2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案18

2022届新教材北师大版  导数及其运用      单元测试

一、选择题

1、
已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，F(x)＝，若F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，则函数f(x)的最小值是(　　)

A． 2    B． 1

C． 0    D． －1

2、如图，函数在，两点间的平均变化率是（    ）

A．1       B．       C．2       D．

3、已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的图象如图所示，记r=f /(1)，p=f /（2），q=f(2)－f(1).则r、p、q之间的大小关系为（   ）

A．r＜p＜q             B．q＜p＜r          C．r＜q＜p        D．p＜q＜r

4、曲线y＝3x－x3上切点为P（2，－2）的切线方程是（   ）

A．y＝－9x＋16

B．y＝9x－20

C．y＝－2                

D．y＝－9x＋16或y＝－2

5、已知函数是奇函数，则曲线在处的切线方程为（    ）

A．    B．    C．    D．

6、已知直线y=x+1与曲线y=ln(x-a)相切,则a的值为(     )

A． 1    B． 2    C． 一1    D． 一2

7、设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ）

A.     B.

C.     D.

8、已知曲线在点处切线的斜率为1,则实数的值为（    ）

A.     B.     C.     D.

9、f（x）=x3﹣x2+ax﹣1己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为(     )

A．（3，+∞）        B．（3，）        C．（﹣∞，]        D．（0，3）

10、设函数在点附近有定义，且有（为常数），则（　）

Ａ．  Ｂ．  Ｃ．  Ｄ．

11、若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小值为（   ）

A．1 B． C． D．

12、如果一个物体的运动方程为，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（    ）

A．7米/秒       B．6米/秒       C．5米/秒        D．8米/秒

二、填空题

13、已知函数f（x）=的图象在点（1，f（1））处的切线过点（-1,1），则a=_______．

14、曲线在点处的切线方程为______.

15、如图，函数的图象是折线段ABC，其中的坐标分别为，则 ____________ 用数字作答

16、已知函数，这个函数的图象在处的切线方程为__________．

三、解答题

17、（本小题满分10分）下列函数的导数：

①      ②     ③

18、（本小题满分12分）(1)对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，求数列的前n项和；

(2)设函数y＝f(x)满足以下条件：

①；②f(1)＝2.

求函数y＝f(x)的表达式．

19、（本小题满分12分）已知过点(1，1)的直线l与曲线y=x3相切，求直线l的方程．

20、（本小题满分12分）求证：曲线xy＝1上的任何一点P(x0，y0)(x0＞0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数．

参考答案

1、答案C

解析∵f′(x)＝2x＋b，∴F(x)＝，F′(x)＝，又F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，∴ 得 ∴f(x)＝(x＋2)2≥0，f(x)min＝0.

故答案为：C

点睛：这个题目考查的是导数的几何意义以及函数的单调性，对于函数的最值问题，一般都是先研究函数的单调性，有单调性求得函数的最值.函数的单调性可以通过求导确定，也可以通过常见函数来确定.
 

2、答案B

解析

3、答案C

解析由题意得，函数在区间上的图象，从左到右下降的坡度越来越小，说明其导函数的函数值为负，且随着自变量的增大而增大，所以，及，又，所以，故选C.

考点：导数的几何意义.

方法点晴本题主要考查了导数的几何意义及不等式的比较大小，属于基础题，着重考查了数形结合法与转化的思想方法，对于此类问题中，当的图象，从左到右下降的坡度越来越小，说明导函数的函数值为负，且随着自变量的增大而增大；当的图象，从左到右下降的坡度越来越大，说明导函数的函数值为负，且随着自变量的增大而增小；当的图象，从左到右上升的坡度越来越小，说明导函数的函数值为正，且随着自变量的增大而增小；当的图象，从左到右上升的坡度越来越大，说明导函数的函数值为正，且随着自变量的增大而增大.

4、答案A

解析函数在点的值就是切线方程的斜率，，当时，，所以代入点斜式方程为：，整理得，故选A．

考点：1.导数的几何意义；2.切线方程的求法．

5、答案A

解析因为函数是奇函数，则由可得，则函数，曲线在处的切线方程为，选A

考点：曲线的切线方程

6、答案D

详解：设切点 ,因为 ，

所以

选D.

点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.

7、答案B

解析，

，

故答案选B．

8、答案D

解析,故选D.

考点导数的几何意义.

9、答案B

试题解析：解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，

由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，

则△=4﹣8（a﹣3）＞0，x1+x2=1＞0，x1x2=（a﹣3）＞0，

解得3＜a＜．

故选B．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

10、答案Ｃ

解析由已知及导数的定义式，可得。

11、答案B

解析由题，令：

解得；。 曲线上距离最近的点坐标为

则距离为：

考点：导数的几何意义及点到直线距离的算法和运动变化的思想.

12、答案C

解析

13、答案-5

解析求出函数的导数f′（x）=3x2+a，f′（1）=3+a，而f（1）=a+2,根据点斜式得到程，利用切线的方程经过的点求解即可．

详解

函数f（x）=x3+ax+1的导数为：f′（x）=3x2+a，f′（1）=3+a，而f（1）=a+2，

切线方程为：y﹣a﹣2=（3+a）（x﹣1），因为切线方程经过（-1，1），

所以1﹣a﹣2=（3+a）（-1﹣1），

解得a=-5.

故答案为：-5.

点睛

这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.

14、答案

解析求出函数的导函数，解得，再用点斜式即可求得切线的方程.

详解：由，

得.

所以.

所以曲线在点处的切线方程为

，

即.

故答案为：.

点睛

本题考查导数的几何意义，涉及切线方程的求解，属基础题.

15、答案1

解析，

由函数的图象可知，

，

由导数的几何意义知．

故答案为：1.

16、答案.

解析切点为,,即斜率为,由点斜式得.

17、答案解：①法一： ∴

法二：=+

② ∴

③e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）2e－xcosx,

解析

18、答案（1）；（2）

（2）先由导函数设原函数，再带值求解.

详解

(1)由得.

.又切点为，

切线方程为,

令，得,.

则数列的通项公式为，

则其前项和为.

(2)由,则可设,(为常数)

由得,故.

点睛

第一小题考查导数与数列相结合的问题，通过求导进而求出曲线的切线方程式本题解题的关键；第二小题考查了求导运算的逆运算，对学生运用运算法则的能力要求比较高.

解析

19、答案设过(1，1)的直线与y=x3相切于点，

所以切线方程为

即，又(1，1)在切线上，则x0=1或，

当x0=1时，直线l的方程为y=3x-2，

当时，直线l的方程为，

∴直线l的方程为y=3x-2或.

解析

详解

由xy＝1，得y＝.

所以y′＝′＝－.

所以k＝f′(x0)＝－.

过点P(x0，y0)的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．

令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.

所以过点P(x0，y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积S＝××2x0＝2，是一个常数．

点睛

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

解析