2022年高考三轮复习之模板规范练3　数　列

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跟踪训练
1. (2020·玉溪模拟)在等比数列{an}中，a1＝6，a2＝12－a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝66，求m.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
∵a1＝6，a2＝12－a3.
∴6q＝12－6q2，解得q＝－2或q＝1，
∴an＝6×(－2)n－1或an＝6.
(2)①若an＝6×(－2)n－1，q＝－2，
则Sn＝eq \f(6×[1－－2n],3)＝2[1－(－2)n]，
由Sm＝66，
得2[1－(－2)m]＝66，解得m＝5.
②若an＝6，q＝1，则{an}是常数列，
∴Sm＝6m＝66，解得m＝11.
综上，m的值为5或11.
2．(2020·广州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3n2＋n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an＋1an＋2)))的前n项和为Tn，求证：Tn＜eq \f(1,15).
(1)解 当n＝1时，2S1＝2a1＝4，解得a1＝2；
当n≥2时，
∵2Sn＝3n2＋n,2Sn－1＝3(n－1)2＋(n－1)，
两式相减，得2an＝6n－2，解得an＝3n－1.
又当n＝1时，a1＝2也适合，
故an＝3n－1(n∈N*)．
(2)证明 依题意，得
eq \f(1,an＋1an＋2)＝eq \f(1,3n＋23n＋5)
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3n＋2)－\f(1,3n＋5)))，
∴Tn＝eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－\f(1,8)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)－\f(1,11)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3n＋2)－\f(1,3n＋5)))))
＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)－\f(1,3n＋5)))
＝eq \f(1,15)－eq \f(1,33n＋5)