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初中数学人教版八年级下册18.1.1 平行四边形的性质练习
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这是一份初中数学人教版八年级下册18.1.1 平行四边形的性质练习，共19页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
18.1.1 平行四边形的性质
一、选择题．
1．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A．4和6 B．6和8 C．8和12 D．20和30
【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．
【解析】如图，BC＝10cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=12BD，OC=12AC；
A、若AC＝4，BD＝6，
则OB＝3，OC＝2，
∵2+3＜10，不能组成三角形，
故本选项错误；
B、若AC＝6，BD＝8，
则OB＝4，OC＝3，
∵3+4＜10，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
C、若AC＝8，BD＝12，
则OB＝6，OC＝4，
∵4+6＝10，不能组成三角形，
故本选项错误；
D、若AC＝20，BD＝30，
则OB＝15，OC＝10，
∵15﹣10＜10＜15+10，能组成三角形，
故本选项正确．
故选：D．
2．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为10，则AB的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴BC+CD＝10÷2＝5，
根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．
∴BC＝3，CD＝2，
∴AB＝CD＝2，
故选：A．
3．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，GH∥AB．分别交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，连接PB．若AE＝3，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【分析】注意到易证得△AEP∽△CFP，则有AEFC=PEPF，整理得，FC•PE＝AE•PF＝8×3＝24，而阴影部分的面积为12•BE•PE，由四边形ABCD为矩形，则BE＝FC，即阴影部分的面积为12•FC•PE=12×24＝12，即为答案．
【解析】
∵矩形ABCD的对角线AC
∴∠EAP＝∠FCP
∴△AEP∽△CFP
∴AEFC=PEPF
∴FC•PE＝AE•PF＝8×3＝24
∵EF∥BC
∴四边形EFCB为矩形
∴EB＝FC
∵阴影部分的面积为12•BE•PE
∴阴影部分的面积为12•BE•PE=12•FC•PE=12×24＝12
故选：B．
4．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：
①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF；
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF＝FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．
【解析】如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
在△DFE和△CFG中，∠D=∠FCGDF=CF∠DFE=∠CFG
∴△DFE≌△FCG（ASA），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，
故选：D．
5．如图，在▱ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF＝45°，CE＝3，DF＝1，则▱ABCD的面积是（ ）
A．18﹣32 B．15+32 C．15﹣32 D．18+32
【分析】在四边形BEDF中，由四边形的内角和为360°及已知条件求出∠D＝135°，根据平行四边形的性质求出∠A＝∠C＝45°，利用直角三角形的性质求出BC＝AD＝32，进而求出面积即可．
【解析】∵BE⊥CD，BF⊥AD，
∴∠BEC＝90°，∠BED＝∠BFD＝90°，
∵∠EBF＝45°，
∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠C＝180°﹣∠D＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵CE＝3，
∴BE＝EC＝3，
∴BC＝32，
∵DF＝1，
∴AF＝BF＝32−1，
∴▱ABCD的面积是AD×BF＝32×（32−1）＝18﹣32．
故选：A．
6．如图，E、F在▱ABCD的对角线AC上，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝54°，则∠ADE的大小为（ ）
A．46° B．27° C．28° D．18°
【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE=12AF＝AE＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝54°﹣x，得出方程，解方程即可．
【解析】设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE=12AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝54°﹣x，
∴2x＝54°﹣x，
解得：x＝18°，
即∠ADE＝18°；
故选：D．
7．如图，平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD∥EH且AD＝EH，CE交GH于点O，已知S▱ABCD＝a，S▱EFGH＝b（a＜b），则S阴影为（ ）
A．b﹣a B．12（b﹣a） C．12a D．12b
【分析】证△EHO≌△CBO（AAS），得出图中阴影部分面积的是平行四边形EHGF的一半解答即可．
【解析】∵平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD∥EH且AD＝EH，
∴EH＝BC，EH∥BC，
∴∠EHO＝∠CBO，
在△EHO与△CBO中，∠HOE=∠BOC∠EHO=∠CBOEH=CB，
∴△EHO≌△CBO（AAS），
∴△EHO面积＝△CBO面积，
∴S阴影＝S△EGH=12S▱EFGH=12b；
故选：D．
8．如图所示，平行四边形ABCD中，AC＝4cm，BD＝6cm，则边AD的长可以是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】根据三角形的三边关系求出AD的范围即可判断；
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝4cm，BD＝6cm，
∴OA=12AC＝2，OD=12BD＝3，
∴1＜AD＜5，只有4cm适合，
故选：A．
9．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），则a+b的值为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．11
【分析】利用中点坐标公式，构建方程求出a、b即可．
【解析】如图，连接AC、BD交于点O′．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO′＝O′C，BO′＝O′D，
∵A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），
∴3+b2=2+82，a+32=2+62，
∴a＝5，b＝7，
∴a+b＝12，
故选：C．
10．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，BC＝4，点F是CD上一个动点，以FA、FB为邻边作另一个▱AEBF，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是（ ）
①▱AEBF的面积先由小变大，再由大变小
②▱AEBF的面积始终不变
③线段EF最小值为42
A．① B．② C．①③ D．②③
【分析】过点C作CG⊥AB于点G，根据三角形的面积公式知△ABF的面积始终不变化，进而根据平行四边形与三角形的面积关系得出▱AEBF的面积始终不变，便可判断①、②的正误；连接EF，与AB交于点H，由于EF始终经过AB的中点H，当FH与AB垂直时，EF的值最小，求出此时的EF的值便可．
【解析】过点C作CG⊥AB于点G，
则S△ABF=12AB⋅CG，
∵AB与CG的值始终不变化，
∴△ABF的面积始终不变化，
∵▱AEBF的面积＝2×△ABF的面积，
∴▱AEBF的面积始终不变
∴①错误，②正确；
连接EF，与AB交于点H，
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴AH＝BH，EH＝FH，
当FH⊥AB时，FH的值最小，EF＝2FH的值也最小，
此时，FH＝CG，
∵∠ABC＝45°，CG⊥AB，
∴BG＝CG，
∵BG2+CG2＝BC2＝16，
∴CG=22，
∴FH=22，
∴线段EF最小值为EF＝2FH＝42．
∴③正确，
故选：D．
二、填空题．
11．如图，已知▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，则▱ABCD的面积为 93 cm2．
【分析】根据▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，可求得AB和BC，在Rt△ABE中可求得AE，可求出四边形ABCD的面积．
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，
∴2（AB+BC）＝18，
∴6AB＝18，
∴AB＝3，
∴BC＝6，
∵∠A+∠B＝180°，∠A＝2∠B，
∴3∠B＝180°，
∴∠B＝60°，
∴AE=332，
∴▱ABCD的面积为：
BC•AE＝6×332=93（cm2）．
故答案为：93．
12．在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线交平行四边形的边于点E，若DE＝1，则▱ABCD的周长是 14 ．
【分析】由平行四边形ABCD得到AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，再和已知BE平分∠ABC，进一步推出∠ABE＝∠AEB，即AB＝AE＝3，即可求出AB、AD的长，就能求出答案．
【解析】如图，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝AE+DE＝4，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝14，
故答案为14．
13．在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝43，连接BD，若BD＝4，则线段CD的长为 4或8 ．
【分析】作DE⊥AB于E，由直角三角形的性质得出DE=12AD＝23，由勾股定理得出AE=3DE＝6，BE=BD2−DE2=2，得出AB＝AE﹣BE＝4，或AB＝AE+BE＝8，即可得出答案．
【解析】作DE⊥AB于E，如图所示：
∵∠A＝30°，
∴DE=12AD＝23，
∴AE=3DE＝6，BE=BD2−DE2=42−(23)2=2，
∴AB＝AE﹣BE＝4，或AB＝AE+BE＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4或8；
故答案为：4或8．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长为 10 ．
【分析】根据平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质即可求出△CDE的周长．
【解析】∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB＝DC＝4，BC＝AD＝6，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴EA＝EC，
∴DE+EC＝DE+EA＝AD＝6，
则△CDE的周长为：
DE+EC+DC＝AD+DC＝6+4＝10．
故答案为：10．
15．在▱ABCD中，AB＜BC，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若▱ABCD的周长为20cm，则△CDE的周长为 10 cm．
【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质解答即可．
【解析】∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE，
∵▱ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC＝10cm，
∴△CDE的周长＝DE+CE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝10cm，
故答案诶：10．
16．▱ABCD中，对角线AC和BD相交于O，如果AC＝10，BD＝6，AB＝m，那么m的取值范围是 2＜m＜8 ．
【分析】根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到OB﹣OA＜m＜OA+OB，代入求出即可求得m的取值范围．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝6，
∴OA＝OC＝5，OD＝OB＝3，
在△OAB中，OB﹣OA＜m＜OA+OB，
∴5﹣3＜m＜5+3，
∴2＜m＜8，
故答案为：2＜m＜8．
17．如图，平行四边形中，∠ADC＝118°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝ 62 度．
【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵∠ADC＝118°，DF⊥BC，
∴∠ADF＝90°，
则∠EDH＝28°，
∵BE⊥DC，
∴∠DEH＝90°，
∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣28°＝62°．
故答案为：62．
18．如图，在△ABC中，AC=43，∠CAB＝30°，D为AB上的动点，连接CD，以AD、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为 23 ．
【分析】取AC的中点O，当OD⊥AB时，DE的长最小，根据含30°的直角三角形的性质可求OD，即可得出DE的最小值．
【解析】如图，取AC的中点O，当OD⊥AB时，DE的长最小，
∵AC=43，
∴AO＝23，
∵∠CAB＝30°，
∴OD=3，
∴DE长的最小值为23．
故答案为：23．
三、解答题．
19．如图，平行四边形ABCD，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE与DC相交于点O．求证：△BOC≌△EOD．
【分析】根据平行四边形性质得出AD＝BC，AD∥BC，推出∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，求出DE＝BC，根据ASA推出两三角形全等即可．
【解析】证明：∵在平行四边形ABCD中，
AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
在△BOC和△EOD中，
∵∠OBC=∠OEDBC=DE∠OCB=∠ODE，
∴△BOC≌△EOD（ASA）．
20．如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
【分析】（1）先证明∠B＝∠EAD，然后利用SAS可进行全等的证明；
（2）先根据等腰三角形的性质可得∠BAE＝50°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．
【解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
AB=AE∠ABC=∠EADBC=AD，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠BAE＝50°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝75°．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，点E为AD的中点，易证得△DEC≌△AEF（AAS），继而可证得DC＝AF，又由DC＝AB，证得结论；
（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，然后由∠BCD＝100°求得BE平分∠CBF，继而求得答案．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DCE＝∠F，∠FBC+∠BCD＝180°，
∵E为AD的中点，
∴DE＝AE．
在△DEC和△AEF中，
∠DCE=∠F∠DEC=∠AEFDE=AE，
∴△DEC≌△AEF（AAS）．
∴DC＝AF．
∴AB＝AF；
（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，
∵∠BCD＝100°，
∴∠FBC＝180°﹣100°＝80°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝BC，
∴BE平分∠CBF，
∴∠ABE=12∠FBC=12×80°＝40°
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE＝AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠AED＝90°−12∠DCE；
（2）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB=12∠DEF．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠CDE＝∠CED=180°−∠DCE2=90°−12∠DCE，由平行线的性质可得结论；
（2）延长DA，FE于点M，由“AAS”可证△AEM≌△BEF，可得ME＝EF，由直角三角形的性质可得DE＝EF＝ME，由等腰三角形的性质和外角性质可得结论．
【解析】证明：（1）∵CE＝AB，AB＝CD
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED=180°−∠DCE2=90°−12∠DCE，
∵CD∥AB
∴∠AED＝∠CDE＝90°−12∠DCE；
（2）如图，延长DA，FE于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，且DF⊥BC
∴DF⊥AD，∠M＝∠EFB
∵∠M＝∠EFB，AE＝BE，∠AEM＝∠FEB
∴△AEM≌△BEF（AAS）
∴ME＝EF，且DF⊥DM
∴ME＝DE＝EF
∴∠M＝∠MDE
∴∠DEF＝∠M+∠MDE＝2∠M
∴∠EFB=12∠DEF
23．如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝4，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB∥DF，进而利用等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据三角函数解答即可．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠AFD，
∵AD＝DF，
∴∠DAE＝∠AFD，
∴∠BAE＝∠DAE，
即AE平分∠BAD；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DF，AB＝DC，AD＝BC，
∵点E为BC中点，
∴BE＝EC=12AD=2，
∵AD＝DF＝4，
∴CD＝AB＝2，
∵∠B＝60°，
∴BC边的高是3，
∴▱ABCD的面积＝43．
24．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用ASA即可证明．
（2）结论：CH⊥DG．利用三角形中位线定理，证明CH∥AF即可解决问题．
【解析】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠ECF
∵E为BC的中点，∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
∠B=∠ECFBE=EC∠AEB=∠FEC
∴△ABE≌△FCE．
（2）结论：CH⊥DG．理由如下：
∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，
∵AB＝CD，∴DC＝CF，
∵H为DG的中点，∴CH∥FG
∵DG⊥AE，∴CH⊥DG．
18.1.1 平行四边形的性质
一、选择题．
1．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A．4和6 B．6和8 C．8和12 D．20和30
【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．
【解析】如图，BC＝10cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=12BD，OC=12AC；
A、若AC＝4，BD＝6，
则OB＝3，OC＝2，
∵2+3＜10，不能组成三角形，
故本选项错误；
B、若AC＝6，BD＝8，
则OB＝4，OC＝3，
∵3+4＜10，
∴不能组成三角形，
故本选项错误；
C、若AC＝8，BD＝12，
则OB＝6，OC＝4，
∵4+6＝10，不能组成三角形，
故本选项错误；
D、若AC＝20，BD＝30，
则OB＝15，OC＝10，
∵15﹣10＜10＜15+10，能组成三角形，
故本选项正确．
故选：D．
2．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为10，则AB的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴BC+CD＝10÷2＝5，
根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．
∴BC＝3，CD＝2，
∴AB＝CD＝2，
故选：A．
3．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，GH∥AB．分别交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，连接PB．若AE＝3，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【分析】注意到易证得△AEP∽△CFP，则有AEFC=PEPF，整理得，FC•PE＝AE•PF＝8×3＝24，而阴影部分的面积为12•BE•PE，由四边形ABCD为矩形，则BE＝FC，即阴影部分的面积为12•FC•PE=12×24＝12，即为答案．
【解析】
∵矩形ABCD的对角线AC
∴∠EAP＝∠FCP
∴△AEP∽△CFP
∴AEFC=PEPF
∴FC•PE＝AE•PF＝8×3＝24
∵EF∥BC
∴四边形EFCB为矩形
∴EB＝FC
∵阴影部分的面积为12•BE•PE
∴阴影部分的面积为12•BE•PE=12•FC•PE=12×24＝12
故选：B．
4．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：
①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF；
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF＝FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．
【解析】如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
在△DFE和△CFG中，∠D=∠FCGDF=CF∠DFE=∠CFG
∴△DFE≌△FCG（ASA），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，
故选：D．
5．如图，在▱ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF＝45°，CE＝3，DF＝1，则▱ABCD的面积是（ ）
A．18﹣32 B．15+32 C．15﹣32 D．18+32
【分析】在四边形BEDF中，由四边形的内角和为360°及已知条件求出∠D＝135°，根据平行四边形的性质求出∠A＝∠C＝45°，利用直角三角形的性质求出BC＝AD＝32，进而求出面积即可．
【解析】∵BE⊥CD，BF⊥AD，
∴∠BEC＝90°，∠BED＝∠BFD＝90°，
∵∠EBF＝45°，
∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠C＝180°﹣∠D＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵CE＝3，
∴BE＝EC＝3，
∴BC＝32，
∵DF＝1，
∴AF＝BF＝32−1，
∴▱ABCD的面积是AD×BF＝32×（32−1）＝18﹣32．
故选：A．
6．如图，E、F在▱ABCD的对角线AC上，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝54°，则∠ADE的大小为（ ）
A．46° B．27° C．28° D．18°
【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE=12AF＝AE＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝54°﹣x，得出方程，解方程即可．
【解析】设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE=12AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝54°﹣x，
∴2x＝54°﹣x，
解得：x＝18°，
即∠ADE＝18°；
故选：D．
7．如图，平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD∥EH且AD＝EH，CE交GH于点O，已知S▱ABCD＝a，S▱EFGH＝b（a＜b），则S阴影为（ ）
A．b﹣a B．12（b﹣a） C．12a D．12b
【分析】证△EHO≌△CBO（AAS），得出图中阴影部分面积的是平行四边形EHGF的一半解答即可．
【解析】∵平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD∥EH且AD＝EH，
∴EH＝BC，EH∥BC，
∴∠EHO＝∠CBO，
在△EHO与△CBO中，∠HOE=∠BOC∠EHO=∠CBOEH=CB，
∴△EHO≌△CBO（AAS），
∴△EHO面积＝△CBO面积，
∴S阴影＝S△EGH=12S▱EFGH=12b；
故选：D．
8．如图所示，平行四边形ABCD中，AC＝4cm，BD＝6cm，则边AD的长可以是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】根据三角形的三边关系求出AD的范围即可判断；
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝4cm，BD＝6cm，
∴OA=12AC＝2，OD=12BD＝3，
∴1＜AD＜5，只有4cm适合，
故选：A．
9．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），则a+b的值为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．11
【分析】利用中点坐标公式，构建方程求出a、b即可．
【解析】如图，连接AC、BD交于点O′．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO′＝O′C，BO′＝O′D，
∵A（3，a），B（2，2），C（b，3），D（8，6），
∴3+b2=2+82，a+32=2+62，
∴a＝5，b＝7，
∴a+b＝12，
故选：C．
10．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，BC＝4，点F是CD上一个动点，以FA、FB为邻边作另一个▱AEBF，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是（ ）
①▱AEBF的面积先由小变大，再由大变小
②▱AEBF的面积始终不变
③线段EF最小值为42
A．① B．② C．①③ D．②③
【分析】过点C作CG⊥AB于点G，根据三角形的面积公式知△ABF的面积始终不变化，进而根据平行四边形与三角形的面积关系得出▱AEBF的面积始终不变，便可判断①、②的正误；连接EF，与AB交于点H，由于EF始终经过AB的中点H，当FH与AB垂直时，EF的值最小，求出此时的EF的值便可．
【解析】过点C作CG⊥AB于点G，
则S△ABF=12AB⋅CG，
∵AB与CG的值始终不变化，
∴△ABF的面积始终不变化，
∵▱AEBF的面积＝2×△ABF的面积，
∴▱AEBF的面积始终不变
∴①错误，②正确；
连接EF，与AB交于点H，
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴AH＝BH，EH＝FH，
当FH⊥AB时，FH的值最小，EF＝2FH的值也最小，
此时，FH＝CG，
∵∠ABC＝45°，CG⊥AB，
∴BG＝CG，
∵BG2+CG2＝BC2＝16，
∴CG=22，
∴FH=22，
∴线段EF最小值为EF＝2FH＝42．
∴③正确，
故选：D．
二、填空题．
11．如图，已知▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，则▱ABCD的面积为 93 cm2．
【分析】根据▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，∠A＝2∠B，可求得AB和BC，在Rt△ABE中可求得AE，可求出四边形ABCD的面积．
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵▱ABCD的周长为18cm，BC＝2AB，
∴2（AB+BC）＝18，
∴6AB＝18，
∴AB＝3，
∴BC＝6，
∵∠A+∠B＝180°，∠A＝2∠B，
∴3∠B＝180°，
∴∠B＝60°，
∴AE=332，
∴▱ABCD的面积为：
BC•AE＝6×332=93（cm2）．
故答案为：93．
12．在▱ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线交平行四边形的边于点E，若DE＝1，则▱ABCD的周长是 14 ．
【分析】由平行四边形ABCD得到AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，再和已知BE平分∠ABC，进一步推出∠ABE＝∠AEB，即AB＝AE＝3，即可求出AB、AD的长，就能求出答案．
【解析】如图，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝AE+DE＝4，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝14，
故答案为14．
13．在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝43，连接BD，若BD＝4，则线段CD的长为 4或8 ．
【分析】作DE⊥AB于E，由直角三角形的性质得出DE=12AD＝23，由勾股定理得出AE=3DE＝6，BE=BD2−DE2=2，得出AB＝AE﹣BE＝4，或AB＝AE+BE＝8，即可得出答案．
【解析】作DE⊥AB于E，如图所示：
∵∠A＝30°，
∴DE=12AD＝23，
∴AE=3DE＝6，BE=BD2−DE2=42−(23)2=2，
∴AB＝AE﹣BE＝4，或AB＝AE+BE＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4或8；
故答案为：4或8．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长为 10 ．
【分析】根据平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质即可求出△CDE的周长．
【解析】∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB＝DC＝4，BC＝AD＝6，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴EA＝EC，
∴DE+EC＝DE+EA＝AD＝6，
则△CDE的周长为：
DE+EC+DC＝AD+DC＝6+4＝10．
故答案为：10．
15．在▱ABCD中，AB＜BC，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若▱ABCD的周长为20cm，则△CDE的周长为 10 cm．
【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质解答即可．
【解析】∵对角线AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE，
∵▱ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC＝10cm，
∴△CDE的周长＝DE+CE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝10cm，
故答案诶：10．
16．▱ABCD中，对角线AC和BD相交于O，如果AC＝10，BD＝6，AB＝m，那么m的取值范围是 2＜m＜8 ．
【分析】根据平行四边形的性质求出OA、OB，根据三角形的三边关系定理得到OB﹣OA＜m＜OA+OB，代入求出即可求得m的取值范围．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝6，
∴OA＝OC＝5，OD＝OB＝3，
在△OAB中，OB﹣OA＜m＜OA+OB，
∴5﹣3＜m＜5+3，
∴2＜m＜8，
故答案为：2＜m＜8．
17．如图，平行四边形中，∠ADC＝118°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝ 62 度．
【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵∠ADC＝118°，DF⊥BC，
∴∠ADF＝90°，
则∠EDH＝28°，
∵BE⊥DC，
∴∠DEH＝90°，
∴∠DHE＝∠BHF＝90°﹣28°＝62°．
故答案为：62．
18．如图，在△ABC中，AC=43，∠CAB＝30°，D为AB上的动点，连接CD，以AD、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为 23 ．
【分析】取AC的中点O，当OD⊥AB时，DE的长最小，根据含30°的直角三角形的性质可求OD，即可得出DE的最小值．
【解析】如图，取AC的中点O，当OD⊥AB时，DE的长最小，
∵AC=43，
∴AO＝23，
∵∠CAB＝30°，
∴OD=3，
∴DE长的最小值为23．
故答案为：23．
三、解答题．
19．如图，平行四边形ABCD，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE与DC相交于点O．求证：△BOC≌△EOD．
【分析】根据平行四边形性质得出AD＝BC，AD∥BC，推出∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，求出DE＝BC，根据ASA推出两三角形全等即可．
【解析】证明：∵在平行四边形ABCD中，
AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，
∵DE＝AD，
∴DE＝BC，
在△BOC和△EOD中，
∵∠OBC=∠OEDBC=DE∠OCB=∠ODE，
∴△BOC≌△EOD（ASA）．
20．如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠B＝65°，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
【分析】（1）先证明∠B＝∠EAD，然后利用SAS可进行全等的证明；
（2）先根据等腰三角形的性质可得∠BAE＝50°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数．
【解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD，
∴∠EAD＝∠AEB，
又∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
AB=AE∠ABC=∠EADBC=AD，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠BAE＝50°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝50°+25°＝75°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝75°．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）若BC＝2AB，∠BCD＝100°，求∠ABE的度数．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，点E为AD的中点，易证得△DEC≌△AEF（AAS），继而可证得DC＝AF，又由DC＝AB，证得结论；
（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，然后由∠BCD＝100°求得BE平分∠CBF，继而求得答案．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DCE＝∠F，∠FBC+∠BCD＝180°，
∵E为AD的中点，
∴DE＝AE．
在△DEC和△AEF中，
∠DCE=∠F∠DEC=∠AEFDE=AE，
∴△DEC≌△AEF（AAS）．
∴DC＝AF．
∴AB＝AF；
（2）由（1）可知BF＝2AB，EF＝EC，
∵∠BCD＝100°，
∴∠FBC＝180°﹣100°＝80°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝BC，
∴BE平分∠CBF，
∴∠ABE=12∠FBC=12×80°＝40°
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，CE＝AB，DF⊥BC，垂足为点F，交CE于点G，连接DE，EF．
（1）求证：∠AED＝90°−12∠DCE；
（2）若点E是AB边的中点，求证：∠EFB=12∠DEF．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠CDE＝∠CED=180°−∠DCE2=90°−12∠DCE，由平行线的性质可得结论；
（2）延长DA，FE于点M，由“AAS”可证△AEM≌△BEF，可得ME＝EF，由直角三角形的性质可得DE＝EF＝ME，由等腰三角形的性质和外角性质可得结论．
【解析】证明：（1）∵CE＝AB，AB＝CD
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED=180°−∠DCE2=90°−12∠DCE，
∵CD∥AB
∴∠AED＝∠CDE＝90°−12∠DCE；
（2）如图，延长DA，FE于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，且DF⊥BC
∴DF⊥AD，∠M＝∠EFB
∵∠M＝∠EFB，AE＝BE，∠AEM＝∠FEB
∴△AEM≌△BEF（AAS）
∴ME＝EF，且DF⊥DM
∴ME＝DE＝EF
∴∠M＝∠MDE
∴∠DEF＝∠M+∠MDE＝2∠M
∴∠EFB=12∠DEF
23．如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD＝DF，连接DE．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝4，求▱ABCD的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB∥DF，进而利用等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据三角函数解答即可．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠AFD，
∵AD＝DF，
∴∠DAE＝∠AFD，
∴∠BAE＝∠DAE，
即AE平分∠BAD；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DF，AB＝DC，AD＝BC，
∵点E为BC中点，
∴BE＝EC=12AD=2，
∵AD＝DF＝4，
∴CD＝AB＝2，
∵∠B＝60°，
∴BC边的高是3，
∴▱ABCD的面积＝43．
24．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用ASA即可证明．
（2）结论：CH⊥DG．利用三角形中位线定理，证明CH∥AF即可解决问题．
【解析】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠ECF
∵E为BC的中点，∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
∠B=∠ECFBE=EC∠AEB=∠FEC
∴△ABE≌△FCE．
（2）结论：CH⊥DG．理由如下：
∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，
∵AB＝CD，∴DC＝CF，
∵H为DG的中点，∴CH∥FG
∵DG⊥AE，∴CH⊥DG．
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