2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案13

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 2022届新教材北师大版  导数及其运用    单元测试一、选择题1、
函数在其极值点处的切线方程为（    ）A．     B．     C．     D． 2、函数在上的平均变化率是(    )A．2 B． C． D．3、曲线在点处切线的斜率为（    ）A. 12    B. 3    C. 4    D. 114、已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是（   ）A． -1    B． 1    C．     D． 5、已知曲线在点处切线的斜率为8，（ ）A．    B．    C．    D．6、曲线在点处的切线方程为（     ）A． B．C． D．7、设函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，则曲线y＝f(x)(　　)．A．在点(x0，f(x0))处的切线不存在B．在点(x0，f(x0))处的切线可能存在C．在点x0处不连续D．在x＝x0处极限不存在8、设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是A.     B.     C.     D. 9、点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）A． B． C． D．10、曲线y=在点（1，-）处切线的倾斜角为（   ）A．1           B．           C．             D．－11、已知函数的导函数为，且，则（   ）A． -1    B．     C．     D． 112、已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（  ）A．e    B．﹣e    C．    D．﹣二、填空题13、函数的图象在处的切线的斜率为__________．14、已知函数，若曲线在点处的切线过原点，则实数 的值为    ．15、已知f′(x0)＝k，则＝__________.16、曲线在点处切线的斜率为_________________.三、解答题17、（本小题满分10分）求证：曲线xy＝1上的任何一点P(x0，y0)(x0＞0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数．18、（本小题满分12分）试比较正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大？19、（本小题满分12分）求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程.20、（本小题满分12分）求曲线在点（1,1）处的切线方程.
参考答案1、答案D解析分析求出极值点，再结合导数的几何意义，利用点斜式即可求出切线方程.详解因为函数，所以，令，可得函数的极值点为，斜率为，由得，因此函数在其极值点处的切线方程为，故选D.点睛求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.
 2、答案C解析根据平均变化率的计算公式列式，计算出所求的结果.详解依题意，所求平均变化率为，故选C.点睛本小题主要考查平均变化率的计算，考查运算求解能力，属于基础题.3、答案B解析由题意可得： ，则所求切线的斜率，本题选择B选项.4、答案C解析由y=x3知y'=3x2，故切线斜率k=y'|x=1=3.又切线与直线ax+y+1=0垂直，故－3a=－1，得a=.选C.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5、答案D解析y′=4x3+2ax由题意知y′|x=-1=-4-2a=8,∴a=-6.故选D.6、答案A详解：曲线在点处的导数值为,故切线方程为.故答案为：A.点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.7、答案B解析函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，只能说明过点(x0，f(x0))的直线斜率不存在，此时直线与x轴垂直，所以在点(x0，f(x0))处的切线可能存在．8、答案B解析，，故答案选B．9、答案D解析先由导数的几何意义，求出切线的斜率的范围，再求出倾斜角的范围即可.详解：解：由，则，则，又，所以，故选：D.点睛本题考查了导数的几何意义，重点考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题.10、答案B解析则故选B．考点：1、导数的几何意义；2、函数的求导．11、答案C解析，据此有本题选择C选项.12、答案C解析欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：∵y=lnx，∴y'=，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为 ，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴k=．故选C．考点：导数的几何意义．13、答案详解：，所以，函数的图象在处的切线的斜率为.故答案为.点睛：本题考查了导数的几何意义，在函数图象上某点处切线的斜率为该点处的导数值是解题关键.14、答案解析因为，因此考点：导数几何意义15、答案－2k解析分析与无异＝－2＝－2k.详解∵f′(x0)＝k，∴原式＝－2＝－2k.答案：－2k点睛本题主要考察导数的定义和极限的运算的化简，难点在于要把极限化成与导数定义匹配的形态，需要对分式进行合理变形.属于中等题.16、答案2解析.当时，斜率为.答案为：2.详解由xy＝1，得y＝.所以y′＝′＝－.所以k＝f′(x0)＝－.过点P(x0，y0)的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.所以过点P(x0，y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积S＝××2x0＝2，是一个常数．点睛求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．解析详解当自变量x从0变到Δx时，函数的平均变化率k1＝，当自变量x从变到＋Δx时，函数的平均变化率k2＝.由于是在x＝0和x＝的附近求平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负．当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2；当Δx＜0时，k1－k2＝.∵Δx＜0，∴Δx－＜－.∴－1≤sin＜－.从而有－≤sin＜－1，即sin＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.综上可知，正弦函数y＝sinx在x＝0附近的平均变化率大于x＝附近的平均变化率．点睛本题考查平均变化率，考查识别与应用基本概念解决问题的能力.解析19、答案详解：设切点为，函数的导函数为切线的斜率，得，代入到得，即，因此所求切线方程是：，即.点睛本题考查导数的几何意义，属基础题.解析20、答案解析由原函数求得其导函数，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，进而由点斜式方程得到切线方程试题解析： 曲线在点（1，1）处的切线的斜率切线的方程为即.考点：导数的几何意义及直线方程