2022年高考三轮复习之回归基础练第8练　导数与函数零点问题

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考点一 讨论函数零点的个数
要点重组
1．求解函数零点(方程根)的个数问题的基本思路：
(1)转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在某区间上的交点问题．
(2)利用导数研究该函数在某区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象．
(3)结合图象求解．
2．根据参数确定函数的零点个数有两种解决方法：一种是利用单调性与零点存在性定理求解，另一种是化原函数为两个函数，利用两个函数图象的交点来求解．
1．已知函数f(x)＝x2＋x－aln x(a∈R)，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(1,2).讨论函数y＝f(x)－g(x)＋eq \f(1,2)的零点个数．
解 y＝f(x)－g(x)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)x2－aln x，
令h(x)＝eq \f(1,2)x2－aln x.
①当a＝0时，h(x)在定义域(0，＋∞)上恒大于0，h(x)没有零点．
②当a0在(0，＋∞)上恒成立，
所以h(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
因为h(1)＝eq \f(1,2)>0，h()＝eq \f(1,2)－10时，
h′(x)＝x－eq \f(a,x)＝eq \f(x2－a,x)＝eq \f(x＋\r(a)x－\r(a),x).
易知当x∈(0，eq \r(a))时，h′(x)0，
所以h(x)在(eq \r(a)，＋∞)上为增函数．
所以当x＝eq \r(a)时，h(x)有极小值，也是最小值，
即为h(eq \r(a))＝eq \f(1,2)a(1－ln a)．
当a∈(0，e)时，h(eq \r(a))＝eq \f(1,2)a(1－ln a)>0，h(x)没有零点．
当a＝e时，h(eq \r(a))＝eq \f(1,2)a(1－ln a)＝0，h(x)有1个零点，该零点为x＝eq \r(a).
当a∈(e，＋∞)时，h(eq \r(a))＝eq \f(1,2)a(1－ln a)0且11时，(x－ln x)′>0，所以x－ln x>1，
所以x>ln x，所以h(x)＝eq \f(1,2)x2－aln x>eq \f(1,2)x2－ax.
因为2a>eq \r(a)>1，
所以h(2a)>eq \f(1,2)(2a)2－2a2＝0，
所以h(x)在(eq \r(a)，＋∞)上有1个零点．
所以h(x)在区间(0，＋∞)上有2个零点．
综上所述，当a∈[0，e)时，函数y＝f(x)－g(x)＋eq \f(1,2)没有零点；
当ae时，函数y＝f(x)－g(x)＋eq \f(1,2)有2个零点．
2．已知函数f(x)＝2a2ln x－x2(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数)．
解 (1)∵f(x)＝2a2ln x－x2，
∴f′(x)＝eq \f(2a2,x)－2x＝eq \f(2a2－2x2,x)＝eq \f(－2x－ax＋a,x)，
∵x>0，a>0，当0a时，f′(x)