2022高考数学一轮复习专题36 运用裂项相消法求和（解析卷）

这是一份2022高考数学一轮复习专题36 运用裂项相消法求和（解析卷），共11页。
 专题36  运用裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．常见的裂项技巧①＝－.     ②＝.③＝.        ④＝－.⑤＝. 一、题型选讲例1、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列是等比数列，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）设数列的公比为，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，解得：.∴，∴.（2），∴.例2、（华南师大附中2021届高三综合测试）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知Sn为等差数列的前n项和，若         ．(1)求an；(2)令，求数列的前n项和Tn．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】：(1)若选择条件(1)，在等差数列中，，解得若选择条件(2)，在等差数列中，解得；若选择条件(3)，在等差数列中al=Sl=3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n -[(n-l)2 +2(n -1)]= 2n+l，a1也符合，∴an=2n+1；(2)由(1)得，例3、（江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题）已知数列的前n项和满足，且.（1）求数列的前n项和及通项公式；（2） 记，为的前n项和，求．【解析】(I)由已知有，∴数列为等差数列，且，∴，即，当时，，又也满足上式，∴；(II)由(1)知，，∴，例4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【解析】（1）当时，，整理得，，解得；当时，①，可得②，①－②得，即，化简得，因为，，所以，从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；（2）由（1）知，因为，.例5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知数列的前n项和满足，且.（1）求数列的前n项和，及通项公式；（2）记，为的前n项和，求.【解析】（I）由已知有，∴数列为等差数列，且，∴，即，当时，，又也满足上式，∴；（II）由（1）知，，∴，例6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.(1)求;(2)设，求的前项和.【解析】 (1)设数列的公差为，由题意知:    ①又因为成等比数列，所以，，，又因为，所以.  ②由①②得，所以，， ，， .(2)因为，所以所以数列的前项和.例7、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设等差数列的公差为d，由得，解得，；（2），， ，若，则，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在满足题意． 例8、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】在数列中，有.（1）证明：数列为等差数列，并求其通项公式；（2）记，求数列的前n项和.【解析】（1）因为，所以当时，，上述两式相减并整理，得.又因为时，，适合上式，所以.从而得到，所以，所以数列为等差数列，且其通项公式为.（2）由（1）可知，.所以. 二、达标训练1、【2020届中原金科大联考高三4月质量检测】已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【解析】（1）当时，，整理得，，解得；当时，①，可得②，①－②得，即，化简得，因为，，所以，从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；（2）由（1）知，因为，. 2、（2020届山东省临沂市高三上期末）设，向量，，.（1）试问数列是否为等差数列？为什么？（2）求数列的前项和.【解析】（1），.，为常数，是等差数列.（2），.3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知等差数列满足,前7项和.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【解析】 (1)设等差数列的公差为d,由可知,前7项和.,解得.. (2)前项和.4、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知等差数列和等比数列满足：(I)求数列和的通项公式；(II)求数列的前项和.【解析】 (I) ，故，解得，故，.(II)，故.5、（南通市2021届高三年级期中学情检测）等比数列的前n项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；  （2）若，求数列的前项和.【解析】（1）设等比数列的公比为， 由成等差数列知，，所以，即.                                          又，所以，所以，        所以等差数列的通项公式.                             （2）由（1）知 所以                                    所以数列的前 项和：所以数列的前项和   6、（金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一））已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn2＝an(Sn－)．(1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【解析】：(1)因为Sn2＝an(Sn－)，当n≥2时，Sn2＝(Sn－Sn－1)(Sn－)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn．①…………2分由题意得Sn－1·Sn≠0，所以－＝2，即数列{}是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，得Sn＝． …………………………………………7分 (2)易得bn＝＝……………………………8分＝(－)，……………………………10分所以Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝