2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案15

2022届新教材北师大版  导数及 其运用      单元测试

一、选择题

1、
已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切,则a的值为　(　　)

A． 1    B． ±1    C． -1    D． -2

2、有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋ (t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　)

A.     B.     C.     D.

3、对于定义在数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，则x0叫函数f(x)的一个不动点．已知f(x)＝x2＋2ax＋1不存在不动点，那么a的取值范围是(　　)．

A.    B.      C.    D.

4、曲线（）在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（   ）

A. 10    B. 9    C. 8    D.

5、已知直线与曲线相切，则的值为(    )

A．1 B． C． D．

6、一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（    ）

A．米/秒        B．米/秒        C．米/秒        D．米/秒

7、函数在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）

A．y＝x－1    B．y＝x    C．y＝2x－1    D．y＝2x

8、设为曲线上的点，且曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围是，则点的横坐标的取值范围为（   ）

A.     B.     C.     D.

9、曲线y＝x3－2x＋4在点（1,3）处的切线的倾斜角为（   ）

A．30°               B．45°             C．60°              D．120°

10、函数的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为（　　）

A．10              B．5                C．－1           D．

11、函数，在的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是

A.     B.     C.     D. 的大小无法确定

12、已知函数的图像如图所示，的导函数，则下列数值排序正确的

A. 

B.

C.  

D.

二、填空题

13、曲线在点处的切线方程为___________.

14、若直线与函数的图像相切，则的值为__________．

15、已知函数，则 的值为_________.

16、曲线在点（1,3）处的切线方程是              

三、解答题

17、（本小题满分10分）曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标．

18、（本小题满分12分）求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．

19、（本小题满分12分）设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

20、（本小题满分12分）已知函数，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.求a，b的值．

参考答案

1、答案A

详解：设切点为，

的导数，

则，，

则对应的切线方程为，即，

，

，解得.

故选：A.

点睛：本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键，要求熟练掌握导数的几何意义、切线的方程等.
 

2、答案D

解析由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－，

故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－.

本题选择D选项.

3、答案A

解析因为f(x)＝x2＋2ax＋1不存在不动点，所以f(x)＝x无实根．由x2＋2ax＋1＝x得x2＋(2a－1)x＋1＝0，此方程若无实根，则Δ＝(2a－1)2－4＜0，解得－＜a＜.

4、答案B

解析函数求导可得, ,=,等号成立条件即，选B.

5、答案A

详解：设切点为，

的导数，

则，，

则对应的切线方程为，即，

，

，解得.

故选：A.

点睛：本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键，要求熟练掌握导数的几何意义、切线的方程等.

6、答案C

解析，时，．故选C．

考点：导数的物理意义．

7、答案B

解析分别求函数值及切线斜率即可得解.

详解

由，可得，所以，又.

所以切线方程为：y＝x.

故选B.

点睛

本题主要考查了由函数导数求解函数的切线方程，属于基础题.

8、答案C

详解：∵切线的斜率k=tanθ∈[tan0，tan]=[0，1]．

设切点为P（x0，y0），于是k=y′|x=x0=2x0+2∈[0,1]

∴x0∈[﹣1，﹣]．

故答案为：C

点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)函数y=f(x)在点x=处的切线的斜率等于在这点的导数,这就是导数的几何意义，常用来解答与切线有关的问题.

9、答案B

解析，，，故选B.

考点：导数的几何意义.

10、答案D

解析由于；

所以所求的切线方程为，

令得

故选D．

考点：函数导数的几何意义．

11、答案A

解析因为=1,=1,所以，选A.

12、答案C

解析由导数的几何意义可知，导数值等于该点处的斜线斜率，结合图像可知成立

考点：导数的几何意义

13、答案

解析根据导数的几何意义,先求得在点处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程.

详解：曲线

则

所以在点处的切线的斜率为

由点斜式可得

故答案为:

点睛

本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题.

14、答案2

解析设直线与曲线的的切点坐标为，根据导数的几何意义，求得切线的斜率为，求得，进而得到切点的坐标，代入曲线的方程，即可求解.

详解

设直线与函数的的切点坐标为，

因为函数，则，所以切线的斜率为，

则，所以，代入切线的方程得，即，

把点代入曲线的方程可得，

整理得，解得.

点睛

本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中根据函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，求得切点的坐标，代入函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

15、答案2.

解析根据导数的定义知，求导计算可得答案.

详解

根据导数的定义知,

由，所以，

则

故答案为：2

点睛

本题考查导数的定义，导数的求导法则，考查计算能力，属于基础题.

16、答案

解析

17、答案设P(x0，y0)，

Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x)

＝2x·Δx＋(Δx)2－3Δx，

＝＝2x＋Δx－3.

  ＝  (2x＋Δx－3)＝2x－3，

∴y′|x＝x0＝2x0－3，令2x0－3＝0得x0＝，代入曲线方程得y0＝－，∴P.

解析

18、答案先求曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的斜率，

k＝y′(1)＝ 

＝  (3Δx＋2)＝2.

设过点P(－1,2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式：

y－2＝2(x＋1)，化为一般式：2x－y＋4＝0.

所以，所求直线方程为2x－y＋4＝0.

解析

19、答案(1)f(x)＝x＋；(2)证明见解析

 (1)解f′(x)＝a－，

解得或

因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.

(2)在曲线上任取一点，由f′(x0)＝1－知，过此点的切线

方程为y－＝[1－](x－x0)．

令x＝1，得y＝，切线与直线x＝1的交点为(1,)；

令y＝x，得y＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；

直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为

|2x0－1－1|＝2.

所以，所围三角形的面积为定值2.

解析

20、答案

详解

.

由于直线x＋2y－3＝0的斜率为，且过点(1,1)，

故，即，解得a＝1，b＝1.

点睛

本题主要考查了导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查导数的运算能力，属于基础题．

解析