2022年高考三轮复习之大题规范练1

这是一份2022年高考三轮复习之大题规范练1，共8页。试卷主要包含了已知函数f＝lgkx，已知椭圆Γ，已知函数f＝ex＋a－ln x等内容，欢迎下载使用。
大题规范练11．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝(a＋c，cos A＋sin C)，n＝(b，sin B)满足m∥n.(1)求角A；(2)若△ABC的面积为4，a＝5，求△ABC的周长．解　(1)由m∥n，得(a＋c)sin B＝b(cos A＋sin C)．结合正弦定理，得(sin A＋sin C)sin B－sin Bsin C＝sin Bcos A.∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴tan A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵△ABC的面积为4，∴bcsin A＝4.由(1)知A＝，∴bc＝16.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－48＝25.∴b＋c＝.∴△ABC的周长为5＋.2．(2020·潍坊模拟)已知函数f(x)＝logkx(k为常数，k>0且k≠1)．(1)在下列条件中，________(填序号)使数列{an}是等比数列，说明理由；①数列{f(an)}是首项为2，公比为2的等比数列；②数列{f(an)}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f(an)}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．(2)在(1)的条件下，当k＝时，设anbn＝，求数列{bn }的前n项和Tn.解　(1)①③不能使{an}成等比数列．②可以．理由如下：由题意f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，即logkan＝2n＋2，得an＝k2n＋2，且a1＝k4≠0，∴＝＝k2.∵常数k>0且k≠1，∴k2为非零常数，∴数列{an}是以k4为首项，k2为公比的等比数列．(2)由(1)知an＝k4·(k2)n－1＝k2n＋2，∴当k＝时，an＝2n＋1.∵anbn＝，∴bn＝，∴bn＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.3．如图①，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝，BC＝1，AD＝3，BP⊥AD，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，得到如图②所示的四棱锥A－BCDP，其中M为AD的中点．(1)试分别在PB，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC；(2)求二面角M－PC－A的余弦值．解　(1)E，F分别为BP，CD的中点，证明如下：连接ME，MF，EF(图略)，∵M，F分别为AD，CD的中点，∴MF∥AC.又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，∴BC∥EF.∵MF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MF∥平面ABC，同理EF∥平面ABC，又∵MF∩EF＝F，MF，EF⊂平面MEF，∴平面MEF∥平面ABC.(2)由题意知AP，BP，DP两两垂直，以P为坐标原点，PB，PD，PA所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵在等腰梯形ABCD中，AB＝，BC＝1，AD＝3，BP⊥AD，∴AP＝1，BP＝1，PD＝2，∴P(0,0,0)，C(1,1,0)，A(0,0,1)，D(0,2,0)，∴M，＝(1,1,0)，＝.设平面MPC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令z1＝－2，则y1＝1，x1＝－1，∴n1＝(－1,1，－2)为平面MPC的一个法向量．同理可得平面PAC的一个法向量为n2＝(－1,1,0)．设二面角M－PC－A的平面角为θ，由图可知θ∈，则cos θ＝＝＝.∴二面角M－PC－A的余弦值为.4．某企业进行深化改革，使企业的年利润不断增长．该企业记录了从2014年到2019年的年利润y(单位：百万元)的相关数据，如下表：年份201420152016201720182019年份代号t123456年利润y/百万元358111314 (1)根据表中数据，以年份代号t为横坐标，年利润y为纵坐标建立平面直角坐标系，根据所给数据作出散点图；(2)利用最小二乘法求出y关于t的线性回归方程(保留2位小数)；(3)用i表示用正确的线性回归方程得到的与年份代号t对应的年利润的估计值，yi为与年份代号t对应的年利润数据，当i－yi<0时，将年利润数据yi称为一个“超预期数据”，现从这6个年利润数据中任取2个，记X为“超预期数据”的个数，求X的分布列与均值．附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝－.解　(1)根据表中数据，描点如图：(2)由已知数据得＝＝3.5，＝＝9，iyi＝3＋10＋24＋44＋65＋84＝230，＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，＝＝≈2.34，＝－ ＝9－2.34×3.5＝0.81，所以y关于t的线性回归方程为＝2.34t＋0.81.(3)由(2)可知，当t＝1时，1＝3.15；当t＝2时，2＝5.49；当t＝3时，3＝7.83；当t＝4时，4＝10.17；当t＝5时，5＝12.51；当t＝6时，6＝14.85.与年利润数据yi对比可知，满足i－yi<0的数据有3个，所以X的所有可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，X的分布列为X012P E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.5．已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)经过点M(－2，1)，且右焦点为F(，0)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)过N(1,0)且斜率存在的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t＝·，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1＋t2的值．解　(1)由椭圆＋＝1的右焦点为(，0)，知a2－b2＝3，即b2＝a2－3，则＋＝1，a2>3.又椭圆过点M(－2,1)，∴＋＝1，又a2>3，∴a2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为＋＝1.(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2＋2k2(x－1)2＝6，即(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－6＝0，∵点N(1,0)在椭圆内部，∴Δ>0，∴则t＝·＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋(kx1－k－1)(kx2－k－1)＝(1＋k2)x1x2＋(2－k2－k)(x1＋x2)＋k2＋2k＋5，③将①②代入③得，t＝(1＋k2)·＋(2－k2－k)·＋k2＋2k＋5，∴t＝，∴(15－2t)k2＋2k－1－t＝0，k∈R，则Δ1＝22＋4(15－2t)(1＋t)≥0，∴(2t－15)(t＋1)－1≤0，即2t2－13t－16≤0，由题意知t1，t2是2t2－13t－16＝0的两根，∴t1＋t2＝.6．已知函数f(x)＝ex＋a－ln x(其中e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；(2)求证：当a>1－时，f(x)>e＋1.(1)解　∵a＝0，∴f(x)＝ex－ln x，f′(x)＝ex－(x>0)，∴f(1)＝e，f′(1)＝e－1，∴函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.(2)证明　方法一　∵a>1－，∴ex＋a>，∴f(x)＝ex＋a－ln x>－ln x.令g(x)＝－ln x(x>0)，∴g′(x)＝－，令t(x)＝－，则t′(x)＝＋>0，∴g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g′＝e－e＝0，∴当x∈时，g′(x)<0，当x∈时，g′(x)>0，∴g(x)在上单调递减，在上单调递增．∴g(x)min＝g＝e＋1，∴f(x)>g(x)≥e＋1，即证f(x)>e＋1.方法二　∵f′(x)＝ex＋a－(x>0)，设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex＋a＋>0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∵ex＋a>ea，由ea>⇒x>e－a，∴当x>e－a时，f′(x)>0；又∵若0<x<1⇒ex＋a<ea＋1，由ea＋1<⇒x<e－a－1，∴当0<x<min{1，e－a－1}时，f′(x)<0，故f′(x)＝0仅有一解，记为x0，则当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴f(x)min＝f(x0)＝－ln x0，而f′(x0)＝－＝0⇒＝⇒a＝－ln x0－x0，记h(x)＝ln x＋x，则f(x0)＝－ln x0＝h，a>1－⇔－a<－1⇔h(x0)<h，而h(x)显然是增函数，∴0<x0<⇔>e，∴h>h(e)＝e＋1.∴f(x)>e＋1，综上，当a>1－时，f(x)>e＋1.