初中人教版18.1.2 平行四边形的判定第2课时课时训练

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18.1.2 第2课时 三角形的中位线一、选择题．1．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　）A．4.5 B．9 C．10 D．12【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、DF、EF，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解析】∵点D、E、F分别是三边的中点，∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，∴DEAB7，DFAC5，EFBC6＝3，∴△DEF的周长3＝9，故选：B．2．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（　　）A．3 B．4 C．2 D．【分析】连接AC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠DAC，结合图形求出∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解析】连接AC，∵DA＝DC，∠D＝100°，∴∠DAC＝∠DCA＝40°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝130°﹣40°＝90°，∴AC8，∵点E，F分别是边AD，CD的中点，∴EFAC＝4，故选：B．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，若CE＝2，则四边形ADFE的周长为（　　）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据三角形的中点的概念求出AB、AC，根据三角形中位线定理求出DF、EF，计算得到答案．【解析】∵点E是AC的中点，AB＝AC，∴AB＝AC＝4，∵D是边AB的中点，∴AD＝2，∵E、F分别是边、AC、BC的中点，∴DFAC＝2，同理，EF＝2，∴四边形ADFE的周长＝AD+DF+FE+EA＝8，故选：D．4．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE＝3cm，即可求得AB＝6cm．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC；又∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）．故选：B．5．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（　　）A．保持不变 B．逐渐变小 C．先变大，再变小 D．逐渐变大【分析】连接AQ，根据三角形中位线定理解答即可．【解析】连接AQ，∵点Q是边BC上的定点，∴AQ的大小不变，∵E，F分别是AP，PQ的中点，∴EFAQ，∴线段EF的长度保持不变，故选：A．6．如图，已知△ABC中∠A＝90°，点E、D分别在AB、AC边上，且BE等于8，CD＝10，点F、M、N分别是BC、BD、CE的中点，则MN的长为（　　）A． B．6 C．4 D．3【分析】根据三角形中位线定理和勾股定理即可得到结论．【解析】∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵点F、M、N分别是BC、BD、CE的中点，∴NF∥BE，NFBE＝4，MF∥CD，MFCD＝5，∴∠NFC＝∠ABC，∠MFB＝∠ACB，∴∠MFN＝180°﹣∠MFB﹣∠NFC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°，∴MN，故选：A．7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　）A．3 B．2 C．4 D．2【分析】连接DN、DB，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理得到EFDN，结合图形解答即可．【解析】连接DN、DB，在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，∴BD4，∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EFDN，由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，∴EF长度的最大值为2，故选：D．8．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，若BC＝10，则DE的长为（　　）A．6 B．5 C． D．【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可．【解析】∵D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝10，∴DEBC＝5．故选：B．9．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（　　）A．1 B． C． D．【分析】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DEAM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．【解析】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME＝EB，又AD＝DB，∴DEAM，DE∥AM，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°，∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，∴AN＝AC•sin∠ACN，∴AM，∵BD＝DA，BE＝EM，∴DE，故选：B．10．如图，在△ABC中，BD，CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO．若要使得四边形DEFG是正方形，则需要满足条作（　　）A．AO＝BC B．AB⊥AC C．AB＝AC且AB⊥AC D．AO＝BC且AO⊥BC【分析】根据三角形中位线定理得到DEBC，DE∥BC，FGBC，FG∥BC，得到四边形DEFG为平行四边形，根据正方形的判定定理解答即可．【解析】∵点E、D分别为AB、AC的中点，∴DEBC，DE∥BC，∵点F、G分别是BO、CO的中点，∴FGBC，FG∥BC，∴DE＝FG，DE∥FG，∴四边形DEFG为平行四边形，∵点E、F分别为AB、OB的中点，∴EFOA，EF∥OA，当EF＝FG，即AO＝BC时平行四边形DEFG为菱形，当AO⊥BC时，DE⊥OA，∵EF∥OA，∴EF⊥FG，∴四边形DEFG为正方形，则当AO＝BC且AO⊥BC时，四边形DEFG是正方形，故选：D．二、填空题．11．三角形的周长为18cm，它的三条中位线围成的三角形的周长是　9cm　．【分析】根据三角形的中位线得出DEBC，DFAC，EFAB，再根据△ABC的周长是18cm求出即可．【解析】如图，∵△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，∴DEBC，DFAC，EFAB，∵△ABC的周长是18cm，即AB+AC+BC＝18cm，∴△DEF的周长是EF+DF+DE（AB+AC+BC）18cm＝9cm，故答案为：9cm．12．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF的长为　1　．【分析】延长AF交BC于H，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DEBC＝3，AF＝FH，证明△BFA≌△BFH，根据全等三角形的性质求出BH，结合图形计算即可．【解析】连接AF并延长交BC于H，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DEBC＝3，AF＝FH，在△BFA和△BFH中，，∴△BFA≌△BFH（AAS），∴BH＝AB＝4，∵AD＝DB，AF＝FH，∴DFBH＝2，∴EF＝DE﹣DF＝1，故答案为：1．13．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠EPF的度数是　120°　．【分析】根据三角形中位线定理得到PFBC，PEAD，根据题意得到PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解析】∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，∴PFBC，PEAD，又AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝30°，∴∠EPF＝120°，故答案为：120°．14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，且AB＝10cm，AC＝16cm，则四边形ADEF的周长等于　26　cm．【分析】根据三角形中位线定理，证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理，求出DE、EF的长，即可解决问题．【解析】∵点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，∴DE，EF都是△ABC的中位线，∴DEAC＝8cm，DE∥AC，EFAB＝5cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长＝2（DE+EF）＝2×13＝26（cm）．故答案为：26．15．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、DE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是　8　m．【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解析】∵点A、点B分别是CD、DE的中点，∴AB是△CDE的中位线，∴ABDE＝8（m），故答案为：8．16．如图，已知线段AB，将线段AB沿某个方向平移4个单位得到线段DC，其中点D是A的对应点，且点D不在直线AB上．连接AC，BD交于点O，若E是CD中点，则OE的长度值是　2　．【分析】如图，连接AD，BC，根据平移的性质知，四边形ABCD是平行四边形，则O点是AC的中点，所以OE是△ACD的中位线，结合三角形中位线定理解答．【解析】如图，连接AD，BC，根据平移的性质知：AD＝4，AB＝CD且AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，∴O点是AC的中点，∵E是CD中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OEAD＝2．故答案是：2．17．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝4，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长为　11　．【分析】根据三角形中位线定理分别求出DF、EF，根据线段中点的定义分别求出BD、BE，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【解析】∵D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，∴DFBC＝3，EFAB＝2.5，BDAB＝2.5，BEBC＝3，∴四边形DBEF的周长＝DB+BE+EF+DF＝11，故答案为：11．18．如图，在△MBN中，已知BM＝8，BN＝10，点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点．则四边形ABCD的周长是　18　．【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的定义分别求出AD、DC、BC、AB，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【解析】∵点A，D分别是MB，MN的中点，∴ADBN10＝5，ABBM8＝4，同理可得，DCBM8＝4，BCBN10＝5，∴四边形ABCD的周长＝AD+DC+BC+AB＝5+4+5+4＝18，故答案为：18．三、解答题．19．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC延长线上一点，且CFBC，连结CD、EF．求证：CD＝EF．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，DEBC，然后求出四边形DEFC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等证明即可．【解析】证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DEBC，∵CFBC，∴DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴CD＝EF．20．已知在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F、G分别是BD、AC、BC的中点，H是EF的中点．求证：EF⊥GH．【分析】根据三角形中位线定理得到EGCD，FGAB，得到EG＝FG，根据等腰三角形的三线合一证明结论．【解析】连接GE、GF，∵E、G分别是BD、BC的中点，∴EGCD，同理，FGAB，∵AB＝CD，∴EG＝FG，∵H是EF的中点，∴EF⊥GH．21．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG＝AC＝4，GF＝CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．【解析】在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝6，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EFBG＝1．22．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝20°，求∠PFE的度数．【分析】根据三角形中位线定理得到PEAD，PFBC，得到PE＝PF，根据等腰三角形的性质解答．【解析】∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PEAD，同理，PFBC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝20°．23．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线．求证DE＝AF．证法1：∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝　BC　．∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°，∴AF＝　BC　，∴DE＝AF．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．证法2：【分析】证法1：根据三角形中位线定理得到DEBC，根据直角三角形的性质得到AFBC，等量代换证明结论；证法2：连接DF、EF，根据三角形中位线定理得到DF∥AC，EF∥AB，证明四边形ADFE是矩形，根据矩形的对角线相等证明即可．【解析】证法1：∵DE是△ABC的中位线，∴DEBC，∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°，∴AFBC，∴DE＝AF，证法2：连接DF、EF，∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，∴DF、EF是△ABC的中位线，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∵∠BAC＝90°，∴四边形ADFE是矩形，∴DE＝AF．故答案为：BC；BC．24．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．【分析】根据三角形的中位线定理可判定四边形EHGF为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到EG、HF互相平分．【解析】证明：连接EH，GH，GF，∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴AB∥EH∥GF，GH∥BC∥BF．∴四边形EHGF为平行四边形．∵GE，HF分别为其对角线，∴EG、HF互相平分．