2022年高考三轮复习之回归基础练第28练　圆锥曲线中的范围、最值问题

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第28练　圆锥曲线中的范围、最值问题
[考情分析]　圆锥曲线中的范围、最值问题是高考的热点，难度为中高档．

考点一　圆锥曲线小题中的范围与最值问题
要点重组　
1．最值问题解法的两种思路
几何法、代数法．选择题、填空题一般用几何法求解，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．
2．求最值、取值范围的常用方法
(1)利用函数单调性：求导、换元、变形等．
(2)利用不等式：基本不等式(有一个或两个变量都可以)，三角不等式等．
(3)利用数形结合：将代数方程与它表示的几何图形联系起来．
提醒：在圆锥曲线最值问题中，特别注意椭圆、双曲线、抛物线上的点(x，y)横纵坐标x，y的取值范围．
1．(2020·郑州检测)已知F1，F2分别为椭圆C的两个焦点，P为椭圆上任意一点．若的最大值为3，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵点P到椭圆C的焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.
又的最大值为3，
∴＝3，
∴椭圆C的离心率e＝，
故选B.
2．(2020·郑州联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
答案　B
解析　由题意可得2a＝6，即a＝3，
渐近线方程为y＝±x，
即有＝，即b＝1，
可得双曲线方程为－y2＝1，
焦点为F1(－，0)，F2(，0)．
由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝6＋|MF1|.
由圆E：x2＋(y＋)2＝1可得圆心E(0，－)，
半径r＝1，|MN|＋|MF2|＝6＋|MN|＋|MF1|.
如图，连接EF1，交双曲线于点M，交圆于点N，
可得|MN|＋|MF1|取得最小值，
且|EF1|＝＝4，
则|MN|＋|MF2|的最小值为6＋4－1＝9，故选B.

3．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆的离心率的最小值为________．
答案　
解析　联立
得|PF1|＝a，|PF2|＝，
由a－c≤|PF1|≤a＋c，得a－c≤a≤a＋c，
即≤c，
∴≤e0)的右焦点，M，N两点在双曲线上，且M，N关于原点对称，若MF⊥NF，设∠MNF＝θ，且θ∈，则该双曲线E的焦距的取值范围是________________．
答案　[2，2＋2]
解析　如图，

设双曲线的左焦点为F′，连接MF′，NF′，
由于MF⊥NF，所以四边形F′NFM为矩形，
故|MN|＝|FF′|＝2c.
在Rt△NFM中，|FN|＝2ccos θ，|FM|＝2csin θ，
由双曲线的定义可得2＝2a＝|NF|－|NF′|＝|NF|－|FM|＝2ccos θ－2csin θ＝2ccos，
∴c＝，
∵≤θ≤，
∴≤θ＋≤，
∴≤cos≤，
∴≤c≤＋1,2≤2c≤2＋2.
考点二　圆锥曲线大题中的范围问题
要点重组　范围问题的求解策略
解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围；
(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；
(3)利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；
(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；
(5)利用函数值域的求法，确定所求范围；
(6)利用已知，将条件转化为几个不等关系，从而求出参数的范围．
5．(2019·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解　(1)连接PF1.
由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，
∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，
于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，
故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，
则|y|·2c＝16，·＝－1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
又＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．
6．(2020·张家口质检)已知动点P到点F(1,0)的距离与它到直线l：x＝4的距离d的比值为，设动点P形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F(1,0)的直线与曲线C交于A，B两点，过A点作AA1⊥l，垂足为A1，过B点作BB1⊥l，垂足为B1，求的取值范围．
解　(1)设P(x，y)，
由题意得＝＝，
整理化简得＋＝1，
故曲线C的方程为＋＝1.
(2)①当直线的斜率为0时，＝或3.
②当直线的斜率不为0时，
设直线AB的方程为x＝ny＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去x，
化简整理得(3n2＋4)y2＋6ny－9＝0，
显然Δ＝144(n2＋1)>0，
由根与系数的关系可得y1＋y2＝－，
y1y2＝－.
设＝λ(λ>0)，
∴－y2＝λy1，即y2＝－λy1，
∴y1＋y2＝－＝(1－λ)y1，
y1y2＝－＝－λy，
由以上两式消去y1，可得＝，
(ⅰ)当n＝0时，λ＝1，
(ⅱ)当n≠0时，＝∈，
∴00，
整理得k2>，
解得k>或k2，得x1x2＋y1y2>2，
即＋4>2，
整理得k2