2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案9

2022届新教材北师大版  导数及其运用   单元测试

一、选择题

1、已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）

A. 1    B. -1    C. 2    D. -2

2、函数，在的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是

A． B． C． D．的大小无法确定

3、若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 （）

A．64            B．32               C．16            D．8

4、一条斜率为1的直线分别与曲线和曲线相切于点和点，则公切线段的长为（    ）

A．2 B． C．1 D．

5、过曲线图象上一点（2， 2）及邻近一点（2 ， 2 ）作割线，则当时割线的斜率为（ ）

A.     B.     C. 1    D.

6、若曲线f（x）＝x4－2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＋1＝0，则点P的坐标为（  ）

A．（1，1）             B．（1，－1）      C．（－1，1）          D．（－1，－1）

7、曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角为(　　)．

A. －135°    B. 45°    C. －45°    D. 135°

8、已知曲线的一条切线经过坐标原点，则此切线的斜率为（   ）

A.     B.     C.     D.

9、已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为      （   ）

A．1                B．2                C．3             D．4

10、函数在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

11、函数f（x）＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为（ ）

A．10    B．5    C．－1    D．

12、已知函数，若对任意两个不等的正数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）

A．    B．    C．     D．以上答案均不对

二、填空题

13、在平面直角坐标系中，过原点O的直线与曲线交于不同的两点A，B，分别过A，B作x轴的垂线，与曲线分别交于点C，D，则直线CD的斜率为    ．

14、若函数f(x)=x3+bx(x∈R)的图像在点(-1,f(-1))处的切线与直线y=-x+2a平行,则实数b的值为____.

15、曲线在点处的切线方程是__________．

16、函数在点处的切线方程为______________.

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知曲线 在点 处的切线 平行直线,且点在第三象限.

(1)求的坐标;

(2)若直线 , 且 也过切点 ,求直线的方程.

18、（本小题满分12分）求证：曲线xy＝1上的任何一点P(x0，y0)(x0＞0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数．

19、（本小题满分12分）已知某物体的运动方程是s(t)＝t＋t3，求t＝3时的瞬时速度．

20、（本小题满分12分）求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程.

参考答案

1、答案A

解析，所以，，所以切线方程的斜率为．

考点：导数与切线方程．

2、答案A

解析因为=1,=1,所以，选A.

3、答案A

解析本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.

4、答案D

解析对和求导，根据公切线的斜率为，得到切点，横坐标，从而得到两个切点，的坐标，然后得到的值.

详解

，求导得，

因为切线斜率为，所以，即，

所以

，求导得，

因为切线斜率为，所以，

而，所以，

所以，

所以.

故选：D.

点睛

本题考查利用导数的几何意义根据切线的斜率求切点，属于简单题.

5、答案B

解析 ．故选B．

考点：导数的定义．

6、答案B

解析．

直线的斜率为．

因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以切线的斜率为，

即，解得，，．

考点：导数的几何意义．

方法点晴本题主要考查的是导数的几何意义，属容易题．由导数的几何意义可知在点处的导数即即为再点处切线的斜率．本题根据直线的斜率可得切线的斜率即的值，从而可得点横坐标，将其代入解析式或直线可得点纵坐标．

7、答案D

解析， ， .选D.

8、答案D

详解：设切点为，则由得，又切线过原点，∴，解得，∴．

故选D．

点睛：本题考查导数的几何意义，曲线在某点处的切线与过某点的切线方程的求法有区别：曲线在处的切线方程为，若求过点处的切线，则可设切点为，由切点得切线方程，再由切线过点，代入求得，从而得切线方程．

9、答案A

考点：导数的几何意义．

10、答案B

解析求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进行求解即可.

详解

函数的导数，

则函数在点处的切线斜率，

因为，

所以切点坐标为为，

则切线方程为，

故选B.

点睛

该题考查的是有关函数图象在某点处的切线方程的求解问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.

11、答案D

解析因为，所以，切线方程为：，令得，选D．

考点：导数几何意义

12、答案A

解析由题意，对任意正数恒成立，因此，即，，又因为时，，所以．故选A．

考点：导数的几何意义．

13、答案1.

解析设，，则由点O，A，B共线可知，可化为，得到，故有.

考点：直线斜率

14、答案

解析根据导数的几何意义求得切线的斜率，然后根据题意求解可得实数b的值．

详解

∵，

∴，

∴．

∵f(x)的图像在点(-1,f(-1))处的切线与直线y=-x+2a平行,

∴，

解得.

故答案为．

点睛

本题考查导数的运算和导数的几何意义，解答本题的关键是正确理解导数的几何意义和题意，属于基础题．

15、答案

解析

，

故切线方程为，即

16、答案

详解：根据题意，f（x）=x﹣2lnx，则

又由f′（1）=﹣1，f（1）=1，

则f（x）的切线方程为：x+y﹣2=0；

点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.

17、答案

解析(1)由=4得或

又因为点在第三象限,所以,所以

所以……………………………………………………5分

(2)因为,所以,所以方程为:

化简得

详解

由xy＝1，得y＝.

所以y′＝′＝－.

所以k＝f′(x0)＝－.

过点P(x0，y0)的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．

令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.

所以过点P(x0，y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积S＝××2x0＝2，是一个常数．

点睛

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

解析

19、答案4

详解

s′(3)＝

＝

＝＝4.

点睛

本题主要考察导数定义与导数的计算，直接计算即可

解析

20、答案.

试题解析：因为直线的斜率为，所以垂直于直线并且与曲线相切的直线的斜率为

设切点为，函数的导数为

所以切线的斜率，得

代入到得，即

∴所求切线的方程为即.

考点1.两直线垂直的判定与性质；2.导数的几何意义.

解析