2021年北京市东城区中考一模数学试卷-有答案解析

这是一份2021年北京市东城区中考一模数学试卷-有答案解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共16分）
1. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是
A. 三棱柱B. 正方体C. 圆锥D. 圆柱

2. 在平面直角坐标系 中，下列函数的图象不过点 的是
A. B. C. D.

3. 年 月 日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射． 年 月 日，在经过长达七个月， 公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将 用科学记数法表示应为
A. B. C. D.

4. 一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上．在图中所标记的角中，与 相等的角是
A. B. C. D.

5. 如图， 经过旋转或轴对称得到 ，其中 绕点 逆时针旋转 的是
A. B.
C. D.

6. 实数 ，， 在数轴上的对应点的位置如图所示．下列式子正确的是
A. B. C. D.

7. 如图，， 是 的切线，切点分别为 ，， 的延长线交 于点 ，连接 ，，，若 ，，则 等于
A. B. C. D.

8. 一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是 ，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以 长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到
A. B. C. D.

二、填空题（共8小题；共16分）
9. 若分式 的值为 ，则 的值等于 ．

10. 分解因式： ．

11. 用一组 ， 的值说明“若 ，则 ”是假命题，这组值可以是 ， ．

12. 月 日是世界读书日．甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书 本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的 倍多 ，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书 本、乙同学购买图书 本，则可列方程组为 ．

13. 有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：
根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为 ”的概率为 ．（精确到 ）

14. 若一个多边形的内角和是外角和的 倍，则这个多边形的边数为 ．

15. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的最小值是 ．

16. 小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等，小青的家到地铁站（或公交车站）有一段距离，地铁站（或公交车站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车共享单车的计价规则为：每 分钟 元，不足 分钟的按 分钟计算.出行方式的相应信息如下表（ 表示某种出行方式选择的交通工具）：
根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：
①要使费用尽可能少，可以选择方式 ，，；
②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式 ；
③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约 分钟；
④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么除方式 外，其它出行方式的费用均会超过 元．
其中推断合理的是 ．（填序号）

三、解答题（共12小题；共82分）
17. 计算：．

18. 已知 ，求代数式 的值．

19. 尺规作图：
如图，已知线段 ，线段 及其中点．
求作：菱形 ，使其两条对角线的长分别等于线段 ， 的长．
作法：①作直线 ，在 上任意截取线段 ；
②作线段 的垂直平分线 交线段 于点 ；
③以点 为圆心，线段 的长的一半为半径画圆，交直线 于点 ，；
④分别连接 ，，，；
则四边形 就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：，，
四边形 是 ．
，
四边形 是菱形（ ）（填推理的依据）．

20. 解不等式组： 并写出其中的正整数解．

21. 解分式方程：．

22. 如图，在平行四边形 中，过点 作 于点 ， 的延长线交 于点 ．过点 作 交 于点 ，交 于点 ．过点 作 于点 ．
（1）求证：四边形 为矩形．
（2）若 ，，，求线段 的长．

23. 在平面直角坐标系 中，直线 与直线 平行，且过点 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线 与直线 关于 轴对称，直线 与直线 ， 围成的区城 内（不包含边界）恰有 个整点，求 的取值范围．

24. 如图， 是 的内接三角形，过点 作 的切线交 的延长线于点 ， 于点 ，交 于点 ．
（1）求证：；
（2）若 ，，求线段 的长．

25. 第 届冬季奥林匹克运动会，又称 年北京冬奥会，将于 年 月 日至 月 日，在北京市和张家口市同时举行．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取 人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息：
a. 名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：
b． 名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成 组：，，，，，）：
c．测试成绩在 这一组的是：

d.小明的冬奥知识测试成绩为 分.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明的测试成绩在抽取的 名同学的成绩中从高到低排名第 ；
（2）抽取的 名同学的成绩的中位数为 ；
（3）序号为 的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为 ；序号为 的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为 ；序号为 的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为 ．直接写出 ，， 的大小关系；
（4）成绩 分及以上记为优秀，若该校初中三个年纪 名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为 人．

26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上，其中 ．
（1）求抛物线的对称轴（用含 的式子表示）；
（2）①当 时，求 的值；
②若 ，求 的值（用含 的式子表示）；
（3）若对于 ，都有 ，求 的取值范围．

27. 已知 ，点 为边 上一个定点，点 为线段 上一个动点（不与点 ， 重合），点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ，．点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ，．
（1）如图 ，若点 为线段 的中点．
①直接写出 的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段 与 的数量关系；
（2）如图 ，若线段 与 交于点 ．
①设 ，求 的大小（用含 的式子表示）；
②用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系 中，已知正方形 ，其中 ，，，．， 为该正方形外两点，．
给出如下定义：记线段 的中点为 ，平移线段 得到线段 ，使点 ， 分别落在正方形 的相邻两边上，或线段 与正方形的边重合（， 分别为点 ，， 的对应点），线段 长度的最小值称为线段 到正方形 的“平移距离”．
（1）如图 ，平移线段 ，得到正方形 内两条长度为 的线段 ，，则这两条线段的位置关系是 ；若 ， 分别为 ， 的中点，在点 ， 中，连接点 与点 的线段的长度等于线段 到正方形 的“平移距离”．
（2）如图 ，已知点 ，若 ， 都在直线 上，记线段 到正方形 的“平移距离”为 ，求 的最小值；
（3）若线段 的中点 的坐标为 ，记线段 到正方形 的“平移距离”为 ，直接写出 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. B
4. A
5. D
6. C
7. B
8. C
第二部分
9.
10.
11. ，（答案不唯一）
12.
13.
14.
15.
16. ①②③
第三部分
17.
18.
，
．
．
19. （1） 尺规作图如图：
（2） 平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
20.
由①去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为 ，得
不等式①的解集为
由②移项，得
合并同类项，得
不等式②的解集为
不等式组的解集为
其中正整数解为 ．
21. 去分母，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为 ，得
经检验， 是原方程的解．
所以，原方程的解为 ．
22. （1） ，
．
，
，
．
，
．
四边形 为矩形．
（2） 四边形 为矩形，
．
在 中，．
，，
．
根据勾股定理，得 ．
．
四边形 是平行四边形，
，．
．
，
．
．
．
23. （1） 直线 与直线 平行，
．
直线 过点 ，
．
直线 的表达式为 ．
（2） ①当 时，
把 代入 ，得 ，
直线 与直线 的交点为 ．
由图形的对称性，
可知，
直线 与直线 的交点为 ．
结合图象，可知
当 时，区域 内（不包含边界）整点个数小于 ，不符合题意．
当 时，区城 内（不包含边界）恰有 个整点：
，，，，，．
当 时，区域 内（不包含边界）整点个数大于 ，不符合题意．
．
②当 时，由图形的对称性，得 ．
综上所述， 或 ．
24. （1） 方法 ：
如图，作直径 ，连接 ，
则 ．
，
．
．
．
，
．
是 的切线，
．
．
．

【解析】方法 ：
如图，连接 ，．
，，
．
．
．
是 的切线，
．
．
．
（2） 方法 ：
，
．
在 中，，，
．
根据勾股定理，得 ．
．
在 中，，
．
【解析】方法 ：
，
．
，．
．
．
在 中，，，
．
根据勾股定理，得 ．
25. （1）
（2）
（3）
（4）
26. （1） 抛物线的对称轴为直线 ；
（2） ①当 时，；
② ；
（3） ①当 时，
，，
，只需讨论 的情况．
若 ，
时， 随着 的增大而增大，
，符合题意；
若 ，
，
．
，
，
，
时，， 时， 随着 的增大而增大，
，符合题意．
②当 时，
令 ，．
此时 ，但 ，不符合题意；
综上所述， 的取值范围为 ．
27. （1） ① ；
②补全图形，如图 ，．
（2） ①如图 ，连接 ，
点 ，点 关于直线 对称，点 ，点 关于直线 对称，
，，．
，
．
为等边三角形．
，．
．
．
，
．
．
．
②结论：．
证明：
，
．
在 上截取 ，连接 ，
为等边三角形．
．
．
．
，，
．
．
．
28. （1） ；
【解析】由题意，，连接点 与点 的线段的长度是等于线段 到正方形 的“平移距离”．
（2） 如图 中，当 ， 分别在 ， 上时， 存在最小值，最小值等于点 到 的距离．
，，，．
，
，
四边形 是正方形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 中，在 上取一点 ，使得 ，则 ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，

（3） ．
【解析】如图 中，
当 与 重合时， 的中点为 ，此时线段 到正方形 的“平移距离”为 的值最小，
最小值 ，
当 与 重合时， 的中点为 ，此时线段 到正方形 的“平移距离”为 的值最大，
最大值 ．
综上所述，．