初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理习题

这是一份初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理习题，共16页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
17.2 勾股定理的逆定理
一、选择题．
1．下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．4，9，11 B．6，8，10 C．7，24，25 D．8，15，17
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解析】A．∵42+92≠112，
∴以4，9，11为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵62+82＝102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵72+242＝252，
∴以7，24，25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵82+152＝172，
∴以8，15，17为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．2，2，5 C．32，42，52 D．3，4，5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解析】A、（3）2+（4）2≠（5）2，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、22+22≠52，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意
C、因为32＝9，42＝16，52＝25，92+162≠252，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、32+42＝52，故能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．∠C＝∠A+∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝5：12：13
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解析】A、b2＝a2﹣c2，即a2＝b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、∠C＝∠A+∠B，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、132＝52+122，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意．
故选：C．
4．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．5，6，8 B．5，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12
【分析】利用勾股定理的逆定理可排除A、D选项，利用三角形的两边之和大于第三边可排除B选项，此题得解．
【解析】A、∵52＝25，62＝36，82＝64，25+36＝61≠64，
∴52+62≠82，
∴长度为5，6，8的三边不能组成直角三角形；
B、∵5+4＝9，
∴长度为5，4，9的三边不能组成三角形；
C、∵52＝25，122＝144，132＝169，25+144＝169，
∴52+122＝132，
∴长度为5，12，13的三边能组成直角三角形；
D、∵52＝25，112＝121，122＝144，25+121＝146≠144，
∴52+112≠122，
∴长度为5，11，12的三边不能组成直角三角形．
故选：C．
5．在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，那么点D到AB的距离是（　　）
A．4.8 B．4 C．3 D．74
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AC，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出BE，设CD＝DE＝x，表示出BD，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=ADCD=ED，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故DE的长为3．
故选：C．

6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误．
【解析】A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
所以△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵a：b：c＝3：4：5，
设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
7．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．1，2，3
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解析】A．∵32+42＝52，
∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵52+122＝132，
∴以5，12，173为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵12+（2）2＝（3）2，
∴以1，2，3为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为22米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（　　）

A．22 B．23 C．4 D．42
【分析】如图，先设平板手推车的长度为x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．连接PO，与BC交于点N，利用△CBP为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
【解析】设平板手推车的长度为x米，
当x为最大值，且此时平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．
连接PO，与BC交于点N．
∵直角通道的宽为22m，
∴PO＝4m，
∴NP＝PO﹣ON＝4﹣2＝2（m）．
又∵△CBP为等腰直角三角形，
∴AD＝BC＝2CN＝2NP＝4（m）．
故选：C．

9．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　）

A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
10．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．
【解析】如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；
如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
则x+3x+2x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：B．
二、填空题．
11．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为　45　°．

【分析】连接AC，利用勾股定理计算出AC2、BC2、AB2，然后利用勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形，进而可得答案．
【解析】连接AC，
由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，
BC2＝22+12＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：45．

12．如图，在5×3的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则∠ABC+∠ACB＝　45°　．

【分析】方法一：根据网格和勾股定理可得三角形ADC是等腰直角三角形，再根据三角形外角定义即可求出∠ABC+∠ACB．方法二可以利用相似三角形的判定和性质可得结论．
【解析】方法一：如图，取格点D，连接AD、CD，

根据网格和勾股定理，得
AD＝DC=12+22=5，AC=12+32=10，
∴AD2+DC2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝45°．
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°．
故答案为：45°．
方法二：如图，取格点D，连接BD，
根据网格和勾股定理，得AB=12+22=5，AC=12+32=10，BC＝5，

在△ABD中，AD＝1，BD=12+12=2，AB=5，
∵ABAD=51，ACBD=102=51，BCAB=55=51，
∴ABAD=ACBD=BCAB，
∴△ABC∽△DAB，
∴∠BAC＝∠ADB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°．
故答案为：45°．
13．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为　36　．

【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．
【解析】如图，连接BD，
∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，
根据勾股定理得，BD＝5，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
=12AB•AD+12BC•BD
=12×3×4+12×12×5
＝36．
故答案为：36．

14．如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯　17　米．

【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
【解析】根据勾股定理，楼梯水平长度为132−52=12米，
则红地毯至少要12+5＝17米长，
故答案为：17．
15．若一个三角形的三边长为1、2、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是　5或3　．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边2既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即2是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解即可得到结果．
【解析】设第三边为x，
（1）若2是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：
12+22＝x2，所以x=5；
（2）若2是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：
12+x2＝22，所以x=3；
综上所述：x的值为5或3，
故答案为：5或3．
16．若△ABC的三边长分别为5，26，1，比较三边长的大小，并用“＜”连接起来，　1＜26＜5　，最长边上的中线长为　2.5　．
【分析】根据题目中的数据，可以比较出它们的大小，然后利用勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状，然后即可得到最长边上的中线长．
【解析】∵5=25，26=24，1=1，
∴1＜26＜5，
∵（26）2+12＝52，
∴以5，26，1为边的三角形是直角三角形，
∴最长边上的中线长为2.5，
故答案为：1＜26＜5，2.5．
17．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是　0.48　分钟．

【分析】（1）作AD⊥ON于D，以A为圆心50m为半径画圆，交ON于B、C两点，求出BC的长，利用时间=路程速度计算即可．
【解析】作AD⊥ON于D，
∵∠MON＝30°，AO＝160m，
∴AD=12OA＝80m，
以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD=12BC，
在Rt△ABD中，BD=AB2−AD2=1002−802=60m，
∴BC＝120m，
∵卡车的速度为250米/分钟，
∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，
故答案为：0.48．

18．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边AC、BC的长分别为6m和8m，斜边AB的长为10m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线段）是　6　m．

【分析】根据三角形的面积公式，Rt△ABC的面积等于△AOB、△AOC、△BOC三个三角形面积的和列式求出点O到三边的距离，然后乘以3即可．
【解析】由题意AB＝10（m），
设点O到三边的距离为h，
则S△ABC=12×8×6=12×（8+6+10）×h，
解得h＝2，
∴O到三条支路的管道总长为：3×2＝6（m）．
故答案为：6．

三、解答题．
19．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？

【分析】（1）连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积解答即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解析】（1）连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，
在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，
而52+122＝132，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD=12AC•BC−12AD•CD
=12×5×12−12×4×3＝24（cm2）．
（2）需费用24×200＝4800（元），
答：总共需投入4800元．

20．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC为直角三角形，并求出其面积．

【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解析】∵AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=12AB⋅AC=12×5×25=5．
21．如图所示，等边△ABC表示一块地，DE，EF为这块地中的两条路，且点D为AB的中点，DE⊥AC，EF∥AB，已知AE＝6m，求地块△EFC的周长．

【分析】根据等边三角形的性质、直角三角形的性质求出AD、AB，根据等边三角形的判定定理和性质定理计算．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝12（cm），
∵点D为AB中点，
∴AB＝2AD＝24（cm），
∴AC＝BC＝AB＝24（cm），
∴EC＝AC﹣AE＝24﹣6＝18（cm），
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴△EFC的周长＝18×3＝54（cm）．
22．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，AB＝39m，BC＝36m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．

【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，求出区域的面积，即可求出答案．
【解析】连结AC，如图所示：
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，
由勾股定理得：AC=122+92=15（m），
∵AC2+BC2＝152+362＝1521，AB2＝392＝1521，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴铺满草坪的面积S＝S△ACB﹣S△ADC=12×15×36−12×12×9＝216（平方米）．

23．如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝27．求证：AB∥DC．

【分析】根据勾股定理可求BD＝6，再根据勾股定理的逆定理可求∠BDC＝90°，再根据平行线的判定即可求解．
【解析】证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，
∴BD=AD2−AB2=102−82=6，
∵BC＝8，CD＝27，
∴62+（27）2＝82，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥DC．
24．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．

【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，进而可得出结论．
【解析】如图，连接AC．
∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC=32+42=5．
∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC=12×5×12−12×3×4＝30﹣6＝24．