2022高考数学一轮复习专题24 三角函数中的化简求值（解析卷）

专题24  三角函数中的化简求值

一、题型选讲

题型一 灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值

通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。 在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．

例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，得，

即，解得或（舍去），

又.
故选：A．

变式1、【2019年高考江苏卷】已知，则的值是  ▲   .

【答案】

【解析】由，得，

解得，或.

，

当时，上式

当时，上式=

综上，

变式2、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=

A．–2  B．–1 

C．1  D．2

【答案】D

【解析】，，

令，则，整理得，解得，即.

故选：D．

变式3、（2018年江苏高考题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．

【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.

详解：解：（1）因为，，所以．

因为，所以，

因此，．

（2）因为为锐角，所以．

又因为，所以，

因此．

因为，所以，

因此，．

变式4、、(2019通州、海门、启东期末）设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b.

(1) 求tan的值；

(2) 求cos的值．

解析：(1) 因为a＝(sina，)，b＝，且a⊥b.

所以sina＋cosα＝，所以sin＝.2分

因为α∈，所以α＋∈，(4分)

所以cos＝，

故sin＝＝

所以tan＝.(6分)

(2) 由(1)得cos＝2cos2－1＝2×－1＝.(8分)

因为α∈，所以2α＋∈，

所以sin＝.(10分)

所以cos＝cos]

＝coscos－sinsin(12分)

＝.(14分)

题型二 探究角度之间的关系

在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。

应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

例2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

．

故选．

变式1、【2020届广东省汕头市金山中学高三下学期第三次模拟】若，则______．

【答案】

【解析】已知，且，则，

故．

变式2、求值：．

【答案】

【解析】  因为

．

变式3、(2017苏锡常镇调研）已知sinα＝3sin，则tan＝________.

【答案】：2－4

解法1 由题意可得sin＝3sin，即sincos－cos·sin＝3sincos＋3cossin，所以tan＝－2tan＝－2tan＝－＝2－4.

解法2 tan＝tan＝＝2－.因为sinα＝3sinαcos＋3cosαsin，即sinα＝sinα＋cosα，即tanα＝，所以tan＝＝＝＝2－4.

题型三、运用构造法化简与求值

通过构造方程或者转化为关于的一元二次函数来解决。

例3、(2019扬州期末）设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝________．

【答案】、 　

【解析】解法1(方程法)　因为a，b是非零实数，由＝tan，得＝tan，解得＝，即＝tan＝tan＝.

解法2(系数比较法)　tan＝tan＝＝，tan＝＝，所以＝.

变式、求函数的值域         

【答案】、

【解析】=

=-2

所以函数的值域为：

二、达标训练

1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A．           B．       

C．          D．

【答案】B

【解析】，，，又，，又，，故选B．

2、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

，

.

故选：A

3、【2020年高考江苏】已知=，则的值是   ▲    ．

【答案】

【解析】

故答案为：

4、（2020届百校联盟高三复习全程精练）已知，则________．

【答案】

【解析】
5、（2020届全国100所名校高考模拟金典卷）若，则_________．

【答案】

【解析】．

故答案为：.

6、(2019镇江期末）若2cos2α＝sin，α∈，则sin2α＝________．

【答案】、 －　

【解析】、解法1　设－α＝β，则α＝－β.由2cos2α＝sin，得2cos＝2sin2β＝4sinβcosβ＝sinβ，而sinβ≠0，故cosβ＝.所以sin2α＝sin＝cos2β＝2cos2β－1＝－.

解法2　由2cos2α＝sin得2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝(cosα－sinα)．又α∈，则cosα－sinα≠0，故cosα＋sinα＝.两边平方得sin2α＝－.

7、(2019无锡期末）已知θ是第四象限角，且 cosθ＝，那么的值为________．

【答案】　

【解析】、因为θ是第四象限角，所以sinθ<0，

则sinθ＝－＝－，

所以＝＝＝＝＝.

8、(2016镇江期末） 由sin 36°＝cos 54°，可求得cos 2 016°的值为________．

【答案】、－

【解析】、由sin36°＝cos54°得sin36°＝2sin18°cos18°＝cos(36°＋18°)＝cos36°cos18°－sin36°sin18°＝(1－2sin218°)·cos18°－2sin218°cos18°＝cos18°－4sin218°cos18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，解得sin18°＝＝，cos2016°＝cos(6×360°－144°)＝cos144°＝－cos36°＝2sin218°－1＝－.

解后反思 本题主要将2016°转化利用36°进而利用18°的三角函数值求解，化繁为简