2022年高考三轮复习之回归基础练第6练　导数的简单应用

这是一份2022年高考三轮复习之回归基础练第6练　导数的简单应用，共9页。

考点一 导数的几何意义
要点重组
1．函数f(x)在x＝x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．
1．(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案 B
解析 f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，
f′(x)＝4x3－6x2，
所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，
切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
2．(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案 D
解析 因为y′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，
所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ae＋1＝2，,b＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝e－1，,b＝－1.))
3．(多选)(2020·邯郸模拟)曲线y＝f(x)＝xnex在x＝1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为eq \f(2e,3)，则n的值为( )
A．－2 B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D．2
答案 BD
解析 由已知得f′(x)＝(xn＋nxn－1)ex，
所以f(1)＝e，f′(1)＝e(n＋1)，
所以切线方程为y－e＝e(n＋1)(x－1)．
令x＝0，得y＝－ne；
令y＝0，得x＝eq \f(n,n＋1)，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为
S＝eq \f(1,2)×eq \f(n2,|n＋1|)e＝eq \f(2e,3)，
解得n＝2或n＝－eq \f(2,3).
4．(2020·淄博联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
答案 [2，＋∞)
解析 直线2x－y＝0的斜率k＝2，
又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，
∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，
则a＝4x＋eq \f(1,x)－2，x>0.
又4x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(4x·\f(1,x))＝4，当且仅当x＝eq \f(1,2)时取“＝”．
∴a≥4－2＝2.
考点二 利用导数研究函数的单调性
要点重组
1．利用导数求函数的单调区间一般有两类：一是求不含参数的函数的单调区间；二是求含参数的函数的单调区间．求含参数的函数的单调区间的实质是解含参不等式，此时要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．划分函数单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
2．由函数的单调性求参数的常见题型和解决策略：
(1)函数y＝f(x)在区间D上单调递增(递减)⇔∀x∈D，f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)不恒等于0.
(2)函数y＝f(x)在区间D上存在单调递增(递减)区间⇔f′(x)>0(f′(x)0，得x>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
6．(2020·河南南阳一中模拟)若函数f(x)＝x＋asin 2x在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) B．[－1，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))
答案 C
解析 因为函数f(x)＝x＋asin 2x在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上单调递增，
所以f′(x)＝1＋2acs 2x≥0在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上恒成立．
则当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，－2a≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,cs 2x)))min＝1，
所以a≥－eq \f(1,2).
7．(多选)若0