2022届新教材北师大版计数原理单元测试含答案5

2022届新教材北师大版  计数原理 单元测试

一、选择题

1、将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（    ）种．

A．6 B．12 C．18 D．36

2、某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（　　）

A．9×8×7×6×5×4×3 B．8×96

C．9×106 D．81×105

3、一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（　　）

A. 8    B. 15    C. 16    D. 30

4、汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为、、、、（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（    ）

A．20 B．15

C．10 D．5

5、将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)

A．2160 B．720 C．240 D．120

6、现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 （　　）

A． 144种    B． 72种    C． 64种    D． 84种

7、设，则的值为(    )

A． B． C． D．

8、某班小张等4位同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有(　　)

A．27种    B．36种    C．54种    D．81种

9、若4位同学报名参加3个不同的课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（    ）

A． 34种    B． 9种    C． 43种    D． 12种

10、如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路.从甲地到丁地的不同路线共有（    ）

A．条 B．条

C．条 D．条

11、已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（    ）

A． B． C． D．

12、一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为（   ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13、某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数为________．

14、在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________．

根据题意个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．

15、4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是          

16、由数字0、1、2、3、4可组成不同的三位数的个数是          

三、解答题

17、（本小题满分10分）有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．

 （1）从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？

 （2）从袋子里任取红、白、黄色小球各一个，有多少种不同取法？

18、（本小题满分12分）从1、2、3、4、5五个数字中任意取出无重复的3个数字.

（I）可以组成多少个三位数？

（II）可以组成多少个比300大的偶数？

（III）从所组成的三位数中任取一个，求该数字是大于300的奇数的概率.

19、（本小题满分12分）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位偶数？

参考答案

1、答案A

解析完成此事分三步完成，利用乘法分步原理得解.

详解

先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格（不能选与第一步同行的的空格）不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格（不能选与第一、二步同行的空格）不放硬币，有1种方法.所以共有种方法.

故选：A

点睛

本题主要考查计数原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2、答案D

解析解：由题意知本题是一个分步计数问题，电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时为9×106．∴可增加的电话部数是9×106-9×105=81×105．故选D．

3、答案

解析分两类：3+5=8，故选A。

考点本题主要考查分类计数原理的应用。

4、答案C

解析正五边形，考虑先固定，第二步只能固定或，依次确定第三步和第四第五步，共两种顺序，同理先固定其他四个位置各两种，一共十种顺序.

详解

此题相当于在正五边形中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，

考虑放第一个位置，第二步只能或，依次ACEBD或ADBEC两种；

同理分别让B、C、D、E放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.

故选：C

点睛

此题考查计数原理的应用，需要弄清完成一件事情是通过如何分类或分步完成，适当的情况下列举出部分基本情况对解题大有帮助.

5、答案B

解析按顺序分步骤确定每张门票的分法种数，根据分步乘法计数原理得到结果.

详解

分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．

本题答案为B.

点睛

本小题主要考查分步乘法计数原理，考查分析问题的能力，属于基础题.

6、答案D

详解

根据分步计数原理知共有4×3×（3+2×2）=84种结果，故选：D

点睛

在解决计数问题时，首先要仔细分析——需要分类还是分步，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”。

7、答案A

解析

8、答案C

解析根据题意，分析可得除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，由分步计数原理计算可得答案．

详解

根据题意，分析可得：除小张外，每位同学都可以报A、B、C三个课外活动小组中任意一个，都有3种选择，

小张不能报A小组，只有2种选择，

所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54（种）．

故选：C．

点睛

本题考查分步计数原理的应用，注意本题不是排列问题．

9、答案C

解析分析

由分步计数原理人去选活动小组，可得结果。

详解

由分步计数原理人去选活动小组，每个人都选完，事情结束，所以方法数为43种。选C.

点睛

本题考查分步计数原理求完成事情的方法数，只需要区分理解分类计数原理与分步计数原理。

10、答案C

解析分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可.

详解：若线路为甲乙丁则有,路线为甲丙丁则有.故共有.

故选：C

点睛

本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题.

11、答案D

解析根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率，不放回情况下第二次检测出类产品的概率，即可得解.

详解：类产品共两件，类产品共三件，

则第一次检测出类产品的概率为；

不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出类产品的概率为；

故第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为；

故选：D.

点睛

本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.

12、答案C

解析4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答的等可能结果有16种，而4位同学选择在同一道题作答的等可能结果有2种，从而4位同学选择同一道题作答的概率为，故第22题和第23题都有同学选答的概率为.

故选C.

13、答案50

解析

14、答案36个

解析

15、答案

解析因为4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，由分步乘法计数得到为

16、答案100

解析根据分步计数原理共有4×5×5=100个.(首位不能为0)

17、答案（1）从袋子中任取一球，有三类不同的办法：取红球有6种，取白球有5种，取黄球有4种，由分类计数原理知有6＋5＋4=15种方法．

 （2）从袋里任取三色球各一个，完成这件事需要分三步，第一步取红球有6种，第二步取白球有5种，第三步取黄球有4种，由分步计数原理可知有6×5×4=120种．

解析同样是取球，但应分清是“分类”还是分步，才能选择是分类计数还是分步计数．

18、答案(1).

（2）比三百大的数字有15个.

(3).

详解：

（1）百位数字有5种选择，十位数字有4种选择，各位数字有3种选择，根据乘法计数原理可知可组成个三位数。

（2）各位数字上有两类：

第一类：以2结尾百位有3种选择，十位有3种选择。则有9个数字。

第二类：以4结尾，百位有2种选择，十位有3种选择，则共有6个数字。则比三百大的数字有15个

（3）比300大的数字，百位上有3种选择，十位上有4种选择，个位上有3种选择，则共有36个数字，则奇数共有21个，则该数字是大于300的奇数的概率是.

点睛：解答排列、组合问题的角度：

解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．

(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；

(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；

(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．

解析

19、答案120(个)

第一类是用0当结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48(个)；

第二类是用2当结尾的比2000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．

依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36(个)；

第三类是用4当结尾的比2000大的4位偶数，其步骤同第二类．

对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字且比2000大的四位偶数有4×4×3＋3×4×3＋3×4×3＝120(个)．

解析