小题满分12分）已知a，b不共线，＝2a＋kb，＝a＋3b，＝2a－b，若A，B，D三点共线，求实数k的值．

参考答案

1、答案C

解析根据投影相等可得=0，计算（）2即可得出||．

详解

∵在方向上的投影与在方向上的投影相等，

∴=，

∴=0，

∴（）2==5，

∴||=，

故选：C．

点睛

本题考查了平面向量投影公式，模长计算，属于中档题．

2、答案C

解析,作出不等式组对应的平面区域如图,则的夹角最小,由,计算得出,即,则,又,则,所以的最大值是,故选C.

考点：平面向量的数量积.

方法点晴本题考查学生的是简单的线性规划,属于中档题目.线性规划中的目标函数要掌握基本的几何意义,比如斜率,距离和平行直线系等,本题要求的最大值,通过分离参变量可以得到,即求在方向上的投影最大,因此当可行域内的任一点与点重合时,满足题意,联立两条直线方程求出点的坐标,代入公式即可求得的最大值.

3、答案A

解析详解

，，向量在方向上的投影为，故选A．

4、答案B

解析根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.

详解：因为，所以

因为为锐角，所以

故选：B

点睛

本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.

5、答案D

解析因为，所以，解得，故选D.

6、答案A

解析将两个向量，都转化为两个方向上，然后利用数量积的公式和三角函数的值域，求得题目所求数量积的取值范围.

详解

依题意，

其中是两个向量的夹角，范围是，

故，所以，故选A.

点睛

本小题主要考查向量数量积运算，考查向量减法运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

7、答案B

详解：因为

所以

因此选B.

点睛：平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

8、答案C

解析∵向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)

∴2a＋b，a－b

∴

∴2a＋b与a－b的夹角等于

故选：C

9、答案B

解析根据向量平行求出x的值，结合向量模长的坐标公式进行求解即可．

详解

且 ，则

故

故选B.

点睛

本题考查向量模长的计算，根据向量平行的坐标公式求出x的值是解决本题的关键．

10、答案A

解析因为，所以 ,选A.

11、答案A

解析由平面向量加减法法则对化简，再与对比可求出的值.

详解：解：由，得，

所以，

所以，

所以，

故选：A

点睛

此题考查平面向量的加减法法则，属于基础题.

12、答案D

详解：由题意，在中，，

所以，

因为三点共线，所以，解得，故选D．

点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用，对于平面向量基本定理的应用，通常(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

13、答案

解析直接利用中点坐标公式求解即可．

详解

点，与点，，

设的中点坐标为

由中点坐标公式可得，

可得的中点坐标：，．

故答案为，．

点睛

本题考查了中点坐标公式，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，属于基础题．

14、答案

解析，将代入即可得到答案.

详解：连接，，

则．

故答案为：.

点睛

本题考查平面向量的基本定理的应用，考查学生简单的数学运算能力，是一道容易题.

15、答案

解析将均用表示出来，进而将，表示成与相关，可以求出 ，同时可用表示，即可求出结果.

详解：因为，

，

因此，

故答案为：.

点睛

研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．

16、答案

解析根据题意，由于，，且，可知 ，故可知两个向量的夹角为钝角且为。

考点向量的数量积

17、答案

详解：由题，只要即可.

设点D的坐标为，当时，，则

.

所以，点D的坐标为.

点睛

本题主要考查了三角形的面积及其性质、利用向量坐标解决平面向量的共线问题以及定比分点的运用，属于基础题.

解析

18、答案，.

详解：解：．

设，即，

又因为三点共线，

解得，故．

点睛

利用平面向量分解定理，用表示，再利用与共线，三点共线即可解决问题，属于基础题．

解析

19、答案∵＝＋＝－＋＝a－4b，

而a与b不共线，∴≠0.

又∵A，B，D三点共线，∴，共线．

故存在实数λ，使＝λ，即2a＋kb＝λa－4λb.

又∵a与b不共线，

∴由平面向量基本定理，得？k＝－8.

解析