2022年高考三轮复习之回归基础练第2练　不等式

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考点一 不等式的性质与解法
要点重组
1．判断关于不等式的命题真假的方法：
(1)直接运用不等式的性质．
(2)利用函数的单调性．
(3)特殊值验证法．
2．解含参数的不等式要分类讨论，对参数的范围分类要做到不重不漏．
3．不等式恒成立问题的解题方法：
(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a，x∈I；
f(x)b，则( )
A．ln(a－b)>0 B．3a0 D．|a|>|b|
答案 C
解析 由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当bb>0且c0，∴ac2·eq \f(1,c2)>bc2·eq \f(1,c2)，即a>b，故A正确；
若a0，得a2>ab>b2，故B正确；
若a>b>0，cb2，得0eq \f(c,b2)，故C不正确；
若a>b，取a＝1，b＝－1，则eq \f(1,a)N，故选A.
4．已知一元二次不等式f(x)0的解集为______．
答案 (－∞，－ln 3)
解析 ∵一元二次不等式f(x)0，即e2x＋eq \f(2,3)ex－eq \f(1,3)0，eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋1)＝1，则a＋2b的最小值是( )
A．3eq \r(2) B．2eq \r(2) C．3 D．2
答案 B
解析 ∵a>0，b>0，eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋1)＝1，
∴a＋2b＝(a＋1)＋2(b＋1)－3＝[(a＋1)＋2(b＋1)]·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋1)))－3
＝1＋2＋eq \f(2b＋1,a＋1)＋eq \f(a＋1,b＋1)－3≥3＋2eq \r(2)－3＝2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(2b＋1,a＋1)＝eq \f(a＋1,b＋1)，
即a＝eq \r(2)，b＝eq \f(\r(2),2)时取等号．
故a＋2b的最小值是2eq \r(2)，故选B.
11．(2020·山东淄博实验中学模拟)已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则eq \f(2,e1)＋eq \f(e2,2)的最小值为( )
A.eq \r(6) B．3 C．6 D.eq \r(3)
答案 C
解析 由椭圆与双曲线的对称性，不妨令椭圆与双曲线的焦点在x轴上，如图，
设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，由题意可知|F1F2|＝|PF2|＝2c.
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，
∴|PF1|＋2c＝2a1，|PF1|－2c＝2a2，两式相减，
可得a1－a2＝2c.
∴eq \f(2,e1)＋eq \f(e2,2)＝eq \f(2a1,c)＋eq \f(c,2a2)
＝eq \f(4a1a2＋c2,2ca2)＝eq \f(42c＋a2a2＋c2,2ca2)
＝eq \f(8ca2＋4a\\al(2,2)＋c2,2ca2)＝4＋eq \f(2a2,c)＋eq \f(c,2a2)，
∵eq \f(2a2,c)＋eq \f(c,2a2)≥2eq \r(\f(2a2,c)·\f(c,2a2))＝2，
当且仅当eq \f(2a2,c)＝eq \f(c,2a2)，即c＝2a2时等号成立，
∴eq \f(2,e1)＋eq \f(e2,2)的最小值为6.
12．设x>0，则y＝x＋eq \f(2,2x＋1)－eq \f(3,2)的最小值为________．
答案 0
解析 y＝x＋eq \f(2,2x＋1)－eq \f(3,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＋eq \f(1,x＋\f(1,2))－2
≥2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－2＝0，
当且仅当x＝eq \f(1,2)时取等号，
所以y＝x＋eq \f(2,2x＋1)－eq \f(3,2)的最小值为0.
1．如果a0，p＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2,2)))，q＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2))，r＝f(ab)，则下列关系式中正确的是( )
A．q≤r≤p B．q≤p≤r
C．r≤p≤q D．r≤q≤p
答案 D
解析 ∵a>0，b>0，
∴eq \f(a2＋b2,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2
＝eq \f(2a2＋2b2,4)－eq \f(a2＋b2＋2ab,4)＝eq \f(a－b2,4)≥0，
∴eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2.
又eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≥ab，
∴eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≥ab.
又∵函数f(x)＝x2ex在区间(0，＋∞)上单调递增，
∴f(ab)≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2))≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2,2)))，即r≤q≤p.
6．(2020·北京东城区模拟)配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5 000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大)．配件的存储费为每件每天2元(当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费)．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为________．
答案 5
解析 每个周期内的总费用为5 000＋400＋400×2＋400×3＋…＋400(n－1)＝5 000＋200n(n－1)，
∴每个周期内每天的平均费用为
eq \f(5 000＋200nn－1,n)＝eq \f(5 000,n)＋200n－200
≥2eq \r(\f(5 000,n)·200n)－200＝1 800，
当且仅当eq \f(5 000,n)＝200n，即n＝5时取等号．