2021届福建省福州高三二模数学试卷及答案解析

这是一份2021届福建省福州高三二模数学试卷及答案解析，共28页。试卷主要包含了全集，集合，则，已知为复数，，则等于，在的展开式中，的系数是，已知，则等内容，欢迎下载使用。


建省福州市2021届高三5月二模数学试题

第I卷（选择题）
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一、单选题
1．全集，集合，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件求出集合A，再求集合A的补集得解.
【详解】
由得，而，所以集合，
从而.
故选：D
2．已知为复数，，则等于（       ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由，再由求模长公式求解即可.
【详解】
由，得，
所以，
故选：C.
3．在的展开式中，的系数是（       ）
A．15 B．30 C．36 D．60
【答案】B
【解析】
【分析】
运用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】
因为，
所以的通项公式为：，
令，所以，
因此的系数是，
故选：B
4．某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方体、正四棱锥的体积公式，结合已知进行求解即可.
【详解】
设正方体的棱长为，则正方体的体积为，

每一个正四面体的体积为：，
由题意可知：，
故选：B
【点睛】
关键点睛：利用空间想象能力是解题的关键.
5．已知，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由确定出1 【详解】
因则，a>1，此时，则有a<2，即1 又，而，即，b<1，
所以.
故选：C
6．已知直线与抛物线交于，两点.若点满足，则（       ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
直线方程与抛物线方程联立，根据直角的性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
直线与抛物线联立得：，
设，所以，
点满足，所以有：
，
所以解得，
故选：C
7．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（）的数据如下表：

40
60
90
100
120

5.2
6
8.325
10
15.6

为描述与的关系，现有以下三种模型供选择：，，.选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是，，（单位：）.为使百公里耗油量（单位：）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为（       ）A．在外侧车道以行驶 B．在中间车道以行驶
C．在中间车道以行驶 D．在内侧车道以行驶
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据数据选择函数模型，再表示，求函数取得最小值时，的取值.
【详解】
由题意，符合的函数模型需要满足在，都可取，且由表可知，随的增大而增大，则该函数模型应为增函数，
不符合，
若选择，则，，，与实际数据相差较大，所以不符合，
若选择，则，，，，，最符合实际，
，
当时，取得最小值为.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数模型解决实际问题，本题的关键是建立函数模型，一个是判断最符合的函数模型，另一个是求.
8．为了了解疫情期间的心理需求，心理健康辅导员设计了一份问卷调查，问卷有两个问题：①你的学号尾数是奇数吗？②你是否需要心理疏导？某校高三全体学生870人参加了该项问卷调查.被调查者在保密的情况下掷一枚质地均匀的骰子，当出现1点或2点时，回答问题①，否则回答问题②.由于不知道被调查者回答的是哪一个问题，因此，当他回答“是”时，别人无法知道他是否有心理问题，这种调查既保护了他的隐私，也能得到诚实的问卷反应.问卷调查结束后，发现该校高三学生中有155人回答“是”，由此可估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为（       ）
A．10 B．15 C．29 D．58
【答案】B
【解析】
【分析】
根据古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】
因为当出现1点或2点时，回答问题①，所以概率为，
因为高三全体学生870人参加了该项问卷调查，
所以回答问题①的学生有，
因为学号尾数不是奇数就是偶数，故290人中回答是的人数为，
而该校高三学生中有155人回答“是”，
所以估计该校高三需要心理疏导的学生人数约为，
故选：B
评卷人
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二、多选题
9．已知向量，，，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据平面向量基底的性质，结合共线向量的性质进行判断即可.
【详解】
A：假设，则有，显然不成立，故向量，不是共线向量，所以符合题意；
B：，因为，所以，是共线向量，因此不符合题意；
C：，因为，所以，是共线向量，因此不符合题意；
D：，，假设是共线向量，则有显然不成立，故向量，不是共线向量，所以符合题意，
故选：AD
10．已知，直线，是的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正确的是（       ）
A．函数为偶函数 B．的图象的一个对称中心为
C．在区间上有个零点 D．在区间上为单调函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】
求出、，利用余弦型函数的奇偶性可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误，在解方程，可判断C选项的正误.
【详解】
由题意可知，函数的最小正周期为，则，
，所以，，
则，所以，.
对于A选项，，
所以，函数为偶函数，A选项正确；
对于B选项，，
所以，的图象的一个对称中心为，B选项正确；
对于C选项，当时，，
所以，函数在上有个零点，C选项正确；
对于D选项，当时，，
所以，函数区间上不单调，D选项错误.
故选：ABC.
【点睛】
思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为或的形式；
（2）将看成一个整体；
（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
11．在棱长为2的正四面体中，为的中点，为的中点，则下列说法正确的是（       ）
A． B．正四面体外接球的表面积等于
C． D．正四面体外接球的球心在上
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据平行线的性质、正四面体的性质、球的性质，结合线面垂直的判定定理和性质、球的表面积公式进行求解判断即可.
【详解】
取的中点F，连接，因为为的中点，所以，
假设，所以有，显然与矛盾，故假设不成立，因此A选项说法不正确；
设正四面体外接球的球心为，
因为，为的中点，所以，
因此，同理，
所以有，因为为的中点，所以直线是的垂直平分线，而是正四面体外接球的球心，所以，
因此正四面体外接球的球心在上，所以选项D说法正确，
设顶点在底面的射影为，显然在线段上，设该球的半径为，
，所以，
因此有：，
所以该球的表面积为：，故选项B说法正确；
由上可知：，，而平面，
所以平面，而平面，所以，因此选项C说法正确，
故选：BCD

【点睛】
关键点睛：运用正四面体的性质通过计算确定该正四面体外接球的球心位置是解题的关键.
12．在中，，为的中点，且，则下列说法中正确的是（       ）
A．动点的轨迹是双曲线 B．动点的轨迹关于点对称
C．是钝角三角形 D．面积的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】
由联想到双曲线的定义，可以考虑以两点作为焦点，为原点作图，设=，此时点在以为圆心，为半径的圆上，由，知点在双曲线上，由图逐项判断即可．
【详解】
以为原点，为轴建立直角坐标系．
设=，此时点在以为圆心，为半径的动圆上．

由，知点在以为焦点，的双曲线上且．
对点有，，从而，当时，最大，故，，故正确；
时，得到另一个点，此时为直角三角形，故错误；
∵非定值，∴不以双曲线为轨迹，故错误；
∵，∴一定有关于的对称点关于原点对称，故正确．
故选：BD．
【点睛】
本题考查双曲线的定义以及画图作图，关键点在得到点在以为焦点，的双曲线上且．
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分



三、填空题
13．已知，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简得，再用二倍角正弦公式化成二次式并转化成正切即可得解.
【详解】
因，则，
.
故答案为：
14．已知正项等比数列的前项和为，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，结合等比数列前项和公式进行求解即可.
【详解】
设正项等比数列的公比为，，
因为，所以，
因此，
而，所以，
故答案为：
15．函数，若，，，都有成立，则满足条件的一个区间可以是__________（填写一个符合题意的区间即可）.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由条件判断函数的图象在区间内上凸，从而由图象确定单调递减，利用，求解区间.
【详解】
在区间内，，即函数的图象在区间内上凸，如图，可以看出，的图象的切线斜率递减，即，
，
，
令，解得：，
所以满足条件的一个区间是的一个子集，可以是.

故答案为： （答案不唯一）
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的凹凸性，本题的关键是函数的凹凸性和导数联系起来.
评卷人
得分



四、双空题
16．购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金50万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为__________；一年度内盈利的期望为__________万元.（参考数据：）
【答案】     0.63     150
【解析】
【分析】
首先求不需赔付的概率，再求其对立事件，即为需赔付的概率；（2）由条件可知，10万份保单中需赔付的件数，再求需赔付的保险金的期望，最后求盈利的期望.
【详解】
每份保单不需要赔付的概率是，则10万分保单不需要赔付的概率；需赔付的概率是
设10万份保单中需赔付的件数，设为，则，则需赔付的保险金为，则，
则一年内的盈利的期望是（元）=150（万元）
故答案为：；
【点睛】
关键点点睛：本题考查二项分布，期望，本题的关键是理解题意，并转化为合理的概率类型求概率.
评卷人
得分



五、解答题
17．的内角，，所对的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若是的外接圆的劣弧上一点，且，，，求.
【答案】（1）；（2）3.
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理边化角，再用差角的余弦公式展开化成正切即可得解；
(2)利用余弦定理求出边b，借助圆内接四边形性质求得，最后又由余弦定理建立方程得解.
【详解】
（1）中，由正弦定理有，
从而，化简得，，
因为，即，所以，又，故.
（2）在中，由余弦定理知，
，即.
又由于，，，四点共圆，从而，
在中，设，由余弦定理得，，
即得，化简得，，解得或（舍去），
故.
【点睛】
思路点睛：已知两边及一边的对角求第三边的三角形问题，可用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解.
18．已知数列满足，.
（1）证明：存在等差数列，当时，成立；
（2）求的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
解法一：（1）将代入递推关系，化简得到，满足等差数列定义，即得证；
（2）求得的通项公式，代入化简，即可求出的通项公式.
解法二：（1）取，代入验证递推关系是否满足即可；
（2）化简递推关系为，则是等差数列，写出通项，即可求得的通项公式.
【详解】
解法一：（1）当时，由，得，
化简得，即，
这说明是等差数列，故存在一个等差数列，当时，成立.
（2）依题意，，
又由（1）知，所以，即，
所以等差数列的公差
所以，
故.
解法二：（1）由已知，当时，因为，，
所以，，
故令，则数列是首项为1，公差为2的等差数列.
此时，代入验算满足，
故存在一个等差数列，当时，成立，命题得证.
（2）由，得，
由，得，
所以，
所以是首项为，公差为1的等差数列，
即，
所以.
【点睛】
方法点睛：对递推关系变形，构造新的数列，满足等差或等比数列，从而求得原数列的通项公式.
19．在三棱柱中，，平面平面，平面平面.

（1）证明：平面；
（2）在①；②与平面所成的角为；③异面直线与所成角的余弦值为这三个条件中任选两个，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用面面垂直的性质证得和即可得证；
(2)选择条件①②或①③，结合已知求出AA1，选择条件②③，探求出AB，AC，AA1的关系，无论选择哪两个条件都以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即得.
【详解】
（1）证明：因为，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，同理：，
又因为，所以平面；
（2）选择①②：
由（1）知，平面，所以三棱柱是直三棱柱.
因为，，所以.
在直三棱柱中，平面，BA1是BC1在平面内射影，
所以为与平面所成的角，即，
在中，，，，
在中，，则，
以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
由得，令得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由得，令得平面的一个法向量为.
所以，所以二面角的余弦值；
选择①③：
因为，，所以，由（1）知，平面，故，
在三棱柱中，，则异面直线与所成角为，
所以，
在中，因为，，，，所则；
以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
由得，令得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由得，令得平面的一个法向量为.
所以，所以二面角的余弦值；
选择②③；
由（1）知，平面，所以三棱柱是直三棱柱，平面，BA1是BC1在平面内射影，
所以为与平面所成的角，即，
又，则异面直线与所成角为，所以，
在中，设，则，所以，
在中，因为，，所以，，
以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
由得，令得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
由得，令得平面的一个法向量为.
所以，所以二面角的余弦值.
【点睛】
方法点睛：直线垂直平面的证明方法：(1)直线与平面的垂直判定定理；(2)平面与平面垂直的性质定理；(3)两条平行直线中一条直线垂直一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
20．某种病菌在某地区人群中的带菌率为，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法.现引进操作易、成本低的新型检测方法：每次只需检测，两项指标，若指标的值大于4且指标的值大于100，则检验结果呈阳性，否则呈阴性.为考查该检测方法的准确度，随机抽取50位带菌者（用“*”表示）和50位不带菌者（用“+”表示）各做1次检测，他们检测后的数据，制成如下统计图：

（1）从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，求检测结果呈阳性的概率；
（2）能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关？
（3）现用新型检测方法，对该地区人群进行全员检测，用频率估计概率，求每个被检者“带菌”且“检测结果呈阳性”的概率.
附：.

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

【答案】（1）；（2）能；（3）0.07.
【解析】
【分析】
（1）解法一：由统计图可知，指标的值大于4且指标的值大于100中，“+”有5个，再计算其概率；解法二：利用条件概率计算结果；（2）首先作出列联表，再计算，再和参考数据比较大小，判断结论；（3）设“被检测者带菌”，“被检测者检测结果呈阳性”，利用条件概率计算.
【详解】
解法一：（1）设“从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳性”，
根据统计图可知在不带菌者中，检测结果呈阳性的有5人，
所以.
（2）假设：“带菌”与“检测结果呈阳性”无关，
可作出列联表如下：

阳性
阴性
合计
带菌
35
15
50
不带菌
5
45
50
合计
40
60
100

进一步计算得，的观测值；
因为，
所以，能够在犯错误概率不超过0.001的前提下认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关.
（3）设“被检测者带菌”，“被检测者检测结果呈阳性”，
则“被检者‘带菌’且‘检测结果呈阳性’”，
用频率估计概率，根据题意可知：，，
所以由条件概率公式可知.
解法二：（1）设“从这100名被检测者中，随机抽取一名为不带菌者”，“从这100名被检测者中，随机抽取一名检测结果呈阳性”，
则“从这100名被检测者，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳性”的概率就是“在事件发生的条件下，事件发生”的概率，记为.
根据题意，，，
利用条件概率公式，得.
（2）下同解法一.
【点睛】
关键点点睛：本考查独立性检验，条件概率，本题的关键是正确读取数据，尤其是第三问，正确转化为条件概率.
21．已知椭圆的左、右顶点分别为，，为原点.以为对角线的正方形的顶点，在上.
（1）求的离心率；
（2）当时，过作与轴不重合的直线与交于，两点，直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是，，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，将其代入椭圆方程中化简可得，从而可求出离心率；
（2）当时，，所以椭圆的方程为，然后当直线的斜率不存在时，求出，两点的坐标，从而可求出，，进而可得的值，当直线的斜率存在时，设的方程为，，设，，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系得，，然后求，化简可得答案；或利用根与系数的关系后，由于
在椭圆上，所以，所以，再化简即可得答案；或由于，在椭圆上，代入椭圆方程中，化简可得，，设，则，从而可得，进而可得直线经过点，又过定点，故，从而可求得结果
【详解】
解法一：（1）以为对角线的正方形的顶点坐标分别为，，.
因为，在椭圆上，所以，
所以，
所以，
所以椭圆的离心率；

（2）当时，，所以椭圆的方程为.
为定值，理由如下：
①当直线的斜率不存在时，的方程为，则，，
所以，，所以.
②当直线的斜率存在时，设的方程为，，
设，，
不妨设，且.
由可得，
，，.
要证，只要证明：，
只要证：，
只要证：，
只要证：，
因为，，即证，
因为，，所以.
所以成立，
综上所述：.

解法二：（1）同解法一；
（2）当时，，所以椭圆的方程为.
设的方程为，，
设，，不妨设.
由可得，
，，.
所以，即.



.
综上所述：.
解法三：（1）同解法一；
（2）当时，，所以椭圆的方程为.
设的方程为，，
设，，不防设.
由可得，
，，.
因为在椭圆上，所以，即，
所以.
，


.
所以.
综上所述：.
解法四：（1）同解法一；
当时，，所以椭圆的方程为.
设，，
因为在椭圆上，所以，所以.
所以，
同理.
设，则，
所以，①
，②
①+②得，
当时得，不合题意，舍去.
当时，，
所以直线经过点，
又过定点，故，解得.
综上所述：.
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆离心率的求法，考查椭圆中的定值问题，解题的关键是当直线的斜率存在时，设的方程为，，设，，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系得，，然后求，化简可得答案，考查计算能力，属于中档题
22．（1）若，判断函数在区间内的单调性；
（2）证明：对任意，，.
【答案】（1）在单调递增；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据导数的性质，结合余弦函数的单调性进行求解即可；
（2）根据（1）可得，令，利用放缩法可得：
，用这个不等式，结合对数的运算性质证明即可.
【详解】
（1）因为，
所以.
因为，所以，则.
又，知，且时，
故，所以在单调递增.
（2）由（1）知，当时，，即，
所以.
令，所以，从而，
所以，
因为，，所以，所以，
所以，
所以，
因为

，
所以，
所以.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是利用（1）得到这个不等式，用这个不等式应用放缩法进行证明.