2022年高考三轮复习之大题规范练6

这是一份2022年高考三轮复习之大题规范练6，共7页。试卷主要包含了已知直线l等内容，欢迎下载使用。
大题规范练61．设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．解　(1)由题意得得又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，又a2＝3a1，∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1，当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，当n≥3时，Tn＝3＋－＝，经验证T2＝3符合上式．∴Tn＝2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足c2＝(a－b)2＋6，记此三角形的面积为S.(1)若C＝，求S的值；(2)若S＝，求sin Asin B的取值范围．解　(1)由余弦定理和已知条件得，c2＝a2＋b2－2ab＋6＝a2＋b2－2abcos C，从而有3＝ab(1－cos C)，①当C＝时，得ab＝2，则S＝absin C＝.(2)若S＝absin C＝，②联立①②得，＝.整理得，sin C＋cos C＝2sin＝.即sin＝.又0＜C＜π，故C＝.则sin Asin B＝sin A·sin＝sin A·＝sin 2A＋×＝sin＋，∵0<A<，∴－<sin≤1，从而可得sin Asin B的取值范围为.3．如图，已知Rt△PCD，PD⊥CD，A，B分别为PD，PC的中点，PD＝2DC＝2，将△PAB沿AB折起，得到四棱锥P′－ABCD，E为P′D的中点．(1)证明：P′D⊥平面ABE；(2)当正视图方向与向量的方向相同时，四棱锥P′－ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A－BE－C的平面角的余弦值．(1)证明　由平面图可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D.∵E为P′D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D.∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面ABE.(2)解　∵四棱锥P′－ABCD的正视图与△P′AD全等，为直角三角形，故P′A⊥AD，以A为原点，分别以AB，AD，AP′所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P′(0,0,1)，B，C(1,1,0)，E，＝(0,1，－1)，＝，＝.设平面BEC的一个法向量为n＝(x，y，z)，由取x＝2，得n＝(2，－1,3)．又为平面ABE的一个法向量，设二面角A－BE－C的平面角为θ，∴cos〈，n〉＝＝－.∵二面角A－BE－C的平面角为钝角，∴cos θ＝－，故二面角A－BE－C的平面角的余弦值为－.4．2020年春季，某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计A型出租车(辆)10204525100B型出租车(辆)15354010100 (1)填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关？ 使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型   B型   总计    (2)以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2车中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和均值；(3)根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租车每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828 解　(1)补充完整的2×2列联表如表所示，  使用寿命不高于6年 使用寿命不低于7年 总计 A型 30 70 100 B型 50 50 100 总计 80 120 200 ∴K2＝≈8.33>6.635，∴有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关．(2)由题意可知，A型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占；B型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占.∴X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝.∴X的分布列为 X 0 1 2 P  ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(3)∵平均每辆出租车每年上交公司6万元，且A，B两款车型的采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆，∴两款出租车型的每辆车的利润如下表： 使用寿命年数 5年 6年7年 8年 A型 6×5－11＝19 6×6－11＝25 6×7－11＝31 6×8－11＝37 B型 6×5－8＝22 6×6－8＝28 6×7－8＝34 6×8－8＝40 用频率估计概率，这100辆A型出租车的平均利润为×(19×10＋25×20＋31×45＋37×25)＝30.1(万元)，这100辆B型出租车的平均利润为×(22×15＋28×35＋34×40＋40×10)＝30.7(万元)，∵30.7＞30.1，故会选择采购B款车型．5．已知函数f(x)＝aln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2.(1)求a，b的值；(2)当x>0且x≠1时，求证：f(x)>.(1)解　函数f(x)＝aln x＋的导数为f′(x)＝－，x>0，由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2，可得f(1)＝2b＝2，f′(1)＝a－b＝0，解得a＝b＝1.(2)证明　由(1)知f(x)＝ln x＋＋1，x>0，当x>1时，f(x)>，即为ln x＋1＋>ln x＋，即x－－2ln x>0.当0<x<1时，f(x)>，即为x－－2ln x<0，设g(x)＝x－－2ln x，x>0，g′(x)＝1＋－＝≥0，可得g(x)在(0，＋∞)上单调递增，当x>1时，g(x)>g(1)＝0，即有f(x)>.当0<x<1时，g(x)<g(1)＝0，即有f(x)>.综上可得，当x>0且x≠1时，f(x)>恒成立．6．已知直线l：y＝mx－(m≠0)与椭圆C：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为－，若直线x＝t与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M为直线y＝－上一点．(1)求P点的轨迹方程；(2)若F为椭圆C的上顶点，直线l与y轴交点为G，记S表示面积，求的最大值．解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，联立得(bm2＋a)x2－m3bx＋－1＝0，则x1＋x2＝，则x0＝＝，将其代入y＝mx－，得y0＝－，因为·m＝－，所以－＝－，即b＝4a，故直线OD的方程为y＝－x，则－＝－t，故t＝m，代入y＝mx－，得P，消去m，可得P点的轨迹方程为x2＝2y(x≠0)．(2)由题意得b＝4，所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1，由(1)知x0＝＝，y0＝－，对于直线l，令x＝0，y＝－，则G，所以P，F，D，M，所以S△PFG＝|GF||m|＝|m|(m2＋1)，S△PDM＝|PM|·|m－x0|＝，则＝，令n＝2m2＋1，则＝＝－＋＋2，当＝，即n＝2时，取得最大值，此时m＝±，满足Δ＞0.所以的最大值为.