2022年高考三轮复习之大题规范练5

这是一份2022年高考三轮复习之大题规范练5，共6页。试卷主要包含了设椭圆E等内容，欢迎下载使用。
大题规范练51．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m＝，n＝(cos C，c)，b＝m·n.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，求△ABC的周长L的取值范围．解　(1)由m＝，n＝(cos C，c)，得b＝m·n＝acos C＋csin A.由正弦定理，得sin B＝sin Acos C＋sin Csin A.因为B＝π－(A＋C)，所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝0.又C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以tan A＝.又A∈(0，π)，所以A＝.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得32＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－bc，即b2＋c2－bc＝9，整理得(b＋c)2－3bc＝9.所以9≥(b＋c)2－32＝(b＋c)2，所以b＋c≤6，当且仅当b＝c＝3时，等号成立．又b＋c>a＝3，所以3<b＋c≤6，从而周长L的取值范围为(6,9]．2．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝(n∈N*)，数列{bn }满足bn＝2n·anan＋1.(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn }的前n项和Tn.(1)证明　当n≥2时，an＝(n∈N*)，所以＋1＝2，所以数列是以＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，从而＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝.(2)解　由(1)知an＝，所以bn＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝1－.3．某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95，100)[100，105)[105，110)[110，115)[115，120)[120，125]频数14192051 图1：乙套设备的样本的频率分布直方图(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； 甲套设备乙套设备总计合格品   不合格品   总计    (2)根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；(3)将频率视为概率．若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的均值E(X)．附：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635 K2＝.解　(1)根据表1和图1得到列联表： 甲套设备乙套设备总计合格品484391不合格品279总计5050100 将列联表中的数据代入公式计算得K2＝＝≈3.053，∵3.053>2.706，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．(2)根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散．因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备．(3)由题意知X～B，∴E(X)＝3×＝.4．如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AD＝DC，∠ADC＝120°，三角形SAB是等边三角形，平面SAB⊥平面ABCD，E，F分别为AB，AD的中点．(1)求证：平面SCD⊥平面SEF；(2)若AB＝2，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值．(1)证明　∵平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，SE⊂平面SAB，SE⊥AB，∴SE⊥平面ABCD.又∵CD⊂平面ABCD，∴SE⊥CD.如图，连接BD，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴BD∥EF.∵AD＝DC＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.又∵∠BAD＝∠ADC＝120°，∴∠ADB＝30°，∴∠BDC＝90°，得BD⊥CD.又∵BD∥EF，∴CD⊥EF.又SE∩EF＝E，SE，EF⊂平面SEF，∴CD⊥平面SEF.又∵CD⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面SEF.(2)解　过点E作EN∥CD，则ES，EF，EN两两垂直，以E为坐标原点，EN，EF，ES所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．在△BDC中，求得BD＝2，CD＝2，BC＝4.则E(0,0,0)，F(0，，0)，S(0,0，)．C，D.故＝，＝，＝(0，，－)．设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由可取n＝(0,2,3)．则|cos〈n，〉|＝＝＝.故SF与平面SCD所成角的正弦值为.5．设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．(1)解　由题意知，4a＝4，a＝.又e＝＝，a2＝b2＋c2，∴c＝，b＝，∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明　当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k(k≠0)，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减，得＝－，即·＝－，则k·kOM＝－，∴kOM＝－.同理可得kON＝－，∴kOM＝kON，∴O，M，N三点共线．6．已知函数f(x)＝ex－a·x，其中e是自然对数的底数．(1)若a＝e，证明：f(x)≥0；(2)若x∈[0，＋∞)时，都有f(x)≥f(－x)，求实数a的取值范围．(1)证明　若a＝e，则f(x)＝ex－e·x，所以f′(x)＝ex－e，当x＝1时，f′(x)＝0；当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；所以f(x)在x＝1时取得极小值，也是最小值．所以f(x)≥f(1)＝0.(2)解　令g(x)＝f(x)－f(－x)＝ex－e－x－2ax，则原问题转化为g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立．由g′(x)＝ex＋e－x－2a，令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以g′(x)在[0，＋∞)上单调递增，又g′(0)＝2－2a，①当a≤1时，g′(x)≥g′(0)≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥f(－x)，满足题意．②当a＞1时，因为g′(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以g′(x)min＝g′(0)＝2－2a＜0，所以存在t∈(0，＋∞)，使得当x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)在(0，t)上单调递减，此时g(x)＜g(0)＝0，这与g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立矛盾．综上所述，a≤1，故实数a的取值范围是(－∞，1]．